Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta tính tích phân: ${\int }_0^1\sqrt{x}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$ và ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$.

Do đó: $${\int }_0^1\left(\sqrt{x}-e^x\right)dx=\frac{2}{3}-(e-1)=-e+\frac{5}{3}.$$

Vậy $a=-1$, $\frac{b}{c}=\frac{5}{3}$ (tối giản, $b=5$, $c=3$).

Suy ra $a+b-c=-1+5-3=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Từ giả thiết $3F(b)=1+3F(a)$ suy ra $3F(b)-3F(a)=1$, tức $3(F(b)-F(a))=1$, nên $F(b)-F(a)=\frac{1}{3}$. Vậy ${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{3}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=3^x$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=2$ là $S={\int }_0^2{3}^{x}dx={\frac{3^x}{\ln 3}|}_0^2=\frac{3^2-3^0}{\ln 3}=\frac{9-1}{\ln 3}=\frac{8}{\ln 3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2$ và $y=-3x$ trên đoạn $[-1;2]$ là $S={\int }_{-1}^2|x^2-(-3x)|dx={\int }_{-1}^2|x^2+3x|dx$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất nguyên hàm: ${\int }_{-3}^{1}f(x)dx=F(1)-F(-3)=8-(-1)=9$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $x=-1$, $x=2$ và hai đồ thị $y=3x$, $y=x^2$ là $S={\int }_{-1}^2\left|x^2-3x\right|\mathrm{d}x$ vì trên đoạn $[-1;2]$ hai đồ thị cắt nhau (tại $x=0$ và $x=3$ ngoài đoạn, nhưng $x^2-3x$ đổi dấu tại $x=0$ trong đoạn), nên phải lấy trị tuyệt đối của hiệu hai hàm. Khớp với đáp án A trong bảng chấm (đề 101, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=2+6=8$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=-x^2+3x+3$ (nằm trên) và đường thẳng $y=x$ (nằm dưới). Giao điểm: $-x^2+3x+3=x\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, khớp với hình vẽ. Diện tích: $S={\int }_{-1}^3\left[(-x^2+3x+3)-x\right]\mathrm{d}x={\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A. (Kiểm tra: $S={\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right]}_{-1}^3=9-\left(\frac{1}{3}+1-3\right)=\frac{32}{3}>0$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: ${\int }_1^3\left(1+\frac{2}{x}\right)dx={\left[x+2\ln |x|\right]}_1^3=(3+2\ln 3)-(1+0)=2+2\ln 3$. Vậy $a=2,b=2,c=3$ (thỏa $c<9$). Do đó $S=a+b+c=2+2+3=7$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[a;c]$ đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$. Trên đoạn $[c;b]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần đó là ${\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$. Vậy $S=-\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. Các phương án A, B, D sai vì không tính đúng dấu của tích phân trên đoạn $[a;c]$ (D sai vì $\left|{\int }_a^{b}f\right|$ chỉ đúng khi hàm không đổi dấu).

(AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz: ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)dx=f(0)-f(-1)$. Từ đồ thị, $f(-1)=1$ (cực đại tại $x=-1$ có giá trị $1$) và $f(0)=-2$ (đồ thị cắt trục tung tại $-2$). Vậy tích phân bằng $-2-1=-3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;2]$ ta có $y=2+\frac{1}{x}>0$ nên diện tích là $$S={\int }_1^2\left(2+\frac{1}{x}\right)dx={\left[2x+\ln x\right]}_1^2=(4+\ln 2)-(2+\ln 1)=2+\ln 2.$$ Vậy $a=2,b=1,c=2$ (các số nguyên), do đó $a+b+c=2+1+2=5$. Khớp với đáp án B của đề (mã 1204).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_1^3[2f(x)-1]dx=2{\int }_1^{3}f(x)dx-{\int }_1^{3}1dx=2\cdot 4-(3-1)=8-2=6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2$, trục hoành $y=0$ và đường thẳng $x=1$ trên đoạn $[0;1]$. Vì $x^2\ge 0$ trên $[0;1]$, diện tích là $S={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$. Các phương án có hệ số $\pi$ dùng cho thể tích vật thể quay, không phải diện tích; phương án C tích phân $x$ cũng sai. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo khoảng: ${\int }_{-1}^{\pi }f(x)dx={\int }_{-1}^0(2x^2-x)dx+{\int }_0^{\pi }\sin xdx$. Phần thứ nhất: ${\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^0=0-\left(-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{6}$. Phần thứ hai: $[-\cos x{]}_0^{\pi }=1-(-1)=2$. Tổng: $\frac{7}{6}+2=\frac{19}{6}\approx 3.1667\approx 3.17$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;1]$ ta có $e^x+x>0$ nên diện tích là $S_{(H)}={\int }_0^1(e^x+x)dx=\left(e^x+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=e+\frac{1}{2}-1=e-\frac{1}{2}$. Vậy $a=1$, $b=2$ (phân số $\frac{1}{2}$ tối giản), suy ra $S=2026(a+b)=2026\cdot 3=6078$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường cong $y=x^2-2x-1$ và $y=-x^2+3$ cắt nhau tại $x^2-2x-1=-x^2+3\iff 2x^2-2x-4=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Trên đoạn $[-1;2]$, parabol $y=-x^2+3$ nằm phía trên $y=x^2-2x-1$, nên diện tích gạch chéo là $S={\int }_{-1}^2\left[(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right]dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Giải √(2x)=4−x (x≤4): bình phương 2x=(4−x)² ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 hoặc x=8 (loại vì x=8>4). Vậy hoành độ giao điểm là x=2 → đúng.
b) Diện tích cần tính là S₁=∫₀²√(2x)dx, không phải ∫₀²2x dx → sai.
c) Trên [2;4] ta có 4−x≥0 nên S₂=∫₂⁴(4−x)dx, không phải ∫₀²(x−4)dx → sai.
d) Hình phẳng S gồm phần dưới đường y=√(2x) trên [0;2] và phần dưới đường y=4−x trên [2;4], nên S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
√(2x)=4−x ⇔ 2x=(4−x)² ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 (x=8 loại do x≤4).
b) (AI giải đề cho tôi)
S₁=∫₀²√(2x)dx chứ không phải ∫₀²2x dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
S₂=∫₂⁴(4−x)dx; công thức ∫₀²(x−4)dx sai cả cận lẫn biểu thức (và cho giá trị âm).
d) (AI giải đề cho tôi)
S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx, đúng theo hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^2(3x-2f(x))dx=3{\int }_0^{2}xdx-2{\int }_0^{2}f(x)dx=3\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^2-2(-4)=3\cdot 2+8=14$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân không có tính chất tích: ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\ne {\int }_a^{b}f(x)dx\cdot {\int }_a^{b}g(x)dx$ nói chung. Ví dụ $f=g=1$ trên $[0;1]$: vế trái $=1$, vế phải $=1\cdot 1=1$; nhưng với $f(x)=x,g(x)=x$ trên $[0;1]$: vế trái $=\frac{1}{3}$, vế phải $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, mâu thuẫn. Các mệnh đề A (tính tuyến tính), C (tính cộng đoạn), D (đảo cận) đều đúng.