Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cho f(x)=x−sin2x.
a) f(π/4)=π/4−sin(π/2)=π/4−1 ≠ π/4−√2/2 → Sai.
b) f′(x)=1−2cos2x ≠ 1−cos2x → Sai.
c) F(x)=x²/2−(1/2)cos2x thì F′(x)=x+sin2x ≠ f(x) → Sai. (Nguyên hàm đúng: x²/2+(1/2)cos2x+C.)
d) f′(x)=1−2cos2x=0 ⇔ cos2x=1/2 ⇔ x=π/6 hoặc x=5π/6. f(π/6)=π/6−√3/2; f(5π/6)=5π/6+√3/2; f(0)=0; f(π)=π. Vậy max f(x)=5π/6+√3/2, suy ra a=6, b=3, a+b=9≠8 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(π/4)=π/4−sin(π/2)=π/4−1, không bằng π/4−√2/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
f′(x)=1−2cos2x, không phải 1−cos2x.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm F′(x)=x+sin2x ≠ x−sin2x, nên F không là nguyên hàm của f.
d) (AI giải đề cho tôi)
max f(x)=5π/6+√3/2 nên a=6, b=3, a+b=9≠8.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$ và $\int -4xdx=-2x^2+C$. a) $\int f(x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2+C$ — Đúng. b) Từ $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$ suy ra $\frac{1}{\ln 2}+C=\frac{1}{\ln 2}\Rightarrow C=0$, vậy $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2$ (không có $+1$) — Sai. c) $F(1)=\frac{2}{\ln 2}-2\ne \frac{2}{\ln 2}-1$ — Sai. d) $\frac{f(x)}{x\cdot 2^x}=\frac{2^x-4x}{x\cdot 2^x}=\frac{1}{x}-\frac{4}{2^x}=\frac{1}{x}-4\cdot 2^{-x}$, nên $\int \frac{f(x)}{x\cdot 2^x}dx=\ln |x|+\frac{4}{\ln 2}\cdot 2^{-x}+C$ — Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 13: Đ, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2^x-4x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$ cho $C=0$, nên $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2$, không có hằng số $+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{2}{\ln 2}-2$, khác $\frac{2}{\ln 2}-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{f(x)}{x\cdot 2^x}=\frac{1}{x}-4\cdot 2^{-x}$, nguyên hàm là $\ln |x|+\frac{4}{\ln 2}\cdot 2^{-x}+C$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $I={\int }_2^3\left(x+1+\frac{1}{x-1}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+x+\ln (x-1)\right]}_2^3=(4,5+3+\ln 2)-(2+2)=3,5+\ln 2$, chứa $\ln 2$ nên vô tỉ → Sai. b) $F^{\prime }(x)=x+1+\frac{1}{x-1}=f(x)$ trên $(1;+\infty )$ → Đúng. c) Trên $[2;3]$, $f(x)>0$ nên $S={\int }_2^{3}f(x)dx=3,5+\ln 2$ → Đúng. d) Trên $[2;3]$ ta có $f(x)\ge f(2)=4$ (vì $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ với $x>2$), nên $V=\pi {\int }_2^3{f}^2(x)dx\ge \pi \cdot 16\cdot 1=16\pi \approx 50,27>25$ → Đúng. Kết quả: S, Đ, Đ, Đ, khớp bảng đáp án mã đề 1202 (SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$I=3,5+\ln 2$ là số vô tỉ vì chứa $\ln 2$, không phải số hữu tỉ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=x+1+\frac{1}{x-1}=f(x)$ trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0$ trên $[2;3]$ nên $S={\int }_2^{3}f(x)dx=3,5+\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ tăng trên $[2;3]$, $f(x)\ge 4$ nên $V=\pi {\int }_2^3{f}^2(x)dx\ge 16\pi \approx 50,27>25$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ (trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, hằng số $C$ có thể khác nhau trên $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$).

a) Sai: nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$ (thiếu hệ số $\frac{3x^2}{2}$).

b) Sai: với $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ và $F(3)=15$ thì $\frac{27}{2}+3-2\ln 3+C=15\Rightarrow C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, khác biểu thức đã cho (thay $x=3$ vào biểu thức đã cho không cho $15$).

c) Đúng: ${\int }_1^{2}f(x)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right){|}_1^2=(6+2-2\ln 2)-\left(\frac{3}{2}+1\right)=\frac{11}{2}-2\ln 2$.

d) Đúng: Vì $G$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, viết $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_1$ với $x>0$ và $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_2$ với $x<0$. Từ $G(2)=1$: $8-2\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=-7+2\ln 2$. Từ $G(5)+G(-5)=10$: $\left(\frac{75}{2}+5-2\ln 5+C_1\right)+\left(\frac{75}{2}-5-2\ln 5+C_2\right)=75-4\ln 5+C_1+C_2=10\Rightarrow C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$. Khi đó $G(-10)=150-10-2\ln 10+C_2=140-2\ln 2-2\ln 5-58+4\ln 5-2\ln 2=82+2\ln 5-4\ln 2$. Vậy $a=-4,b=2,c=82\Rightarrow a+b+c=80$. Khớp với đáp án nguồn (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(3)=15$ suy ra $C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên biểu thức $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15$ đã cho không thỏa $F(3)=15$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(3x+1-\frac{2}{x}\right)dx={\left[\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right]}_1^2=8-2\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}-2\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hằng số nguyên hàm khác nhau trên hai khoảng $x>0$ và $x<0$: $C_1=-7+2\ln 2$ (từ $G(2)=1$), $C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$ (từ $G(5)+G(-5)=10$). Suy ra $G(-10)=82+2\ln 5-4\ln 2$, tức $a=-4,b=2,c=82$, vậy $a+b+c=80$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm tổng quát: $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$.

a) Với $F(3)=15$: $\frac{27}{2}+3-2\ln 3+C=15\Rightarrow C=\frac{15}{2}+2\ln 3$, nên $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+\frac{15}{2}+2\ln 3\ne \frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15$. Sai.

b) Vì $G$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nên hằng số có thể khác nhau trên hai khoảng $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_1$ với $x>0$, $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_2$ với $x<0$.
Trên $(0;+\infty )$: $G(2)=8-2\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=-7+2\ln 2$, suy ra $G(5)=\frac{71}{2}+2\ln 2-2\ln 5$.
Trên $(-\infty ;0)$: $G(-5)=\frac{65}{2}-2\ln 5+C_2$. Từ $G(5)+G(-5)=10$: $68+2\ln 2-4\ln 5+C_2=10\Rightarrow C_2=-58-2\ln 2+4\ln 5$.
Khi đó $G(-10)=150-10-2\ln 10+C_2=82-4\ln 2+2\ln 5$, tức $a=-4,b=2,c=82$, nên $a+b+c=80$. Đúng.

c) ${\int }_1^{2}f(x)dx=\left(\frac{3\cdot 4}{2}+2-2\ln 2\right)-\left(\frac{3}{2}+1\right)=8-2\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}-2\ln 2$. Đúng.

d) $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(3)=15$ suy ra $C=\frac{15}{2}+2\ln 3$, không phải $C=15$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do nguyên hàm có hằng số khác nhau trên $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$: $C_1=-7+2\ln 2$, $C_2=-58-2\ln 2+4\ln 5$, suy ra $G(-10)=82-4\ln 2+2\ln 5$, nên $a+b+c=-4+2+82=80$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{2}f(x)dx=\frac{11}{2}-2\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int f(x)dx=x^2+3x+C$.
a) ${\int }_0^{2}f(x)dx=(x^2+3x){|}_0^2=10$; ${\int }_5^{2}f(x)dx=(x^2+3x){|}_5^2=10-40=-30$; ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=0-(1-3)=2$. Tổng: $10-(-30)+2=42$ → đúng.
b) $F(1)=4+C=2\Rightarrow C=-2\Rightarrow F(x)=x^2+3x-2\ne x^2+3x+2$ → sai.
c) $V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^3(x^4+6x^3+5x^2-12x+4)dx$. Nguyên hàm: $\frac{x^5}{5}+\frac{3x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-6x^2+4x$. Tại $x=3$: $\frac{243}{5}+\frac{243}{2}+45-54+12=\frac{1731}{10}$; tại $x=1$: $\frac{1}{5}+\frac{3}{2}+\frac{5}{3}-2=\frac{41}{30}$. Hiệu: $\frac{1731}{10}-\frac{41}{30}=\frac{2576}{15}$, nên $V=\frac{2576\pi }{15}$ → đúng.
d) $f(x)=0\iff x=-\frac{3}{2}$. Diện tích $={\int }_{-2}^{-3/2}-(2x+3)dx+{\int }_{-3/2}^1(2x+3)dx=\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{13}{2}=6,5\ne 6$ → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các tích phân bằng $10+30+2=42$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $F(1)=2$ thì $C=-2$, nên $F(x)=x^2+3x-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\frac{2576\pi }{15}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế là $\frac{13}{2}=6,5$, không phải 6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^{2x}+2$.
a) $\int f^{\prime }(x)dx=\int (e^{2x}+2)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$, không phải $2e^{2x}+2x+C$ → Sai.
b) $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$; với $f(0)=1$ thì $\frac{1}{2}+C=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+\frac{1}{2}$, không phải $+2$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\left[\frac{1}{4}{e}^{2x}+x^2+\frac{1}{2}x\right]}_0^2=\frac{1}{4}{e}^4+4+1-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}{e}^4+\frac{19}{4}\ne \frac{1}{4}{e}^2+\frac{3}{2}$ → Sai.
d) Hiệu hai hàm: $(e^{2x}+2)-(x^2+e^{2x}+1)=1-x^2$. Diện tích $S={\int }_0^2|1-x^2|dx={\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\ne \frac{2}{3}$ → Sai. Cả bốn ý đều Sai, khớp đáp án mã 102 (SSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm $\int (e^{2x}+2)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$, không phải $2e^{2x}+2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=1$ ta được $C=\frac{1}{2}$, nên $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{1}{4}{e}^4+\frac{19}{4}$, khác $\frac{1}{4}{e}^2+\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^2|1-x^2|dx=\frac{4}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt khi $x^2+1=2x\iff (x-1{)}^2=0\iff x=1$. Trên $[0;1]$ (cùng với trục $Oy$ tại $x=0$), ta có $f(x)\ge g(x)$ vì $f(x)-g(x)=(x-1{)}^2\ge 0$.

a) $\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x+C$ nên họ nguyên hàm $F(x)=\frac{x^3}{3}+x+C$ — ĐÚNG.

b) Diện tích $H={\int }_0^1[(x^2+1)-2x]dx={\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx={\frac{(x-1{)}^3}{3}|}_0^1=\frac{1}{3}\ne 3$ — SAI.

c) Họ nguyên hàm của $g(x)=2x$ là $G(x)=x^2+C$; thiếu hằng số $C$ nên $G(x)=x^2$ không phải họ nguyên hàm — SAI.

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay $H$ quanh $Ox$: $V=\pi {\int }_0^1[(x^2+1{)}^2-(2x{)}^2]dx=\pi {\int }_0^1(x^4-2x^2+1)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right)=\frac{8\pi }{15}$ — ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x+C$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $H={\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx=\frac{1}{3}$, không bằng 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $G(x)=x^2+C$, thiếu hằng số $C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1[(x^2+1{)}^2-4x^2]dx=\frac{8\pi }{15}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ (với $x\ne 0$).
a) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề SAI.
b) Với $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên SAI (nguyên hàm đúng phải có hệ số $\frac{x^2}{2}$ và thêm $-x$ từ $x-1$).
Cụ thể: $\int f(x)dx=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$.
c) Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
d) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln x+C$ (trên $(0;+\infty )$) và $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Suy ra $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên SAI.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai — khớp với đáp án đề 102 (S S S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$; nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, nên $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$.

a) Sai: $\int f(x)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)={\left(x+5-\frac{7}{x}\right)}^{\prime }=1+\frac{7}{x^2}=\frac{x^2+7}{x^2}=g(x)$.
c) Đúng: ${\int }_{-2}^{-1}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|\right)|}_{-2}^{-1}=\frac{7}{2}+7\ln 2⟹m=7,n=2⟹m+2025n=4057$.
d) Sai: Với $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln x+C_1$ $(x>0)$ và $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln (-x)+C_2$ $(x<0)$, từ giả thiết ta có $C_1=-\frac{3}{2}$ và $C_2=\frac{13}{2}+21\ln 3$, suy ra $G(-6)=-7\ln 2+14\ln 3-\frac{11}{2}⟹a+b+c=\frac{3}{2}\ne \frac{2}{3}$.

Sử dụng công thức tích phân từng phần:
$\int x^2{e}^{ax}\mathrm{d}x=e^{ax}\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)+C$.
Theo giả thiết: $F\left(\frac{1}{a}\right)-F(0)=1$.
Ta có $F\left(\frac{1}{a}\right)=e^1\left(\frac{1}{a^3}-\frac{2}{a^3}+\frac{2}{a^3}\right)+C=\frac{e}{a^3}+C$.
$F(0)=\frac{2}{a^3}+C$.
Suy ra $\frac{e-2}{a^3}=1\iff a^3=e-2$.
Vì $2<e<3\Rightarrow 0<e-2<1\Rightarrow 0<a=\sqrt[3]{e-2}<1$.
Do đó $0<a\le 1$.

Ta có $F(x)=\int \frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=2\int \frac{\mathrm{d}(\sin x)}{{\sin }^{2}x}-\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=-\frac{2}{\sin x}+\cot x+C$.
Ta có $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}$.
Trên $(0;\pi )$, $F^{\prime }(x)=0\iff 2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{3}$.
Khi qua $x=\frac{\pi }{3}$, $F^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $F(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{\pi }{3}$.
Theo giả thiết: $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{2}{\sin \frac{\pi }{3}}+\cot \frac{\pi }{3}+C=-\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+C=-\frac{3}{\sqrt{3}}+C=-\sqrt{3}+C=\sqrt{3}\Rightarrow C=2\sqrt{3}$.
Do đó $F(x)=-\frac{2}{\sin x}+\cot x+2\sqrt{3}$.
Tại $x=\frac{\pi }{6}$:
$F\left(\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{2}{\sin \frac{\pi }{6}}+\cot \frac{\pi }{6}+2\sqrt{3}=-\frac{2}{1/2}+\sqrt{3}+2\sqrt{3}=-4+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-4$.

Đặt $t=2x\Rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t$.
Ta có $\int f(2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int f(t)\mathrm{d}t$.
Theo đề bài: $\frac{1}{2}\int f(t)\mathrm{d}t={\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right)+\ln \left(\frac{t}{2}\right)+C={\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right)+\ln t-\ln 2+C$.
Suy ra $\int f(t)\mathrm{d}t=2{\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right)+2\ln t+C^{\prime }$.
Đổi biến $t$ thành $x$, ta được $\int f(x)\mathrm{d}x=2{\sin }^2\frac{x}{2}+2\ln x+C$.