Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Câu 10. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(100;50;5)$ đến điểm $B(200;100;10)$ trong $10$ phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau $10$ phút tiếp theo là điểm nào?

Gọi $T$ là tập hợp các số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $z\bar{z}=|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|$. Xét $z_1$ và $z_2$ thuộc $T$ sao cho $\frac{z_1-z_2}{1-i}$ là số thuần ảo. Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_1-z_2|$ bằng

Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z+w|=\sqrt{10}$, $|2z+w|=\sqrt{17}$ và $|\bar{z}-3\bar{w}|=2\sqrt{10}$. Tính giá trị của biểu thức $P=z.\bar{w}+\bar{z}.w$.

Câu 4. Một chiếc máy bay thương mại Vietnam Airlines đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ $D$ đến $E$ có hình chiếu trên mặt đất là đoạn $CB$. Tại vị trí $D$ thì máy bay bay cách mặt đất $9000\text{ m}$, tại vị trí $E$ thì máy bay cách mặt đất $12000\text{ m}$. Một ra đa được đặt trên mặt đất tại vị trí $O$ cách $C$ khoảng $20000\text{ m}$, cách $B$ khoảng $16000\text{ m}$ và góc $\widehat{BOC}=90^{\circ }$; phạm vi theo dõi của ra đa là $20\text{ km}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1000\text{ m}$) với $O$ là vị trí đặt ra đa, $B$ thuộc tia $Oy$, $C$ thuộc tia $Ox$.

Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  8  4i  z1  4i , z 2  4  5i  1, z 3  1  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z 2  z1  z 3 .

Xét hai số phức z , w thoả mãn z + 2 w = 2 và 2 z − 3w − 7i = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − 2i + w + i là 2 3 4 3

Cho số phức z có phần thực không âm và z = 1 , gọi số phức w sao cho ( z + 1)( w − z ) là số thuần ảo. Khi w = 2 và w − z đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị của w − 1 . 2 3

Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2{|}^2-|z-i{|}^2$. Tính môđun của số phức $w=M+mi$.

Câu 3. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;1;0)$, $B(3;6;6)$, $C(4;6;2)$, $D(6;2;14)$; vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA=3,MB=6,MC=5,MD=13$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng bao nhiêu?

Xét các số phức z thỏa mãn z + 3 − 2i + z − 3 + i =3 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 + z − 1 − 3i . Tìm M , m .

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-i|=2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z+2-3i{|}^2-|z-3+i{|}^2$ bằng

Trong hình vẽ bên, điểm $M$ biểu diễn số phức $z$. Số phức $\bar{z}$ là:

Cho số phức $z$ thỏa $|z+1-4i|=|z-5|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=|z+3-2i|$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=\sqrt{20}$. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=|z+3-10i|+2|z-6-8i|+3|z-4-8i|$ là số có dạng $2a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$ trong đó $a,b,c,d$ là các số nguyên tố. Khi đó $a^2+b^2+c^2+d^2$ bằng

Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$ và $|w-6i|=3$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=6|z-4|+4|w-9-6i|+12|z-w|$ bằng

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z+i|=|z-1+2i|$ và $|w|=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-5+3i|-|z-w|$ bằng

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm $9\text{h }30^{\prime }$. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị $\text{km}$.

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80\text{ m}$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500\text{ km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho tia $Ox$ hướng về phía tây, tia $Oy$ hướng về phía nam, tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 1) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất $10\text{ km}$, cách $300\text{ km}$ về phía đông và $200\text{ km}$ về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát $300\text{ m}$ về phía Nam và $100\text{ m}$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $100\text{ m}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $200\text{ m}$ về phía Bắc và $100\text{ m}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $50\text{ m}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí $I(3;4;2)$. Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính $R=10\text{ m}$. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí $K(x-7;7;1)$. Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí $H(x+11;7;1)$. Tìm giá trị nguyên của $x$ sao cho cả hai vị trí $K$ và $H$ đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.