Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_1$ là biên độ trận động đất ở San Francisco, $A_2$ là biên độ trận động đất ở Nam Mỹ, với $A_2=4A_1$.

Trận động đất ở San Francisco có cường độ $8,3$ độ richter nên:
$$8,3=\log \frac{A_1}{A_0}\Rightarrow \frac{A_1}{A_0}=10^{8,3}.$$

Cường độ trận động đất ở Nam Mỹ:
$$M=\log \frac{A_2}{A_0}=\log \frac{4A_1}{A_0}=\log 4+\log \frac{A_1}{A_0}=\log 4+8,3.$$

Vì $\log 4=2\log 2\approx 2\cdot 0,3010=0,6020$, ta được:
$$M\approx 8,3+0,602=8,902\approx 8,9\text{ (độ richter)}.$$

Vậy cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ khoảng $8,9$ độ richter (chính xác là $8,3+\log 4\approx 8,902$).

Ta có: $1=\log 10=\log 2+\log 5$ nên $\log 2=1-\log 5=1-a$.
Khi đó:
${\log }_{20}50=\frac{\log 50}{\log 20}=\frac{1+\log 5}{1+\log 2}=\frac{1+a}{2-a}\Rightarrow (m+n)-(p+q)=1$.

Đáp số: 5,69

Gọi $H$ là trung điểm $AB$. $L_A=\log \frac{k}{O{A}^2}=5\iff O{A}^2=\frac{k}{10^5}$; $L_B=\log \frac{k}{O{B}^2}=7\iff O{B}^2=\frac{k}{10^7}$.

Trường hợp 1, điểm $O$ nằm gần điểm $A$: $OH=\frac{OB-OA}{2}$



$$L_H=\log \frac{k}{O{H}^2}=\log \frac{4k}{O{B}^2-2OA.OB+O{A}^2}=$$ $$=\log \frac{4k}{\frac{k}{10^7}-2.\frac{k}{10^6}+\frac{k}{10^5}}=\log \frac{4}{\frac{1}{10^7}-2.\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^5}}\approx 5,69$$

Trường hợp 2, điểm $O$ nằm gần điểm $B$: $OH=\frac{OA-OB}{2}$



$$L_H=\log \frac{k}{O{H}^2}=\log \frac{4k}{O{A}^2-2OA.OB+O{B}^2}=$$ $$=\log \frac{4k}{\frac{k}{10^5}-2.\frac{k}{10^6}+\frac{k}{10^7}}=\log \frac{4}{\frac{1}{10^5}-2.\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^7}}\approx 5,69$$

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=\{x\mid x>2\}$.
a) $f(3)={\log }_2(2\cdot 3-4)={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(3;1)$. Đúng.
b) ${\log }_2(2x-4)={\log }_{\sqrt{2}}x-2=2{\log }_{2}x-2={\log }_2\frac{x^2}{4}$ (với $x>0$). Suy ra $2x-4=\frac{x^2}{4}\iff x^2-8x+16=0\iff x=4$ (thỏa $x>2$). Tập nghiệm $\{4\}$. Đúng.
c) Xét ${\log }_2(2x-4)>x-6$ với $x>2$. Kiểm tra các số nguyên: $x=3,4,5,6,7,8,9$ đều thỏa mãn (ví dụ $x=9$: ${\log }_{2}14\approx 3,807>3$); $x=10$: ${\log }_{2}16=4$ không lớn hơn $4$; với $x\ge 10$ thì $x-6$ tăng nhanh hơn nên không thỏa. Vậy có đúng 7 số nguyên, không phải 5. Sai.
d) ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=2{\log }_2(2x-4)$ còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$. Hai vế chỉ bằng nhau khi ${\log }_2(2x-4)=0$ tức $x=\frac{5}{2}$, không đúng với mọi $x\in D$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)={\log }_{2}2=1$ nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_2(2x-4)={\log }_2(x^2/4)\Rightarrow 2x-4=x^2/4\Rightarrow x=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên $x=3,4,5,6,7,8,9$ thỏa mãn, tức 7 số nguyên chứ không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=2{\log }_2(2x-4)\ne \frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)={\log }_2\sqrt{2x-4}$ nói chung.

(AI giải đề cho tôi)
Độ phóng xạ còn lại bằng 86% độ phóng xạ ban đầu: $0,86H_0=H_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow e^{-\lambda t}=0,86\Rightarrow t=\frac{-\ln 0,86}{\lambda }=\frac{\ln (1/0,86)}{\ln 2}\cdot T$. Tính: $\ln (1/0,86)\approx 0,15082$, $\ln 2\approx 0,69315$, nên $t\approx 0,21759\times 5730\approx 1246,8$ năm. Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ khoảng $1247$ năm (làm tròn).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{b}a$ (với $a,b>0$, $ab\ne 1$, $x\ne 0$, $x\ne -1$). Khi đó ${\log }_{a}b=\frac{1}{x}$ và ${\log }_{ab}b=\frac{1}{{\log }_b(ab)}=\frac{1}{1+x}$.

Suy ra ${\log }_{a}b-{\log }_{ab}b=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}=\frac{1}{x(1+x)}$.

Tử thứ nhất: ${\log }_b^{3}a+2{\log }_b^{2}a+{\log }_{b}a=x^3+2x^2+x=x(x+1{)}^2$.

Do đó:
$$A=x(x+1{)}^2\cdot \frac{1}{x(x+1)}-x=(x+1)-x=1.$$

Vậy $m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+9y^2=6xy$, chia hai vế cho $y^2>0$ với $t=x/y$ được $t^2-6t+9=0$, tức $(t-3{)}^2=0$, suy ra $x=3y$ (thỏa mãn $x>1$, $y>1$). Khi đó $xy=3y^2$ và $x+3y=6y$.
Tử số: $1+{\log }_{12}x+{\log }_{12}y=1+{\log }_{12}(xy)={\log }_{12}(12\cdot 3y^2)={\log }_{12}(36y^2)$.
Mẫu số: $2{\log }_{12}(x+3y)=2{\log }_{12}(6y)={\log }_{12}(36y^2)$.
Vì $y>1$ nên $36y^2\ne 1$, do đó ${\log }_{12}(36y^2)\ne 0$ và $M=\frac{{\log }_{12}(36y^2)}{{\log }_{12}(36y^2)}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{45}175=\frac{{\log }_{3}175}{{\log }_{3}45}$. Với ${\log }_{3}5=a$ và ${\log }_{3}7={\log }_{3}5\cdot {\log }_{5}7=ab$, suy ra ${\log }_{3}175={\log }_3(25\cdot 7)=2a+ab$ và ${\log }_{3}45={\log }_3(9\cdot 5)=2+a$. Vậy ${\log }_{45}175=\frac{2a+ab}{2+a}$, tức $n=2,k=1,m=2$. Do đó $S=m+n+k=2+2+1=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (blankAnswers = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a={\log }_{3}4=\frac{2\ln 2}{\ln 3}$ và $b={\log }_{5}4=\frac{2\ln 2}{\ln 5}$, suy ra $\ln 2=\frac{a\ln 3}{2}$ và $\ln 5=\frac{\ln 2}{b}=\frac{a\ln 3}{2b}$.

Tính ${\log }_{12}80=\frac{\ln 80}{\ln 12}=\frac{4\ln 2+\ln 5}{2\ln 2+\ln 3}$.

Tử số: $4\ln 2+\ln 5=\ln 2\left(4+\frac{1}{b}\right)=\frac{a\ln 3}{2}\cdot \frac{4b+1}{b}=\frac{a\ln 3(4b+1)}{2b}$.

Mẫu số: $2\ln 2+\ln 3=\ln 3(a+1)$.

Vậy ${\log }_{12}80=\frac{a(4b+1)}{2b(a+1)}=\frac{4ab+a}{2ab+2b}$, tức $m=4,n=2,k=2$.

Suy ra $S=m+n-k=4+2-2=4$.

Chọn A

Điều kiện $x\in (0;+\infty )\setminus \left\{32,\frac{1}{2}\right\}$.

Đặt $t={\log }_{2}x\Rightarrow t\ne 5;t\ne -1$, phương trình có dạng

$$\frac{1}{5-t}+\frac{2}{1+t}=1\Rightarrow t^2-5t+6=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=2</td></tr><tr><td>t=3</td></tr></tbody></table>\Rightarrow [<table><tbody><tr><td>{\log }_{2}x=2</td></tr><tr><td>{\log }_{2}x=3</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=4</td></tr><tr><td>x=8</td></tr></tbody></table>$$

$$\Rightarrow \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{8}$$

(Lưu ý: trang lời giải in lại (trang 12) in phương án C là 5 và D là 66, khác với đề gốc ở trang 3 là C. 12 và D. 60; đáp án A nhất quán.)

Chọn B. Đk: $2.5^x-1>0$. ${\log }_5(2.5^x-1)+1=2x\iff (2.5^x-1)5=5^{2x}\iff 5^{2x}-10.5^x+5=0$ $\iff \{\begin{array}{l}{5}^{x_1}=5+2\sqrt{5}\\ 5^{x_2}=5-2\sqrt{5}\end{array}$ $5^{x_1}.5^{x_2}=5^{x_1+x_2}=(5+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})=5$ $\Rightarrow x_1+x_2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_2(3x-y)=3$ ta có $3x-y=8$, tức $y=3x-8$. Từ $5^x\cdot 125^y=15625$ ta có $5^{x+3y}=5^6$, suy ra $x+3y=6$. Thay $y=3x-8$: $x+3(3x-8)=6\Rightarrow 10x=30\Rightarrow x=3$, $y=1$ (thỏa điều kiện $3x-y>0$). Khi đó $8x+y=24+1=25$, nên ${\log }_5(8x+y)={\log }_{5}25=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\log }_{\sqrt{2}}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2\sqrt{2}}=2{\log }_{2}x$, xác định khi $x>0$; $g(x)={\log }_2(x+2)$ xác định khi $x>-2$.

a) Hàm $f(x)={\log }_{\sqrt{2}}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$ → ĐÚNG.

b) $f(x)=2\iff 2{\log }_{2}x=2\iff {\log }_{2}x=1\iff x=2$ (thỏa mãn $x>0$), nghiệm duy nhất → ĐÚNG.

c) $f(x)=g(x)\iff 2{\log }_{2}x={\log }_2(x+2)\iff x^2=x+2$ (với $x>0$) $\iff x^2-x-2=0\iff x=2$ hoặc $x=-1$ (loại vì $x>0$). Vậy nghiệm duy nhất $x=2$ → ĐÚNG.

d) $f(x)>g(x)\iff x^2>x+2$ với $x>0\iff (x-2)(x+1)>0\iff x>2$. Các nghiệm nguyên có 2 chữ số là $10,11,\dots ,99$, tổng bằng $\frac{(10+99)\cdot 90}{2}=4905\ne 4806$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit ${\log }_{\sqrt{2}}x$ xác định khi $x>0$, nên tập xác định là $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2\iff 2{\log }_{2}x=2\iff x=2$, nghiệm duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2{\log }_{2}x={\log }_2(x+2)\iff x^2=x+2\iff x=2$ (loại $x=-1$ vì $x>0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>g(x)\iff x>2$; tổng các nghiệm nguyên có 2 chữ số là ${\sum }_{10}^{99}k=4905\ne 4806$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x$ (điều kiện $x>0$). Khi đó ba số là ${\log }_2(8x)=t+3$; $({\log }_{2}x{)}^2=t^2$; ${\log }_4(2x)=\frac{t+1}{2}$. Ba số lập cấp số cộng nên $2t^2=(t+3)+\frac{t+1}{2}$, suy ra $4t^2=3t+7\iff 4t^2-3t-7=0\iff t=\frac{7}{4}$ hoặc $t=-1$. Với $t=\frac{7}{4}$: $x=2^{7/4}\approx 3,3636$. Với $t=-1$: $x=2^{-1}=0,5$. Tổng $x=2^{7/4}+\frac{1}{2}\approx 3,8636\approx 3,86$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:

a) $5^{x^2-x+7}=125^{2x-1}=5^{3(2x-1)}$ nên $x^2-x+7=6x-3\iff x^2-7x+10=0\iff x=2$ hoặc $x=5$. Tập nghiệm $S=\{2;5\}$.

b) Điều kiện: $x>3$. Bất phương trình tương đương $(x-3)(x-2)\le 2\iff x^2-5x+4\le 0\iff 1\le x\le 4$. Kết hợp $x>3$ ta được $3<x\le 4$.

c) Cần $P(n)>0,4$: $\frac{1}{1+49e^{-0,015n}}>0,4\iff 1+49e^{-0,015n}<2,5\iff e^{-0,015n}<\frac{1,5}{49}\iff -0,015n<\ln \frac{1,5}{49}\iff n>\frac{\ln (49/1,5)}{0,015}\approx \frac{3,4874}{0,015}\approx 232,49$. Vậy cần phát ít nhất $233$ lần quảng cáo.

d) Điều kiện: cơ số $x^2+y^2+2\ge 2>0$ và $\ne 1$ luôn thỏa. Vì cơ số lớn hơn 1, bất phương trình tương đương $2x-4y+3\ge x^2+y^2+2\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2\le 6$. Tập nghiệm là hình tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=\sqrt{6}$. Ta có $P=3x+4y=3(x-1)+4(y+2)-5$, nên $P\le 5\sqrt{(x-1{)}^2+(y+2{)}^2}-5\le 5\sqrt{6}-5$. Dấu bằng khi $(x-1,y+2)=\frac{\sqrt{6}}{5}(3;4)$, tức $x=1+\frac{3\sqrt{6}}{5},y=-2+\frac{4\sqrt{6}}{5}$ (thỏa điều kiện vì khi đó $2x-4y+3=x^2+y^2+2\ge 2$). Vậy $\max P=5\sqrt{6}-5\approx 7,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện $\ln a+\ln (8b)=2\ln (a+2b)$ suy ra $8ab=(a+2b{)}^2\Rightarrow a^2-4ab+4b^2=0\Rightarrow (a-2b{)}^2=0\Rightarrow a=2b$ (thoả mãn $a,b>0$, khác 1). Khi đó $2a=4b$ và $\frac{a}{2}=b$. Đặt $x={\log }_{b}2$. Ta có: ${\log }_b(2a)={\log }_b(4b)=2x+1$; ${\log }_{a/2}(2b)={\log }_b(2b)=x+1$; $\frac{1}{{\log }_{8}b}={\log }_{b}8=3x$. Vậy $P=(2x+1)+(x+1)-3x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1: Tính A và B.

**Tính A** $=2{\log }_{4}8-3{\log }_{\frac{1}{3}}16+4^{{\log }_{2}3}$

- ${\log }_{4}8={\log }_{2^2}{2}^3=\frac{3}{2}$, nên $2{\log }_{4}8=3$.
- ${\log }_{\frac{1}{3}}16={\log }_{3^{-1}}{2}^4=-4{\log }_{3}2$, nên $-3{\log }_{\frac{1}{3}}16=12{\log }_{3}2$.
- $4^{{\log }_{2}3}={\left(2^2\right)}^{{\log }_{2}3}=2^{2{\log }_{2}3}=2^{{\log }_{2}9}=9$.

Vậy $A=3+12{\log }_{3}2+9=12+12{\log }_{3}2=12\left(1+{\log }_{3}2\right)=12{\log }_{3}6\approx 19,57$.

**Tính B** $=9^{2{\log }_{3}2+4{\log }_{81}2}$

- $9^{2{\log }_{3}2}=3^{4{\log }_{3}2}=2^4=16$.
- ${\log }_{81}2={\log }_{3^4}2=\frac{1}{4}{\log }_{3}2$, nên $4{\log }_{81}2={\log }_{3}2$.
- Do đó $B=9^{2{\log }_{3}2+{\log }_{3}2}=9^{3{\log }_{3}2}=3^{6{\log }_{3}2}=2^6=64$.

Kết luận: $A=12{\log }_{3}6$ (xấp xỉ $19,57$) và $B=64$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (Phần 4 - Tự luận), giải từng câu:

a) $2^{x^2+2x}=8^{2-x}=2^{3(2-x)}=2^{6-3x}$ nên $x^2+2x=6-3x\iff x^2+5x-6=0\iff (x-1)(x+6)=0$. Vậy $x=1$ hoặc $x=-6$.

b) Vì $\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=(\sqrt{5}+2{)}^{-1}$, phương trình trở thành $(\sqrt{5}+2{)}^{x-1}=(\sqrt{5}+2{)}^{-\frac{x-1}{x+1}}$, tức $x-1=-\frac{x-1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$). Suy ra $(x-1)\left(1+\frac{1}{x+1}\right)=0\iff (x-1)\cdot \frac{x+2}{x+1}=0$. Vậy $x=1$ hoặc $x=-2$ (thỏa mãn điều kiện).

c) Điều kiện $x>1$. Đổi cơ số: ${\log }_{\sqrt{2}}(x-1)=2{\log }_2(x-1)$, ${\log }_{1/2}(x+1)=-{\log }_2(x+1)$. Phương trình: $2{\log }_2(x-1)-{\log }_2(x+1)=1\iff {\log }_2\frac{(x-1{)}^2}{x+1}=1\iff (x-1{)}^2=2(x+1)\iff x^2-4x-1=0\iff x=2\pm \sqrt{5}$. Kết hợp điều kiện $x>1$ ta được $x=2+\sqrt{5}$.

d) Điều kiện: $x^2+4x>0$ và $2x+3>0$, tức $x>0$. Vì ${\log }_{1/3}(2x+3)=-{\log }_3(2x+3)$, phương trình thành ${\log }_3\frac{x^2+4x}{2x+3}=0\iff x^2+4x=2x+3\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Chỉ $x=1$ thỏa điều kiện. Vậy $x=1$.

e) $(1/2{)}^{3x-1}\ge 4\cdot 2^x\iff 2^{1-3x}\ge 2^{x+2}$. Vì cơ số $2>1$: $1-3x\ge x+2\iff -4x\ge 1\iff x\le -\frac{1}{4}$. Vậy $S=\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right]$.

g) $2^x+2^{x+1}=3\cdot 2^x$; $3^x+3^{x-1}=\frac{4}{3}\cdot 3^x$. Bất phương trình: $3\cdot 2^x\le \frac{4}{3}\cdot 3^x\iff \frac{2^x}{3^x}\le \frac{4}{9}\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^x\le \frac{4}{9}$. Vì cơ số $0<\frac{2}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến: $x\ge {\log }_{2/3}\frac{4}{9}=\frac{\ln (4/9)}{\ln (2/3)}=2$. Vậy $S=[2;+\infty )$. (Kiểm tra: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ đúng.)

h) Điều kiện $36-x^2>0\iff -6<x<6$. Bất phương trình: $36-x^2\ge 3^3=27\iff x^2\le 9\iff -3\le x\le 3$ (thỏa điều kiện). Vậy $S=[-3;3]$.

k) Cùng cơ số $0,3=\frac{3}{10}<1$ nên hàm ${\log }_{0,3}t$ nghịch biến. Điều kiện $5-2x>0\iff x<\frac{5}{2}$. Bất phương trình: $5-2x<9\iff -2x<4\iff x>-2$. Vậy $S=\left(-2;\frac{5}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x>0$ (điều kiện $x>0$). Khi đó ${\log }_{\sqrt{2}}x=2{\log }_{2}x=2t$ và ${\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x=-t$. Phương trình trở thành $$\frac{1}{8}(2t{)}^3-(-t{)}^2-3t+3=0\iff t^3-t^2-3t+3=0.$$ Phân tích: $t^2(t-1)-3(t-1)=(t-1)(t^2-3)=0$, nên $t=1$ hoặc $t=\pm \sqrt{3}$ (đều thỏa $t$ bất kỳ vì $x=2^t>0$ luôn hợp lệ). Vậy ba nghiệm là $x_1=2^1=2$, $x_2=2^{\sqrt{3}}$, $x_3=2^{-\sqrt{3}}$. Tổng các nghiệm: $$S=2+2^{\sqrt{3}}+2^{-\sqrt{3}}.$$ Tính gần đúng: $\sqrt{3}\approx 1.7320508$, $2^{\sqrt{3}}=e^{\sqrt{3}\ln 2}=e^{1.2005661}\approx 3.3219957$, $2^{-\sqrt{3}}\approx 0.3010239$. Vậy $S\approx 2+3.3219957+0.3010239=5.6230196\approx 5.62302$ (lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $500e^{360r}=2000$ ta có $e^{360r}=4$, suy ra $r=\frac{\ln 4}{360}$. Cần $500e^{rt}\ge 120000\iff e^{rt}\ge 240\iff t\ge \frac{\ln 240}{r}=360\cdot \frac{\ln 240}{\ln 4}\approx 1423,3$ phút $\approx 23,72$ giờ. Vậy ít nhất sau 24 giờ số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con.