Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao lớn nhất khi $h(t)=75$, tức $\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow t=4+16k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 30$: $t=4$ ($k=0$) và $t=20$ ($k=1$); $t=36>30$ loại. Vậy có 2 thời điểm, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin (x-3)\in [-1;1]$ nên $\sin (x-3)+3\in [2;4]$. Phương trình $\sin (x-3)+3=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in [2;4]$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{2;3;4\}$, tức có 3 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3).

a) Phương trình: $2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=\frac{-1}{2}\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ $\iff [<table><tbody><tr><td>2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})\iff [<table><tbody><tr><td>x=-\frac{\pi }{12}+k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{7\pi }{12}+k\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ;x=\frac{7\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Giải phương trình: $\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Do $3\pi \le x\le 5\pi \Rightarrow 3\pi \le \frac{\pi }{12}+k\pi \le 5\pi \iff \frac{35}{12}\le k\le \frac{59}{12}$. Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=3,4$. Khi đó tìm được: $x=\frac{37\pi }{12},x=\frac{49\pi }{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$. Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ ta có $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ đúng; đáp án A sai vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$. Khớp với đáp án nguồn B (mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (vì sin bằng nhau khi hai cung cùng số đo hoặc bù nhau qua $\pi$). Vậy $S=\{\alpha +k2\pi ;\pi -\alpha +k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án B và khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\sin x=\sin \alpha$). Kiểm tra: với $x=\pi -\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ đúng. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$. Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ đúng. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$ (vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$). Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{2\pi }{3}$ thì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ đúng. Các phương án A, B dùng $\frac{\pi }{6}$ (sai vì $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$), phương án C dùng $\frac{\pi }{3}$ (sai vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$). Kết quả trùng với đáp án nguồn D (Mã đề 122, Câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$. a) $f(x)=\frac{1}{2}\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ → Đúng. b) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ → Đúng. c) Giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, không phải $\frac{3}{2}$ → Sai. d) Trong $[0;\pi ]$ các nghiệm là $0,\frac{\pi }{2},\pi$, tổng bằng $\frac{3\pi }{2}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức Mã đề 122: ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\max f(x)=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}=1\ne \frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $[0;\pi ]$: $0,\frac{\pi }{2},\pi$; tổng $=\frac{3\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $L(t)=10$: $2,83\sin \left(\frac{2\pi }{365}(t-80)\right)=-2\Rightarrow \sin \left(\frac{2\pi }{365}(t-80)\right)\approx -0,7067$. Nghiệm tổng quát: $\frac{2\pi }{365}(t-80)=-0,785+k2\pi$ hoặc $=\pi +0,785+k2\pi$. Với nhánh đầu, $k=0$: $t-80\approx -45,6\Rightarrow t\approx 34,4$, nên ngày nguyên đầu tiên thỏa mãn là $t=34$ (kiểm tra: $L(34)\approx 12+2,83\sin (-0,792)\approx 9,98\approx 10$ giờ). Nhánh kia cho $t\approx 308$ (xuất hiện sau). Vậy lần đầu thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng là ngày thứ 34, khớp đáp án nguồn.

Ta có $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (0.5 điểm)

$\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$ (0.5 điểm)

Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{12}$. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$: $x=\pm \alpha +k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Do đó $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}+l2\pi$ với $k,l\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=-\frac{\pi }{12}$, $\cos (-\frac{\pi }{12})=\cos \frac{\pi }{12}$ (hàm cos là hàm chẵn) — thỏa mãn. Phương án C khớp hoàn toàn; đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 8: C) cũng trùng khớp với kết quả giải độc lập.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}={\cos }^{2}x$. a) $f(x)=\frac{1}{2}\iff {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$: Đúng. b) Vì $\cos 2x\in [-1;1]$ nên $f(x)\in [0;1]$: Đúng. c) Trong $[0;\pi ]$, các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$, tổng bằng $\pi \ne \frac{3\pi }{2}$: Sai. d) Hàm số là tổ hợp các hàm lượng xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$: Đúng. Kết quả khớp với đáp án chính thức ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos 2x\in [-1;1]$ nên $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\in [0;1]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $[0;\pi ]$ là $\frac{\pi }{4}$ và $\frac{3\pi }{4}$, tổng bằng $\pi$, không phải $\frac{3\pi }{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm lượng thức $\cos 2x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\tan \frac{\pi }{3}$ (0.5 điểm)

$\iff x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình có nghiệm $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. (0.5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;\pi ]$, phương trình $\sin x=0$ có nghiệm $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Trong đoạn $[0;\pi ]$ chỉ có $x=0$ và $x=\pi$ thỏa mãn. Vậy phương trình có đúng $2$ nghiệm, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 111 (Câu 9: A).

+) $h(t)=45\Rightarrow 90\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=45\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}$
+) $\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}t=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=1+6k(1)\\ t=-1+6k(2)\end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$.
Vì $0\le t\le 9$:
+) $(1)\Rightarrow 0\le 1+6k\le 9\iff -\frac{1}{6}\le k\le \frac{4}{3}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}k=0\Rightarrow t=1s\\ k=1\Rightarrow t=7s\end{array}\right]$
+) $(2)\Rightarrow 0\le -1+6k\le 9\iff \frac{1}{6}\le k\le \frac{5}{3}\Rightarrow k=1\Rightarrow t=5s$
Vậy $t=1s$, $t=5s$, $t=7s$ là các thời điểm cần tìm

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A đúng vì $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. B đúng vì $\sin x=0\iff x=k\pi$. C sai vì $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, không phải $x=\pi +k2\pi$ (khi đó $\sin x=0$). D đúng vì $\cos x=1\iff x=k2\pi$. Vậy mệnh đề sai là C, khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 6 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác nằm trên đường thẳng y = 0,5 (đường ngang qua 0,5), tức hoành độ điểm biểu diễn nghiệm thỏa sin x = 1/2. Xét các phương trình: A) 2sin2x = 1 ⇔ sin2x = 1/2, khi đó trên đường tròn lượng giác nghiệm theo góc 2x, mỗi vòng chu kỳ π cho 2 điểm nhưng lặp lại, tổng thể vẫn là 2 điểm cố định... tuy nhiên điểm biểu diễn của sin2x = 1/2 cũng là 2 điểm cố định trên đường tròn (các góc π/6 + kπ và 5π/6 + kπ đều cho cùng 2 điểm). Cần phân biệt: hình vẽ chỉ rõ đường y = 0,5 cắt đường tròn tại M, N, tương ứng phương trình sin x = 1/2 ⇔ 2sin x = 1. Với 2cos x = 1 thì hai điểm nằm trên đường x = 0,5 (đường thẳng đứng), không khớp hình vẽ có đường ngang 0,5. Vậy phương trình đúng là 2sin x = 1, khớp đáp án C trong bảng đáp án đề 102 (Câu 7 = C).

+) $h(t)=45\Rightarrow 90\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=45\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}$
+) $\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}t=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=1+6k(1)\\ t=-1+6k(2)\end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$
Vì $0\le t\le 9$:
+) $(1)\Rightarrow 0\le 1+6k\le 9\iff -\frac{1}{6}\le k\le \frac{4}{3}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}k=0\Rightarrow t=1s\\ k=1\Rightarrow t=7s\end{array}\right]$
+) $(2)\Rightarrow 0\le -1+6k\le 9\iff \frac{1}{6}\le k\le \frac{5}{3}\Rightarrow k=1\Rightarrow t=5s$
Vậy $t=1s$, $t=5s$, $t=7s$ là các thời điểm cần tìm