Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2.

a) $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$.
Suy ra $x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- Với dấu $+$: $x=\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{11\pi }{12}+k2\pi$.
- Với dấu $-$: $x=-\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi =-\frac{7\pi }{12}+k2\pi$.
Vậy $x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $\sin x-\sin 3x=0\iff 2\cos \frac{x+3x}{2}\sin \frac{x-3x}{2}=0\iff 2\cos 2x\cdot \sin (-x)=0\iff -2\cos 2x\sin x=0$.
- $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- $\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy $x=k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{x}{2}+15^{\circ }\right)=\frac{1}{2}\iff \frac{x}{2}+15^{\circ }=\pm 60^{\circ }+k360^{\circ }$.
- Trường hợp 1: $\frac{x}{2}+15^{\circ }=60^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow \frac{x}{2}=45^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=90^{\circ }+k720^{\circ }$.
- Trường hợp 2: $\frac{x}{2}+15^{\circ }=-60^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow \frac{x}{2}=-75^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=-150^{\circ }+k720^{\circ }$.
Vậy nghiệm là $x=90^{\circ }+k720^{\circ }$ hoặc $x=-150^{\circ }+k720^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{3}=\tan 60^0$ (vì $\tan 60^0=\sqrt{3}$), không phải $\tan 30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
- a) Sai: $\tan x=\sqrt{3}=\tan 60^0$, không tương đương $\tan x=\tan 30^0$.
- b) Sai: tập nghiệm là $x=60^0+k180^0(k\in \mathbb{Z})$, không phải $30^0+k180^0$.
- c) Đúng: với $x=60^0+k180^0$, nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $x=60^0-180^0=-120^0$.
- d) Đúng: trong đoạn $[0^0;360^0]$ có $x=60^0$ ($k=0$) và $x=240^0$ ($k=1$), tức hai nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne \sqrt{3}$; đúng phải là $\tan x=\tan 60^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm đúng là $x=60^0+k180^0(k\in \mathbb{Z})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất: $60^0-180^0=-120^0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $[0^0;360^0]$ có hai nghiệm $60^0$ và $240^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{3}\right)=1\iff \frac{\pi }{4}+\frac{x}{3}=2k\pi \iff \frac{x}{3}=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \iff x=-\frac{3\pi }{4}+6k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $\left\{-\frac{3\pi }{4}+k6\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{3}=\tan 60^0$, không phải $\tan 30^0$ (vì $\tan 30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}$). Do đó a) sai. Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có nghiệm $x=60^0+k180^0$, nên b) sai (đề ghi $30^0+k180^0$). Nghiệm âm: với $k=-1$, $x=60^0-180^0=-120^0$; các nghiệm âm khác nhỏ hơn ($-300^0,\dots$), nên nghiệm âm lớn nhất là $-120^0$: c) đúng. Trong đoạn $[0^0;360^0]$ có hai nghiệm $x=60^0$ và $x=240^0$: d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne \sqrt{3}=\tan 60^0$, nên (*) không tương đương $\tan x=\tan 30^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm đúng là $x=60^0+k180^0(k\in \mathbb{Z})$, không phải $30^0+k180^0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=-1$: $x=60^0-180^0=-120^0$ là nghiệm âm lớn nhất (các nghiệm âm khác đều nhỏ hơn).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $[0^0;360^0]$ có hai nghiệm: $x=60^0$ và $x=240^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \iff 2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \iff x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$.

Vậy $\{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$, khớp với phương án A. Kiểm tra: tại $x=-\frac{\pi }{4}$, $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng; tại $x=\frac{5\pi }{12}$, $\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin x=-\frac{1}{2}$. Vì $-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, họ nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$ nên mệnh đề sai. b) Cả hai họ nghiệm đều thỏa, đúng. c) Các nghiệm âm: $-\frac{\pi }{6}$, $-\frac{5\pi }{6}$, ... nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{6}\ne -\frac{\pi }{3}$, sai. d) Trong $(-\pi ;\pi )$ chỉ có hai nghiệm $-\frac{5\pi }{6}$ và $-\frac{\pi }{6}$, không phải ba nghiệm, sai.
a) Vì $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$, nên phương trình không tương đương $\sin x=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$; đúng ra phải là $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
b) Vì $-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, ta có $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra lại cả hai họ đều thỏa.
c) Các nghiệm âm là $-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $-\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$.
d) Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$, các nghiệm là $-\frac{5\pi }{6}$ và $-\frac{\pi }{6}$: chỉ có 2 nghiệm, không phải 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)=1\iff \frac{\pi }{3}-2x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ (điều kiện: $\frac{\pi }{3}-2x\ne k\pi$, luôn thỏa với nghiệm tìm được). Suy ra $2x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}-k\pi =\frac{\pi }{12}-k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{24}-\frac{k\pi }{2}=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ (do $k$ chạy hết các số nguyên nên $-k$ thay bằng $k$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin (x+40^{\circ })=\sqrt{3}$ ta có $\sin (x+40^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $x+40^{\circ }=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x+40^{\circ }=120^{\circ }+k360^{\circ }$. Với $x\in (-180^{\circ };180^{\circ })$: từ họ thứ nhất lấy $k=0$ được $x=20^{\circ }$; từ họ thứ hai lấy $k=0$ được $x=80^{\circ }$ (các giá trị khác $k$ cho nghiệm ngoài khoảng). Tổng các nghiệm: $20^{\circ }+80^{\circ }=100^{\circ }$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan (3x-15^{\circ })=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ }$, nên $3x-15^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }$, suy ra $3x=75^{\circ }+k180^{\circ }$, tức $x=25^{\circ }+k60^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 2x-\sqrt{3}\sin x=0$. Dùng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$, ta được $2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$, tức $\sin x(2\cos x-\sqrt{3})=0$. Trường hợp 1: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$. Trường hợp 2: $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$. Vậy họ nghiệm là $\{\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$, khớp với đáp án C. Kiểm tra: với $x=\pi /6$: $\sin (\pi /3)-\sqrt{3}\cdot 1/2=\sqrt{3}/2-\sqrt{3}/2=0$ đúng; với $x=\pi$: $0-0=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải sin 2x = -1/2: 2x = -π/6 + 2kπ hoặc 2x = π + π/6 + 2kπ = 7π/6 + 2kπ, nên x = -π/12 + kπ hoặc x = 7π/12 + kπ (k∈ℤ).
a) sin(π/6) = 1/2 ≠ -1/2 nên phương trình không tương đương sin 2x = sin(π/6) → Sai.
b) Trong (0;π): x = 7π/12 và x = -π/12 + π = 11π/12 → chỉ có 2 nghiệm, không phải 3 → Sai.
c) Tổng các nghiệm: 7π/12 + 11π/12 = 18π/12 = 3π/2 → Đúng.
d) Nghiệm lớn nhất trong (0;π) là 11π/12 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin(π/6) = 1/2 ≠ -1/2, nên phương trình không tương đương sin 2x = sin(π/6).
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát: x = -π/12 + kπ hoặc x = 7π/12 + kπ. Trong (0;π) chỉ có x = 7π/12 và x = 11π/12, tức 2 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trong (0;π) là 7π/12 và 11π/12, tổng bằng 18π/12 = 3π/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong (0;π) là 11π/12.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$:
• Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi }{4}=x+\frac{3\pi }{4}+2k\pi ⟹x=\pi +2k\pi$.
• Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi }{4}=\pi -\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)+2k\pi ⟹3x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟹x=\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$.
Vậy họ nghiệm đúng như mệnh đề a) → a đúng.
Trong khoảng $(0;\pi )$: họ $x=\pi +2k\pi$ không cho nghiệm ($x=\pi$ không thuộc khoảng mở); họ $x=\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$ cho $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$. Vậy có đúng 2 nghiệm → b đúng; tổng $=\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi \ne \frac{7\pi }{6}$ → c sai; nghiệm lớn nhất $=\frac{5\pi }{6}$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Hai trường hợp của phương trình $\sin A=\sin B$ cho $x=\pi +2k\pi$ và $x=\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Trong $(0;\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Tổng hai nghiệm là $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi$, không bằng $\frac{7\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{5\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6. Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

a) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$

Suy ra $3x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

• Với dấu $+$: $3x=\frac{\pi }{6}+\frac{3\pi }{4}+2k\pi =\frac{11\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

• Với dấu $-$: $3x=\frac{\pi }{6}-\frac{3\pi }{4}+2k\pi =-\frac{7\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Vậy $x=\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $2\sin \left(x-60^{\circ }\right)+\sqrt{2}=0\iff \sin \left(x-60^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ta có $\sin \left(x-60^{\circ }\right)=\sin \left(-45^{\circ }\right)$, nên:

• $x-60^{\circ }=-45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=15^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$;

• $x-60^{\circ }=180^{\circ }-\left(-45^{\circ }\right)+k\cdot 360^{\circ }=225^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=285^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$.

Vậy $x=15^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$ hoặc $x=285^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $\tan \left(3x-30^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \left(-30^{\circ }\right)$

Suy ra $3x-30^{\circ }=-30^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow 3x=k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow x=k\cdot 60^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy $x=k\cdot 60^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. (Điều kiện: $3x-30^{\circ }\ne 90^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$ được thỏa mãn với nghiệm này.)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)-1=0\iff \cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=1\iff \frac{\pi }{4}-x=2k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}-2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=1$: $x=\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}$. Vậy $a=7$, $b=4$ (phân số tối giản), $T=a+b=11$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[\pi ;2\pi ]$, ta có $\sin x\le 0$ (sin âm hoặc bằng 0 trên nửa dưới đường tròn lượng giác, từ góc $\pi$ đến $2\pi$). Vì $\frac{1}{5}>0$ nên phương trình $\sin x=\frac{1}{5}$ không có nghiệm nào thuộc đoạn $[\pi ;2\pi ]$. Vậy số nghiệm là 0, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=-1\Rightarrow \frac{\pi }{4}-x=\pi +2k\pi \Rightarrow x=-\frac{3\pi }{4}-2k\pi$. Với $k=-1$ ta được nghiệm dương nhỏ nhất $x=\frac{5\pi }{4}$, nên $a=5,b=4$ và $T=a+b=9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (9).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ ta có $\cos x\le 0$ (vì $\cos x=0$ tại $x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ và $\cos x<0$ với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$). Mà $\frac{1}{5}>0$ nên phương trình $\cos x=\frac{1}{5}$ vô nghiệm trên đoạn này. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi$. Khi đó $\frac{\sin 2x}{\cos x+1}=0\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=k\frac{\pi }{2}$. Loại các nghiệm $x=\pi +k2\pi$ (các bội lẻ của $\pi$), còn lại $x=k2\pi$ và $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{4\pi }{3}$, ta có $x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$. Kiểm tra: với $x=-\frac{2\pi }{3}$ thì $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng; với $x=\pi$ thì $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng. Vậy đáp án A.