Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số điểm đã cho là 24 điểm (20 điểm trên 4 cạnh + 4 đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$). Số tam giác lập được từ 24 điểm, với 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3}\right)=2024.$$ Các bộ 3 điểm thẳng hàng chỉ xảy ra khi cả 3 điểm cùng nằm trên một cạnh của hình vuông. Mỗi cạnh có 5 điểm đã lấy cộng thêm 2 đỉnh nên có 7 điểm, do đó mỗi cạnh cho $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$$ bộ ba thẳng hàng. Bốn cạnh cho tất cả $$4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=140$$ bộ ba (các cạnh chỉ cắt nhau tại đỉnh nên không có bộ ba thẳng hàng nào bị đếm trùng; hai đường chéo $AC$, $BD$ chỉ chứa 2 đỉnh nên không tạo bộ ba thẳng hàng). Vậy số tam giác là $$2024-140=1884.$$ Kết quả trùng với đáp án nguồn 1884.

(AI giải đề cho tôi)
Đoàn gồm 3 người, phải có đủ cả hai môn Toán và Vật lý, và phải có cả nam lẫn nữ. Giáo viên Toán: 3 nữ, 5 nam; giáo viên Vật lý: 4 nam (chỉ có nam).

Trường hợp 1: chọn 2 giáo viên Toán và 1 giáo viên Vật lý. Vì Vật lý chỉ có nam nên để có nữ thì 2 giáo viên Toán phải có ít nhất 1 nữ: $C_3^2+C_3^1{C}_5^1=3+15=18$ cách. Chọn 1 giáo viên Vật lý nam: $C_4^1=4$ cách. Số cách: $18\cdot 4=72$.

Trường hợp 2: chọn 1 giáo viên Toán và 2 giáo viên Vật lý. Để có nữ thì giáo viên Toán phải là nữ: $C_3^1=3$ cách. Chọn 2 giáo viên Vật lý nam: $C_4^2=6$ cách. Số cách: $3\cdot 6=18$.

Tổng: $72+18=90$ cách. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Có 24 điểm trên bốn cạnh hình vuông (mỗi cạnh 5 điểm). Chọn 3 điểm bất kỳ: $C_{24}^3=\frac{24\cdot 23\cdot 22}{6}=2024$. Ba điểm không tạo thành tam giác khi và chỉ khi chúng thẳng hàng, tức là cùng nằm trên một cạnh (các cạnh khác nhau chỉ gặp nhau tại đỉnh, mà không có điểm nào trùng đỉnh). Số bộ ba thẳng hàng: mỗi cạnh có $C_5^3=10$ bộ ba, bốn cạnh nên $4\cdot 10=40$. Vậy số tam giác là $2024-40=1884$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1884.

(AI giải đề cho tôi)
Đoàn gồm 3 người, phải có đủ cả hai môn Toán và Vật lý, và phải có cả nam lẫn nữ. Toán có 3 nữ, 5 nam; Vật lý có 4 nam (không có nữ).

Trường hợp 1: chọn 2 giáo viên Toán và 1 giáo viên Vật lý. Vì Vật lý chỉ có nam nên để có nữ thì 2 giáo viên Toán phải có ít nhất 1 nữ: số cách chọn 2 Toán là $C_8^2=28$, không có nữ tức chọn 2 trong 5 nam: $C_5^2=10$, vậy có $28-10=18$ cách. Chọn 1 Vật lý: $C_4^1=4$ cách. Số cách: $18\cdot 4=72$.

Trường hợp 2: chọn 1 giáo viên Toán và 2 giáo viên Vật lý. Vì Vật lý chỉ có nam nên giáo viên Toán phải là nữ: 3 cách. Chọn 2 Vật lý nam: $C_4^2=6$ cách. Số cách: $3\cdot 6=18$.

Tổng: $72+18=90$ cách. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có: 5 nhà hoá học nam, 3 nhà hoá học nữ, 4 nhà vật lý nam (tổng 9 nam, 3 nữ). Đoàn 3 người cần có cả nam và nữ, và cả nhà hoá học lẫn nhà vật lý.

Xét theo số nam/nữ:

**Trường hợp 1: 2 nam, 1 nữ.** Nữ được chọn từ 3 nhà hoá học nữ (3 cách). Để đoàn có cả hoá và vật lý, trong 2 nam phải có ít nhất 1 nhà vật lý:
- 1 hoá nam + 1 vật lý nam: $5\cdot 4=20$ cách.
- 2 vật lý nam: $C_4^2=6$ cách.
Tổng: $(20+6)\cdot 3=78$ cách.

**Trường hợp 2: 1 nam, 2 nữ.** 2 nữ chọn từ 3 nhà hoá học nữ: $C_3^2=3$ cách. Vì 2 nữ đều là hoá học, nam bắt buộc phải là nhà vật lý: 4 cách.
Tổng: $4\cdot 3=12$ cách.

Vậy tổng số cách lập đoàn: $78+12=90$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số bóng đèn loại I lấy ra là $k$, thì số bóng đèn loại II là $5-k$. Yêu cầu loại I nhiều hơn loại II tức $k>5-k\iff k\ge 3$. Vì chỉ có 5 đèn loại I nên $k\le 5$; các trường hợp thỏa mãn là $k=3,4,5$.
- $k=3$: lấy 3 đèn loại I và 2 đèn loại II: $C_5^3\cdot C_7^2=10\cdot 21=210$.
- $k=4$: lấy 4 đèn loại I và 1 đèn loại II: $C_5^4\cdot C_7^1=5\cdot 7=35$.
- $k=5$: lấy 5 đèn loại I và 0 đèn loại II: $C_5^5\cdot C_7^0=1$.
Tổng số khả năng: $210+35+1=246$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
- Tận cùng là 0: chọn và xếp 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số còn lại (1,3,5,7,8,9) vào 4 vị trí đầu: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$ số.
- Tận cùng là 5: chữ số đầu khác 0 nên có 5 cách chọn (từ 0,1,3,7,8,9), sau đó xếp 3 chữ số từ 5 chữ còn lại: $A_5^3=60$ cách. Tổng: $5\cdot 60=300$ số.
Kết quả: $360+300=660$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Xem 2 nữ như một khối (2 ghế kề nhau). Chọn 2 ghế kề nhau cho khối nữ: có 6 cách (các cặp ghế (1,2),...,(6,7)). Sắp xếp 2 nữ trong khối: 2! = 2 cách. Chọn 3 ghế trong 5 ghế còn lại cho 3 nam: $C_5^3=10$ cách, sắp xếp 3 nam: 3! = 6 cách. Tổng: $6\cdot 2\cdot 10\cdot 6=720$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số cuối thuộc $\{0,2,4,6\}$. TH1: chữ số cuối là $0$, chọn 3 chữ số đầu từ 6 chữ số còn lại đôi một khác nhau: $6\cdot 5\cdot 4=120$. TH2: chữ số cuối là $2$, $4$ hoặc $6$ (3 cách), chữ số đầu khác $0$ và khác chữ số cuối nên có 5 cách, hai chữ số giữa còn lại: $5\cdot 4=20$ cách, được $3\cdot 5\cdot 4\cdot 5=300$. Tổng: $120+300=420$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (PHẦN IV):

a) Số tự nhiên gồm ba chữ số lập từ các phần tử của $A=\{2,3,5,7,9\}$ (các chữ số được phép lặp lại): mỗi vị trí có 5 cách chọn, nên có $5^3=125$ số.

b) Số gồm bảy chữ số có hai chữ số 2, ba chữ số 3 và hai chữ số còn lại khác nhau, mỗi chữ số xuất hiện không quá một lần, chọn từ $\{5,7,9\}$:
- Chọn 2 trong 3 chữ số $\{5,7,9\}$: $C_3^2=3$ cách.
- Với mỗi bộ chữ số, sắp xếp 7 chữ số trong đó có hai chữ số 2 giống nhau và ba chữ số 3 giống nhau: $\frac{7!}{2!3!}=\frac{5040}{12}=420$ cách.
- Tổng số: $3\times 420=1260$ số.

Vậy a) 125 số; b) 1260 số.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 7 nam, 5 nữ (12 học sinh).
a) Số cách xếp 12 học sinh thành hàng ngang là 12!, không phải (5!)·(7!) → sai.
b) Chọn 5 nam từ 7 nam: $C_7^5$ → đúng.
c) 'Ít nhất một nữ' phải tính $C_{12}^5-C_7^5=792-21=771$. Cách đếm $C_5^1\cdot C_{11}^4=1650$ đếm trùng (một tổ hợp có nhiều nữ bị đếm nhiều lần) → sai.
d) Xen kẽ nam–nữ trong 5 người: phải có 3 nam 2 nữ hoặc 3 nữ 2 nam.
- 3 nam, 2 nữ: $C_7^3{C}_5^2\cdot 2\cdot 3!\cdot 2!=35\cdot 10\cdot 24=8400$.
- 2 nam, 3 nữ: $C_7^2{C}_5^3\cdot 2\cdot 3!\cdot 2!=21\cdot 10\cdot 24=5040$.
Tổng trường hợp thuận: $13440$. Tổng trường hợp: $C_{12}^5\cdot 5!=792\cdot 120=95040$.
Xác suất $=\frac{13440}{95040}=\frac{14}{99}\ne \frac{7}{99}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phải là 12! = 479001600, còn (5!)·(7!) = 120·5040 = 604800, không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 trong 7 bạn nam: $C_7^5=21$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án đúng: $C_{12}^5-C_7^5=771$; cách đếm $C_5^1{C}_{11}^4$ đếm trùng các tổ hợp có từ 2 nữ trở lên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất đúng là $\frac{13440}{95040}=\frac{14}{99}$, không phải $\frac{7}{99}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 8 học sinh vào hàng dọc: $8!=40320$ cách → Đúng.
b) Học sinh cùng giới đứng cạnh nhau: coi 5 nam thành một khối và 3 nữ thành một khối, hoán vị 2 khối: $2!\cdot 5!\cdot 3!=2\cdot 120\cdot 6=1440$ cách → Đúng.
c) Không có em nữ nào đứng cạnh nhau: xếp 5 nam trước: $5!=120$ cách; 5 nam tạo ra 6 khoảng trống, chọn 3 khoảng để đặt 3 nữ: $C_6^3\cdot 3!=20\cdot 6=120$ cách. Tổng: $120\cdot 120=14400\ne 2400$ → Sai.
d) Chọn 3 nam từ 5 và 2 nữ từ 3: $C_5^3\cdot C_3^2=10\cdot 3=30\ne 45$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách xếp 8 học sinh theo hàng dọc là $8!=40320$ (cách).
b) (AI giải đề cho tôi)
Cùng giới đứng cạnh nhau: $2!\cdot 5!\cdot 3!=1440$ (cách).
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 nam: $5!=120$; chọn 3 trong 6 khoảng trống cho 3 nữ: $C_6^3\cdot 3!=120$; tổng $14400\ne 2400$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3\cdot C_3^2=10\cdot 3=30\ne 45$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi cột ghế (số 1,2,3,4) phải chứa đúng 1 nam và 1 nữ. Với mỗi cột, chọn dãy cho bạn nam: $2^4=16$ cách. Xếp 4 nam vào 4 cột: $4!=24$ cách; xếp 4 nữ vào 4 cột: $4!=24$ cách. Tổng: $16\cdot 24\cdot 24=9216$, khớp đáp án nguồn.

1. Trường hợp có 3 cạnh bằng nhau (tam giác đều): có 9 số

2. Trường hợp có 2 cạnh bằng nhau (tam giác không đều)

+ $a=b\ne c$: Điều kiện 2a > c

* a = 1: 2 > c; c = 1 loại

* a = 2: 4 > c; c = 1;3 có 2 số

* a = 3; 6 > c; c = 1;2;4;5 có 4 số

* a = 4; 8 > c; c = 1;2;3;5;6;7 có 6 số

* a = 5;6;7;8;9 mỗi a có 8 giá trị c có 40 số

Tổng có 2+4+6+40=52 số

Tương tự cho $a=c\ne b;b=c\ne a$

Vậy tổng cộng có: 9 + 52x3 = 165 số
Nếu thí sinh làm cách khác mà kết quả đúng vẫn cho điểm.

a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_8^2=28$. b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_8^2{C}_9^1=252$. c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_8^2{C}_9^1+C_8^1{C}_9^2=540$. d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_8^2{C}_9^1+C_8^1{C}_9^2}{C_{17}^3}=\frac{27}{34}$. Chọn đáp án [a đúng | b sai | c sai | d đúng].
a) a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_8^2=28$.
b) b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_8^2{C}_9^1=252$.
c) c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_8^2{C}_9^1+C_8^1{C}_9^2=540$.
d) d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_8^2{C}_9^1+C_8^1{C}_9^2}{C_{17}^3}=\frac{27}{34}$.

a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_7^2=21$. b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_7^2{C}_8^1=168$. c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_7^2{C}_8^1+C_7^1{C}_8^2=364$. d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_7^2{C}_8^1+C_7^1{C}_8^2}{C_{15}^3}=\frac{4}{5}$. Chọn đáp án [a sai | b đúng | c sai | d đúng].
a) a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_7^2=21$.
b) b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_7^2{C}_8^1=168$.
c) c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_7^2{C}_8^1+C_7^1{C}_8^2=364$.
d) d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_7^2{C}_8^1+C_7^1{C}_8^2}{C_{15}^3}=\frac{4}{5}$.

A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

TH 1: c = 0 vậy có 1 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 9 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 1.9.8 = 72 số

TH 2: c ≠ 0 Vậy có 4 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 4.8.8 = 256 số

Kết luận: 72+256= 328 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán

A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

TH 1: c = 0 vậy có 1 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 9 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 1.9.8 = 72 số

TH 2: c ≠ 0 Vậy có 4 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 4.8.8 = 256 số

Kết luận: 72+256= 328 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH1: 1 viên đỏ, 2 viên trắng hoặc đen: có $C_2^1.C_{13}^2=156$ cách. TH2: 2 viên đỏ, 1 viên trắng hoặc đen: có $C_2^2.C_{13}^1=13$ cách. Số cách để chọn ra 3 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là $156+13=169$ (cách chọn). Đúng 1 trường hợp: 0,25.

a) Gọi số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau cần lập là $\overline{abcde}$.
TH1: $\overline{abcd0}$ có $A_4^3=120$ số.
TH2: $\overline{abcde}$, $e\in \{2,4\}$, nên có 2 cách chọn $e$, có 4 cách chọn $a$ nên có $\mathrm{2.4.}{A}_4^3=192$ số.
Vậy tất cả có $120+192=312$ số. (1,5 điểm)

b) Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần bao gồm cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{9!}{3!2!}=30240$ số. (0,5 điểm)

Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần và chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{8!}{3!2!}=3360$ số.
Vậy có $30240-3360=26880$ số. (1,0 điểm)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.