Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàng hóa cao 5 m, cần khoảng cách tới mặt dưới gầm cầu ít nhất 0,8 m nên đỉnh hàng chạm mức $y=5+0,8=5,8$ m. Giải $\frac{38\sqrt{3}}{15}\cos \frac{x}{18}+2=5,8\Rightarrow \cos \frac{x}{18}=\frac{3,8\cdot 15}{38\sqrt{3}}=\frac{57}{38\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Với $x\in [-6\pi ;6\pi ]$ thì $\frac{x}{18}\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right]$, nên $\frac{x}{18}=\pm \frac{\pi }{6}\Rightarrow x=\pm 3\pi$. Bề rộng tối đa của khối hàng là $6\pi \approx 6\cdot 3,1=18,6$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h=|d|=3$ khi và chỉ khi $|d|=3$, tức là $\left|3\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]\right|=3$, suy ra $\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]=\pm 1$, tức $\frac{\pi }{3}(2t-1)=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Do đó $2t-1=3k\Rightarrow t=\frac{3k+1}{2}$. Với điều kiện $t\ge 0$, thời điểm sớm nhất ứng với $k=0$: $t=\frac{1}{2}=0,5$ giây. Kiểm tra: $d=3\cos \left[\frac{\pi }{3}(2\cdot 0,5-1)\right]=3\cos 0=3$, nên $h=|3|=3$ m. Vậy $h=3$ m tại thời điểm sớm nhất là $0,5$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $8,6\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=4,3$ với $0\le t\le 2$, tức $\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$.

Đặt $X=8t+\frac{\pi }{2}$. Khi đó $\sin X=\frac{1}{2}\iff X=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $X=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

TH1: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow 8t=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$.
Với $0\le t\le 2$: $k=1\Rightarrow t=\frac{5\pi }{24}\approx 0,654$; $k=2\Rightarrow t=\frac{11\pi }{24}\approx 1,440$; $k=3\Rightarrow t=\frac{17\pi }{24}\approx 2,225>2$ (loại).

TH2: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow 8t=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$.
Với $0\le t\le 2$: $k=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{24}\approx 0,131$; $k=1\Rightarrow t=\frac{7\pi }{24}\approx 0,916$; $k=2\Rightarrow t=\frac{13\pi }{24}\approx 1,702$; $k=3\Rightarrow t=\frac{19\pi }{24}\approx 2,487>2$ (loại).

Vậy trong khoảng 2 giây đầu tiên, $s=4,3cm$ tại các thời điểm $t=\frac{\pi }{24}\approx 0,13s$; $t=\frac{5\pi }{24}\approx 0,65s$; $t=\frac{7\pi }{24}\approx 0,92s$; $t=\frac{11\pi }{24}\approx 1,44s$; $t=\frac{13\pi }{24}\approx 1,70s$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải tan(2x−15°)=1: 2x−15°=45°+k180° ⟹ x=30°+k90°, k∈ℤ. a) Đúng, nghiệm tổng quát đúng là x=30°+k90°. b) Sai, nghiệm âm lớn nhất ứng với k=−1 là x=−60°, không phải −30°. c) Sai, trong (−180°;90°) có các nghiệm −150°, −60°, 30°, tổng bằng −180°. d) Sai, nghiệm lớn nhất trong khoảng này là 30°, không phải 60°.
a) (AI giải đề cho tôi)
2x−15°=45°+k180° ⟹ x=30°+k90°, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất: k=−1 ⟹ x=−60°, không phải −30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong (−180°;90°): −150°, −60°, 30°; tổng = −180° ≠ 180°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong (−180°;90°) là 30°, không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, nên $3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng: vì $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\tan (\pi /6)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

b) Sai: nghiệm tổng quát là $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, không viết được dưới dạng $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ (vì $-\frac{\pi }{18}\ne \frac{\pi }{9}+n\frac{\pi }{3}$ với mọi $n$ nguyên).

c) Sai: với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$: $k=0$ cho $x=-\frac{\pi }{18}$; $k=-1$ cho $x=-\frac{7\pi }{18}$; $k=-2$ cho $x=-\frac{13\pi }{18}<-\frac{\pi }{2}$ (loại). Tổng $=-\frac{8\pi }{18}=-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$.

d) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}\ne \frac{2\pi }{9}=\frac{4\pi }{18}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-{\sqrt{3}}^{-1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên phương trình tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ ta được $3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, khác họ $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có hai nghiệm $-\frac{\pi }{18}$ và $-\frac{7\pi }{18}$, tổng bằng $-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{5\pi }{18}$ (khi $k=1$), không phải $\frac{2\pi }{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=\sqrt{3}$ ta có $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ → mệnh đề a đúng.

Trong đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$: họ $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ cho $\frac{\pi }{3}$; họ $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ cho $\frac{5\pi }{3}$ và $\frac{7\pi }{3}$ (vì $-\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{11\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$). Vậy chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$ → b sai.

Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$ → c sai.

Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=\sqrt{3}$ ta có $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{3}$. Vậy mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$. Vậy mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$. Vậy mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giải sin(3x+π/3) = -√3/2: 3x+π/3 = -π/3+2kπ hoặc 3x+π/3 = -2π/3+2kπ, suy ra x = -2π/9 + 2kπ/3 hoặc x = -π/3 + 2kπ/3 (k∈Z).
a) Sai: họ nghiệm đúng là x = -2π/9 + 2kπ/3 và x = -π/3 + 2kπ/3, không phải x = -π/9 + 2kπ/3 và x = π/3 + 2kπ/3 (thử x = -π/9: sin(0)=0 ≠ -√3/2).
b) Đúng: nghiệm âm thuộc họ thứ nhất: -2π/9 (k=0); họ thứ hai: -π/3 (k=0). Nghiệm âm lớn nhất là max(-2π/9, -π/3) = -2π/9.
c) Sai: trên (0; π/2) chỉ có 2 nghiệm: π/3 (họ hai, k=1) và 4π/9 (họ một, k=1).
d) Đúng: tổng = π/3 + 4π/9 = 7π/9.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là x = -2π/9 + 2kπ/3 hoặc x = -π/3 + 2kπ/3; thay x = -π/9 vào phương trình được sin(0) = 0 ≠ -√3/2 nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm âm: -2π/9 và -π/3 = -3π/9; nghiệm âm lớn nhất là -2π/9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0; π/2) có đúng 2 nghiệm: x = π/3 và x = 4π/9, không phải 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm π/3 + 4π/9 = 7π/9.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình: $3-\sqrt{3}\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện $2x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$ luôn thỏa).
a) Sai: họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$; thử $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$.
b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $x=-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$ (và $-\frac{\pi }{3}$ không là nghiệm).
c) Sai: trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$ chỉ có hai nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}$ ($k=-1$) và $x=\frac{\pi }{3}$ ($k=0$); với $k=1$ ta được $\frac{5\pi }{6}>\frac{2\pi }{3}$.
d) Đúng: tổng hai nghiệm là $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$; thử $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$, nên không thỏa mãn.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $x=-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$ chỉ có hai nghiệm: $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{\pi }{3}$; $k=1$ cho $\frac{5\pi }{6}$ ngoài khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h=250$ với $0\le t\le 60$:
$$550+450\cos \frac{\pi }{50}t=250\iff \cos \frac{\pi }{50}t=-\frac{2}{3}.$$
Đặt $\alpha =\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\approx 2,3005$ rad. Khi đó
$$\frac{\pi }{50}t=\pm \alpha +2k\pi \iff t=\frac{50}{\pi }(\alpha +2k\pi )\text{ hoặc }t=\frac{50}{\pi }(-\alpha +2k\pi ).$$
Với $k=0$: $t_1=\frac{50}{\pi }\cdot 2,3005\approx 36,62$ phút (thỏa mãn $0\le t\le 60$) và $t_2=\frac{50}{\pi }(2\pi -\alpha )\approx 63,36$ phút (vượt quá 60 phút, loại). Với $k=1$ hoặc $k=-1$, các nghiệm đều nằm ngoài khoảng $[0;60]$. Vậy trong khoảng 60 phút đầu, thí nghiệm chỉ có thể thực hiện tại thời điểm $t\approx 36,62$ phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$ và $\cos (\pi -3x)=-\cos 3x$. Phương trình trở thành $\cos 2x=-\cos 3x$, tức $\cos 2x+\cos 3x=0$. Dùng công thức tổng hai cosin: $2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$.

Trường hợp 1: $\cos \frac{5x}{2}=0\Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $\cos \frac{x}{2}=0\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\pi +2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\pi +2k\pi$ thì $\frac{5x}{2}=\frac{5\pi }{2}+5k\pi$ nên $\cos \frac{5x}{2}=0$, tức nghiệm này đã được chứa trong họ $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}$ (với $k=2+5m$: $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2(2+5m)\pi }{5}=\pi +2m\pi$).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên nửa khoảng $[0;\frac{9\pi }{2})$, phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{5\pi }{2}$ (do $x=\frac{9\pi }{2}$ không thuộc nửa khoảng). Khoảng cách từ $O$ đến điểm $M(x;1)$ là $OM=\sqrt{x^2+1}$, lớn nhất khi $x=\frac{5\pi }{2}$: $OM=\sqrt{\frac{25{\pi }^2}{4}+1}\approx \sqrt{62,685}\approx 7,917\approx 7,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne 0$ và $\cos 5x\ne 0$. Phương trình $\tan 5x=\tan x\iff 5x=x+k\pi \iff x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in [0;\pi )$: $x\in \left\{0;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{4}\right\}$. Loại $x=\frac{\pi }{2}$ vì $\tan x$ không xác định (kiểm tra: $5x=\frac{5\pi }{2}$, $\cos 5x=0$ nên cũng không thỏa). Các nghiệm: $0;\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}$. Tổng $=0+\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu a)** Phương trình $2\sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)-1=0\iff \sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

Suy ra:
- Nhánh 1: $4x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$.
- Nhánh 2: $4x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$.

Với $k=0$: $x=\frac{\pi }{12}>0$ (nhánh 1) và $x=\frac{7\pi }{24}>\frac{\pi }{12}$ (nhánh 2). Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{12}$.

**Câu b)** Ta có $C(t)=\frac{at}{t^2+b}$ với $a,b>0$, $t\ge 0$.

$C^{\prime }(t)=\frac{a(t^2+b)-at\cdot 2t}{(t^2+b{)}^2}=\frac{a(b-t^2)}{(t^2+b{)}^2}$.

$C^{\prime }(t)=0\iff t=\sqrt{b}$ (vì $t\ge 0$). Với $0\le t<\sqrt{b}$ thì $C^{\prime }>0$, với $t>\sqrt{b}$ thì $C^{\prime }<0$, nên $C$ đạt max tại $t=\sqrt{b}$, giá trị $C_{\max }=\frac{a\sqrt{b}}{2b}=\frac{a}{2\sqrt{b}}$.

Theo đề: max bằng 12 tại $t=4$ giờ $\Rightarrow \sqrt{b}=4\Rightarrow b=16$; và $\frac{a}{2\cdot 4}=12\Rightarrow a=96$.

Vậy $C(t)=\frac{96t}{t^2+16}$. Thuốc phát huy tác dụng khi $C(t)\ge 10$:

$$\frac{96t}{t^2+16}\ge 10\iff 10t^2-96t+160\le 0\iff 5t^2-48t+80\le 0.$$

Delta $=48^2-4\cdot 5\cdot 80=2304-1600=704$, $\sqrt{704}=8\sqrt{11}$.

$$t_1=\frac{48-8\sqrt{11}}{10}=\frac{24-4\sqrt{11}}{5},t_2=\frac{48+8\sqrt{11}}{10}=\frac{24+4\sqrt{11}}{5}.$$

Nghiệm của bất phương trình: $\frac{24-4\sqrt{11}}{5}\le t\le \frac{24+4\sqrt{11}}{5}$ (đều dương, thỏa mãn).

Vậy thuốc phát huy tác dụng kháng khuẩn từ thời điểm $\frac{24-4\sqrt{11}}{5}\approx 2,15$ giờ đến thời điểm $\frac{24+4\sqrt{11}}{5}\approx 7,45$ giờ kể từ khi bệnh nhân bắt đầu uống thuốc.

$$\cos 3x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right)\iff \cos 3x=\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)\iff \{\begin{array}{l}3x=x-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ 3x=-x+\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{3\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{3\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}\end{array},k\in \mathbb{Z}.$$

Giải (theo hướng dẫn chấm đề chẵn):

a) Chiều cao của mức nước cao nhất là $m+a$ khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=1$ và thấp nhất bằng $m-a$ khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1$. Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{array}{l}m+a=20\\ m-a=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=14\\ a=6.\end{array}$

b) Từ câu a ta có công thức: $h=14+6\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$. Do chiều cao của mức nước là 17m nên $14+6\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=17\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{12}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right]\left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff \left[\begin{array}{c}t=4+24k\\ t=-4+24k\end{array}\right]\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Ứng với hai thời điểm trong ngày ta có $t=4\left(\text{ h}\right)$ và $t=20\left(\text{ h}\right)$.

Giải (theo hướng dẫn chấm đề lẻ):

a) Chiều cao của mực nước cao nhất là $m+a$ khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=1$ và thấp nhất bằng $m-a$ khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1$. Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{array}{l}m+a=16\\ m-a=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=13\\ a=3.\end{array}$

b) Từ câu a ta có công thức: $h=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$. Do chiều cao của mực nước là $11,5$ m nên $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=11,5\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$

$$\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{12}t=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})\iff \left[\begin{array}{c}t=8+24k\\ t=-8+24k\end{array}\right](k\in \mathbb{Z}).$$

Ứng với hai thời điểm trong ngày ta có $t=8$ (h) và $t=16$ (h).

(Thang điểm: a) 0,5; b) 0,25 + 0,25.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x+\cos x=0\iff \sin 3x=-\cos x=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$.

Trường hợp 1: $3x=x-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in [0;5\pi ]$ thì $k=1,2,3,4,5$, cho $x\in \left\{\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4};\frac{19\pi }{4}\right\}$. Tổng của nhóm này: $\frac{(3+7+11+15+19)\pi }{4}=\frac{55\pi }{4}$.

Trường hợp 2: $3x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+k2\pi =\frac{3\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $x\in [0;5\pi ]$ thì $0\le \frac{\pi }{2}+\frac{2k\pi }{3}\le 5\pi \iff -\frac{3}{4}\le k\le \frac{27}{4}$, tức $k=0,1,\dots ,6$, cho 7 nghiệm là cấp số cộng công sai $\frac{2\pi }{3}$ với số hạng đầu $\frac{\pi }{2}$. Tổng của nhóm này: $7\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}\cdot \frac{0+6}{2}\cdot 7=\frac{7\pi }{2}+14\pi =\frac{35\pi }{2}=\frac{70\pi }{4}$.

Tổng tất cả các nghiệm: $\frac{55\pi }{4}+\frac{70\pi }{4}=\frac{125\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x+\cos x=0\iff \sin 3x=-\cos x=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$.

Trường hợp 1: $3x=x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in [0;4\pi ]$ thì $k=1,2,3,4$, cho các nghiệm $\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4},\frac{11\pi }{4},\frac{15\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{(3+7+11+15)\pi }{4}=9\pi$.

Trường hợp 2: $3x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi \iff 4x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$. Với $x\in [0;4\pi ]$ thì $k=0,1,\dots ,7$, cho 8 nghiệm $\frac{3\pi }{8},\frac{7\pi }{8},\frac{11\pi }{8},\frac{15\pi }{8},\frac{19\pi }{8},\frac{23\pi }{8},\frac{27\pi }{8},\frac{31\pi }{8}$, tổng bằng $\frac{(3+7+11+15+19+23+27+31)\pi }{8}=\frac{136\pi }{8}=17\pi$.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (trường hợp 1 là các bội lẻ của $\frac{\pi }{4}$, trường hợp 2 là các bội lẻ của $\frac{\pi }{8}$ không chia hết cho $\frac{\pi }{4}$), nên tổng tất cả các nghiệm trên $[0;4\pi ]$ là $9\pi +17\pi =26\pi$.

Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì $s=0$, ta có: $2\sqrt{2}\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff 7t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ $\iff 7t=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}$.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây, ta có:

$$0\le \frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}\le 30\iff -\frac{1}{6}\le k\le \frac{210}{\pi }-\frac{1}{6}$$

Vì $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \{0;1;2;3;4;5;6;7;.....;66\}$.

Vậy khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 67 lần.