Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Cho $5$ ô vuông $a,b,c,d,e$ được bố trí như hình vẽ bên. Biết rằng có tất cả $T$ cách chọn ra $5$ số nguyên khác nhau từ tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;15\}$ để xếp vào $5$ ô vuông $a,b,c,d,e$ sao cho mỗi ô vuông nhỏ chỉ xếp được đúng một số và các ô hàng ngang được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần, còn các ô hàng dọc thì không được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và cũng không giảm dần. Hãy xác định giá trị của $\frac{T}{1001}$.

Xét một bảng ô vuông gồm $4\times 4$ ô vuông (hình vẽ). Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách?

Cho đa giác đều 2022 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn $100^{\circ }$?

Cho bảng $5\times 5$ gồm $25$ ô vuông đơn vị và cho bốn màu. Người ta tô mỗi ô trong bảng bởi một trong bốn màu đã cho sao cho hai ô bất kì có chung đỉnh hoặc chung cạnh thì khác màu. Hai cách tô màu bảng được gọi là giống nhau nếu mỗi ô của bảng có cùng màu ở cả hai cách tô (không tính đến thứ tự tô màu các ô). Gọi $S$ là số cách tô màu bảng phân biệt thỏa mãn điều kiện trên. Giá trị của $9S$ bằng bao nhiêu?

Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả $15$ số thuộc tập hợp $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12;15;16;20\}$ vào $15$ ô vuông trong hình dưới thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
– Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một hàng không chia hết cho $5$;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một cột không chia hết cho $5$.
Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong $15$ ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào $15$ ô vuông). Gọi $H$ là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Giá trị của $\frac{H}{30}$ bằng bao nhiêu?

[IMAGE:img_q18_grid]

Bạn Mạnh có các ô của hình vuông $4\times 4$. Bạn muốn ghi $2$ chữ số $1$ hoặc $0$ vào các ô vuông. Gọi $T$ là số cách ghi sao cho không có hình vuông $3\times 3$ nào được ghi hoàn toàn bằng số $1$ (tham khảo hình vẽ), các cách ghi là khác nhau qua phép đối xứng hay phép quay. Hãy tính giá trị của $\frac{T}{4000}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
[IMAGE:img_q19_grid]

Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ mười số nguyên $2,3,\dots ,11$ và điền vào các ô của hình dưới đây (mỗi ô chỉ điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi hàng (kể cả hàng có một ô) bằng nhau?
[IMAGE:img_q22_grid]

Một hệ thống máy chủ có $14$ địa chỉ IP được đánh số từ $1$ đến $14$. Quản trị viên cần cấp phát địa chỉ cho ba nhóm:
- Web (có $4$ địa chỉ được đánh số liên tiếp).
- Database (có $3$ địa chỉ trong đó không có hai địa chỉ nào được đánh số liên tiếp).
- Storage (có $2$ địa chỉ được đánh số bất kỳ).
Biết rằng ba nhóm này không có địa chỉ chung và không có địa chỉ của nhóm Database nào được đứng cạnh nhóm Web (cả trước và sau). Hỏi có bao nhiêu cách cấp phát địa chỉ?

Hoàng tham gia một trò chơi trên một sân chơi hình bát giác có đỉnh là vị trí mà người chơi có thể đi đến, Hoàng được yêu cầu tung một đồng xu. Nếu xuất hiện mặt sấp sẽ đi một bước cùng chiều kim đồng hồ. Nếu xuất hiện mặt ngửa sẽ đi một bước ngược chiều kim đồng hồ.
[IMAGE:img_q20_octagon]

Hoàng xuất phát từ đỉnh $A$ và dừng lại cho đến khi đi đến đỉnh $B$. Biết rằng Hoàng dừng lại sau $7$ lần tung đồng xu. Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra?

Hằng năm trước ngày Khai giảng năm học mới, Ủy ban nhân dân thành phố Huế giao Sở Giáo dục và Đào tạo tổ chức Lễ Tuyên dương học sinh đạt danh hiệu "Học sinh danh dự toàn trường" dành cho những học sinh xuất sắc nhất của mỗi trường phổ thông trên địa bàn thành phố. Trong Lễ Tuyên dương, Ban tổ chức vinh danh các học sinh theo lượt nhận, mỗi lượt có 10 học sinh, với những lượt có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thì Ban tổ chức muốn các học sinh này đứng thành một hàng mà nam nữ xen kẽ. Tuy nhiên khi xếp hàng với lượt có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thì Ban tổ chức nhận thấy các học sinh này không đứng xen kẽ nhưng chỉ cần đổi chỗ hai học sinh nào đó thì được hàng có nam nữ đứng xen kẽ, cách xếp này gọi là "cách xếp lỗi". Gọi $D$ là số "cách xếp lỗi" như trên, xác định giá trị của $\frac{D}{100}$.

Hệ thống gồm các vật như sau được gọi là **máng n**:
- Một máng nghiêng có $n$ lỗ dọc theo đáy. Tính từ trên cao xuống, các lỗ lần lượt có đường kính là $1,2,3,\dots ,n$.
- $n$ quả bóng có đường kính là các số nguyên dương không lớn hơn $n$, trong đó có thể có nhiều quả bóng có cùng đường kính.
(hình vẽ dưới đây mô tả **máng 4**)

Xét **máng n**, thả lăn $n$ quả bóng từ đỉnh máng xuống, lần lượt từng quả. Đối với mỗi quả bóng, khi lăn đến lỗ có đường kính lớn hơn hoặc bằng đường kính của nó thì nó sẽ lọt vào đồng thời đóng lỗ này lại. Đối với một thứ tự các quả bóng sau khi thả lăn, nếu các quả bóng đều lọt vào lỗ thì thứ tự các quả bóng ấy được gọi là **dãy đẹp**.

Hai **dãy đẹp** giống nhau khi và chỉ khi thứ tự bán kính của bóng lọt lỗ là như nhau.

Có thể tạo được bao nhiêu **dãy đẹp** khác nhau đối với **máng 5** biết rằng có đúng một quả có đường kính là $4$ và một quả có đường kính là $5$?

Có 15 quả bóng được đánh số từ 1 tới 15 được bỏ vào 3 chiếc hộp mất nhãn (giống nhau), mỗi hộp có 6 ngăn được đánh số từ 1 tới 6 như hình vẽ, mỗi ngăn chứa tối đa 1 quả bóng. Biết rằng sau khi các quả bóng này được bỏ ngẫu nhiên vào các ngăn của mỗi hộp thì còn 3 ngăn trống (ngăn nào cũng có thể trống); gọi $N$ là số cách thực hiện sao cho có đúng một hộp mà các quả bóng được bỏ vào có số tăng dần theo thứ tự trên xuống, đồng thời hộp đó chứa đủ 6 quả bóng, tính giá trị $\frac{N}{20175064}$.

Trong một cuộc thi, có $7$ thí sinh đã được xếp ngồi cố định quanh một bàn tròn và giám thị có $3$ mã đề khác nhau (giả sử số lượng đề thi của mỗi mã là nhiều tùy ý). Hỏi có bao nhiêu cách phát đề cho các thí sinh, mỗi thí sinh $1$ đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau thì khác mã đề?

Một hội nghị quốc tế có $12$ đại biểu đến từ ba đoàn, đoàn Việt Nam có $5$ người, đoàn Nhật Bản có $4$ người và đoàn Hàn Quốc có $3$ người, trong mỗi đoàn đều có $1$ trưởng đoàn. Công ty tổ chức cần sắp xếp $12$ đại biểu ngồi trên một hàng ghế dài có $12$ chỗ ngồi, thỏa mãn các yêu cầu:
+ Các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau, tạo thành một nhóm liên tiếp.
+ Không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau.
Gọi $N$ là tổng số cách sắp xếp thỏa mãn các yêu cầu trên, giá trị $\frac{N}{24}$ bằng bao nhiêu?

Trong buổi hoạt động trải nghiệm khoa học của học sinh Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, giáo viên chuẩn bị một bộ 8 viên bi kim loại khác nhau để thực hiện thí nghiệm về va chạm và chuyển động trên máng nghiêng. Để tiện cho việc quan sát và ghi chép kết quả, giáo viên đặt trước mặt học sinh 4 khay thí nghiệm được đánh số 1, 2, 3, 4. Trước khi tiến hành thí nghiệm, các viên bi sẽ được đặt vào các khay theo những quy tắc sau:



• Mỗi khay phải có ít nhất một viên bi để đảm bảo mỗi nhóm học sinh đều có vật mẫu quan sát.
• Các viên bi trong cùng một khay được xếp thành một hàng từ trái sang phải để thuận tiện cho việc lấy ra thí nghiệm theo thứ tự.
• Vì mỗi viên bi có khối lượng và màu sắc khác nhau, nên thứ tự các viên bi trong mỗi khay là quan trọng.
Hai cách sắp xếp được xem là giống nhau nếu mỗi khay có cùng số viên bi và thứ tự các viên bi từ trái sang phải trong từng khay hoàn toàn giống nhau.
Gọi $T$ là số cách sắp xếp khác nhau. Giá trị của $\frac{T}{200}$ bằng bao nhiêu?

Một khối lập phương có độ dài cạnh là 2cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1cm. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương cạnh 1cm?

Bạn An có một bảng chữ nhật gồm $6$ hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng $3$ màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng $2$ màu, trong đó mỗi màu tô đúng $2$ cạnh. Biết số cách tô màu bảng của bạn An là $T$, tính $\frac{T}{4}$.
[IMAGE_1]

Từ tập hợp số các số tự nhiên liên tiếp $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$ cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ dưới đây. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\frac{T}{8}$ bằng bao nhiêu?

Câu 6: Từ tập $A=\{1;2;3;\dots ;49;50\}$ gồm 50 số tự nhiên liên tiếp, cần chọn ra 21 số phân biệt để gắn vào 21 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D,E,F$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\log (T)$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Từ tập hợp số tự nhiên $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$, cần chọn ra 10 số phân biệt để gán vào 10 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\frac{T}{4}$ bằng bao nhiêu?