Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta kiểm tra từng mệnh đề: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, nên mệnh đề A (viết $x=\pi +k2\pi$) là sai. $\sin x=0\iff x=k\pi$ đúng (B đúng). $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ đúng (C đúng). $\cos x=1\iff x=k2\pi$ đúng (D đúng). Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho hai điểm $M$, $N$ nằm trên đường tròn lượng giác, có cùng hoành độ đối xứng qua trục tung và cùng tung độ bằng $0,5$ (đường ngang nét đứt tại mức $0,5$). Vậy tập nghiệm tương ứng với phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$, tức $2\sin x=1$. Xét các phương án: $2\sin 2x=1\iff \sin 2x=\frac{1}{2}$ cho tập nghiệm gồm 4 điểm trên đường tròn trong một vòng; tương tự $2\cos 2x=1$ cũng cho 4 điểm; $2\cos x=1\iff \cos x=\frac{1}{2}$ cho 2 điểm nhưng nằm đối xứng qua trục hoành (tung độ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$), không khớp hình vẽ có tung độ $0,5$. Chỉ $2\sin x=1$ cho đúng 2 điểm $M$, $N$ như hình. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): $\cos \left(x+30^0\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff \cos \left(x+30^0\right)=\cos 135^0$
$\iff \left[\begin{array}{c}x+30^0=120^0+k360^0\\ x+30^0=-120^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$
$\iff \left[\begin{array}{c}x=105^0+k360^0\\ x=-165^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$ ( Thiếu $(k\in Z)$ tha)
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin 2\alpha$ có dạng $\sin x=\sin \beta$ với $\beta =2\alpha$. Công thức nghiệm tổng quát: $\sin x=\sin \beta \iff \{\begin{array}{l}x=\beta +k.2\pi \\ x=\pi -\beta +k.2\pi \end{array}$, $(k\in \mathbb{Z})$. Thay $\beta =2\alpha$ ta được $\{\begin{array}{l}x=2\alpha +k.2\pi \\ x=\pi -2\alpha +k.2\pi \end{array}$, $(k\in \mathbb{Z})$. Kiểm tra: với $x=2\alpha +k.2\pi$ thì $\sin x=\sin 2\alpha$ đúng; với $x=\pi -2\alpha +k.2\pi$ thì $\sin x=\sin (\pi -2\alpha )=\sin 2\alpha$ đúng. Các phương án A, C dùng $\alpha$ thay vì $2\alpha$ (sai), phương án D dùng chu kỳ $k.\pi$ (sai vì $\sin$ không có chu kỳ $\pi$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): $\cos \left(x+30^0\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff \cos \left(x+30^0\right)=\cos 135^0$
$\iff \left[\begin{array}{c}x+30^0=120^0+k360^0\\ x+30^0=-120^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$
$\iff \left[\begin{array}{c}x=105^0+k360^0\\ x=-165^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$ ( Thiếu $(k\in Z)$ tha)
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin 2\alpha$ có nghiệm dạng $x=2\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -2\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm số $\sin$ có chu kỳ $2\pi$ và $\sin (\pi -t)=\sin t$. Điều này khớp với đáp án C. Đáp án A sai vì chu kỳ phải là $2\pi$ chứ không phải $\pi$; B và D dùng $\alpha$ thay vì $2\alpha$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

Chọn B. Theo bảng đáp án mã đề 111 (trang 12), Câu 6 = B. Lời giải nguồn (trang 27, trình bày dưới số Câu 7 với thứ tự phương án khác): Chọn C (tương ứng x = -π/6 + kπ). $\cot x+\sqrt{3}=0\iff \cot x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

Chọn B. $\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. (Trong nguồn I, lời giải ghi "Chọn C" vì thứ tự phương án khác: phương án C của nguồn là $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$. Trong đề 001, đáp án này là phương án B, phù hợp với bảng đáp án mã đề 001: Câu 8 = B.)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm tổng quát $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét khoảng $(0;2\pi )$: với $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$, chọn $k=0$ được $x=\frac{\pi }{3}\in (0;2\pi )$; với $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$, chọn $k=1$ được $x=\frac{5\pi }{3}\in (0;2\pi )$. Các giá trị $k$ khác cho nghiệm ngoài khoảng. Vậy có đúng 2 nghiệm thuộc $(0;2\pi )$, khớp với đáp án nguồn (đáp án Phần III Câu 2 là 2).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$, phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$: $x=\frac{\pi }{2}\in \left[-\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$; với $k=1$: $x=\frac{5\pi }{2}$ (thuộc đoạn, lấy cả hai đầu); với $k=-1$: $x=-\frac{3\pi }{2}<-\pi$ (loại). Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị $y=\sin x$ tại đúng 2 điểm tương ứng $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{5\pi }{2}$. Vậy có 2 giá trị $x$, đáp án A (khớp với đáp án của đề).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=1$ ta có $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên khoảng $(-\pi ;\pi )$, phương trình có hai nghiệm: $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, cả hai đều thuộc $(-\pi ;\pi )$. Vậy số nghiệm là 2, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=1$ có nghiệm $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm tổng quát của cos x = 1). Kiểm tra: với $x=k2\pi$ thì $\cos x=\cos (k2\pi )=1$ đúng với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Các phương án khác sai: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ cho $\cos x=0$; $x=k\pi$ cho $\cos x=\pm 1$; $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ cho $\cos x=0$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16a: Điều kiện $\cos (3x)\ne 0$. Phương trình $\tan (3x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ cho $3x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với các giá trị này thì $3x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ không phải là $\frac{\pi }{2}+m\pi$, nên điều kiện thỏa mãn.

Câu 16b: $\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{10}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{30}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi }{5}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{2}+x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{10}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình b) là $S=\left\{\frac{7\pi }{30}+\frac{2k\pi }{3};\frac{7\pi }{10}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: với $x=\frac{7\pi }{10}$, $2x-\frac{\pi }{5}=\frac{6\pi }{5}$, $\sin \frac{6\pi }{5}=-\sin \frac{\pi }{5}$ và $\cos \frac{7\pi }{10}=-\sin \frac{\pi }{5}$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao lớn nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{36}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{36}=2k\pi \Rightarrow t=72k$, $k\in \mathbb{Z}$. Vì $t>0$, thời điểm đầu tiên là $t=72$ giây (khi đó $H=15+22=37$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sqrt{3}\tan x=1$ ta có $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vậy $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện $\cos x\ne 0$ tự thỏa mãn). Kiểm tra: $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, nhân $\sqrt{3}$ được $1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x-\cos x=0\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-1)=0$.

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Trong đoạn $[0;2\pi ]$ có $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{3\pi }{2}$.

Trường hợp 2: $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Trong đoạn $[0;2\pi ]$ có $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.

Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=2\pi +\pi =3\pi$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=-\sqrt{3}$. Ta biết $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\tan \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$. Vì hàm $\tan$ có chu kỳ $\pi$, tập nghiệm là $\left\{-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$ đúng; các đáp án A, B sai giá trị góc, C sai chu kỳ ($2\pi$ thay vì $\pi$). Khớp với đáp án nguồn D.

Ta có $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$

$\iff \left[\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{7\pi }{24}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2\pi ;3\pi ]$, phương trình $\sin x=0$ có nghiệm $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ và $-2\pi \le k\pi \le 3\pi$, tức $-2\le k\le 3$. Các giá trị của $k$ là $-2,-1,0,1,2,3$, cho 6 nghiệm: $x=-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,3\pi$. Đây chính là các giao điểm của đồ thị $y=\sin x$ với trục hoành trong đoạn $[-2\pi ;3\pi ]$ (thể hiện rõ trên hình vẽ ở trang 1 và trang 8). Vậy có 6 giá trị của $x$, đáp án D (khớp với đáp án nguồn, trang 5 và trang 8).