Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn C ($3\sqrt{3}$).

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 8): Chọn C.

Đặt $u=z+w$. Từ $|z-1{|}^2+|w-1{|}^2=8$ và $|z+w|=|z-w|$ suy ra $|u-2{|}^2+|u{|}^2=16\iff |u-1|=\sqrt{7}$. Khi đó $T=|u-(-2+3i)|\ge |1-(-2+3i)|-\sqrt{7}=\sqrt{9+9}-\sqrt{7}=3\sqrt{2}-\sqrt{7}$ (trên Mã đề 132 trang 6 in phương án A là $5-\sqrt{7}$ và bảng đáp án Mã 132 trang 7 chọn A).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 3 (Phần III) có đáp số là $31,7$.

Gọi $A^{\prime }(2;10;0)$ và $B^{\prime }(6;30;0)$ là hình chiếu của $A,B$ trên mặt phẳng $(Oxy)$. Vì góc giữa $XA,XB$ với $(Oxy)$ phụ nhau nên $\tan \alpha \cdot \tan \beta =1⟺\frac{4}{X{A}^{\prime }}\cdot \frac{6}{X{B}^{\prime }}=1$, từ đó xác định vị trí của $X$ trên $(Oxy)$ sao cho $OX$ lớn nhất bằng $31,7$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn A ($2\sqrt{53}$).

Chọn B
Điểm biểu diễn $z_1$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;-8)$, bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Điểm biểu diễn $z_2$ thuộc đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn nối hai điểm.
Sử dụng bất đẳng thức hình học và tính chất đối xứng, tìm được giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $4\sqrt{5}$.

Chọn D

26
Đặt z = x + yi ( x, y $\in$ $\mathbb{R}$; x \ge 0 ) , ta có
[z = 0
( ) + z.z + 4 z $\iff$ z 2 z - 4 = ( z + z + 4 ) z $\iff$  2 z - 4 = ( z + z + 4 )
2 2 2 2 2
2 z. z 2 - 4 z = z. z 2

[
[z = 0 [z = 0
$\iff$  $\iff$  2 .
[( x - 2 ) + y = ( x + 2 )
2 2
[ y = 8x
2

Đặt w = a + bi ( x, y $\in$ $\mathbb{R}$ ) , ta được

w = w + 4 + 2i $\iff$ a 2 + b 2 = ( a + 4 ) + ( b - 2 ) $\iff$ 2a - b + 5 = 0
2 2

Vậy quỹ tích các điểm N là đường thẳng $\Delta$ : 2 x - y + 5 = 0 .
2.0 - 0 + 5
Nếu M  O thì khoảng cách MN nhỏ nhất bằng d ( O, $\Delta$ ) = = 5.
5
Nếu M thuộc parabol y 2 = 8 x , ta kẻ tiếp tuyến song song vói $\Delta$ là đường thẳng
$\Delta$ ' : 2 x - y + 1 = 0 .

4
thì khoảng cách MN nhỏ nhất bằng d ( $\Delta$ , $\Delta$ ' ) = .
5
4
Vậy khoảng cách MN nhỏ nhất bằng d ( $\Delta$ , $\Delta$ ' ) = .
5

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Từ $|z-2+i|=|z-1|\iff (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=(x-1{)}^2+y^2\iff x-y-2=0\iff x=y+2$. Thay vào $|z{|}^2=4|y|+4\iff (y+2{)}^2+y^2=4|y|+4\iff 2y^2+4y=4|y|$. Với $y\ge 0\Rightarrow 2y^2=0\Rightarrow y=0$; với $y<0\Rightarrow 2y^2+8y=0\Rightarrow y=-4$. Vậy có $2$ số phức $z$.

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ tại $A(-1;1;0)$, và $B,C\in (P)$. Vì $SA\perp (P)$ và $AH\perp SB,AK\perp SC$ nên $SB\perp (AH{B}^{\prime }),SC\perp (AK{C}^{\prime })$, suy ra đường thẳng giao tuyến $\Delta =(AHK)\cap (P)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, tức $\Delta \perp BC$ và đi qua hình chiếu $E$ của $A$ lên $BC$? Chính xác hơn, $AH\cdot SB=S{A}^2=AK\cdot SC$, nên $\Delta$ cố định trong $(P)$. Tìm điểm đối xứng qua $\Delta$ ta được $\min (MB+MC)=\frac{\sqrt{14}}{2}$ (phương án A).

Số phức $\overline{z}\cdot w$ có phần ảo bằng $2$ nên $\overline{z}w-z\overline{w}=4i$. Kết hợp $|z|=1$ và $|z-w|=2\sqrt{2}\iff 1+|w{|}^2-(\overline{z}w+z\overline{w})=8$, suy ra $|w{|}^2\in \{5;13\}$ và $\max |z+w|=2\sqrt{5}$. Khi đó $|z+w-1+2i|\le |z+w|+|-1+2i|\le 2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\Rightarrow a=3,b=5\Rightarrow ab=15$. Chọn C.

Chọn B

Giả sử A ( z1 ) , B ( z2 ) . Từ giả thiết ta có:

+) z1 - 6 - 2i = z2 - 6 - 2i = 5 $\Rightarrow$ A, B $\in$ đường tr$\int$ n ( C ) tâm I ( 6; 2 ) , bán kính R = 5 .

+) z1 - 3 + z2 - 3 = z1 - z2 $\Rightarrow$ AK 2 + BK 2 = AB2 $\Rightarrow$ $\Delta$ ABK vuông tại K , với K ( 3;0 ) .
2 2 2

Gọi M là trung điểm của AB, J là điểm đối xứng với K qua M. Khi đó: P = OJ .

IK 2 + IJ 2 KJ 2
Theo công thức đường trung tuyến IM 2 = - , lại có: IM 2 = IA2 + AM 2
2 4

Suy ra: IJ 2 = 2 AI 2 - IK 2 $\Rightarrow$ IJ = 37.

Điểm J di động trên đường tr$\int$ n tâm I, bán kính 37 nên OJ max = OI + 37 $\approx$ 12, 4.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: B. Theo hướng dẫn giải chính thức (trang 11, nhãn 'Câu 45'): Điểm $A$ biểu diễn $z_1$ thuộc đường tròn tâm $I(2;4)$, bán kính $R=1$; điểm $B$ biểu diễn $z_2$ thuộc đường thẳng $d:x-y=0$. Do $\frac{z_1-z_2}{1+2i}\in \mathbb{R}$ nên đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2)$, tạo với pháp tuyến của $d$ góc $\phi$ có $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}$, suy ra $AB=AH\sqrt{10}$. Do đó $M+m=\sqrt{10}\left[(d(I,d)+R)+(d(I,d)-R)\right]=4\sqrt{5}\approx 8,94\in (8;9)$.

Từ $w=\frac{1}{iz+1}\Rightarrow iz+1=\frac{1}{w}\Rightarrow z=\frac{1-w}{iw}=\frac{w-1}{w}i$.

Thay vào giả thiết $\left|\frac{(2-i)z-3i-1}{z-i}\right|=2$, biến đổi được $|w+2-i|=2$, nên điểm biểu diễn $M(w_1),N(w_2)$ thuộc đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2$ và $MN=|w_1-w_2|=2$.

Gọi $A(0;4)$ là điểm biểu diễn số phức $4i$, ta có $IA=\sqrt{(-2{)}^2+(1-4{)}^2}=\sqrt{13}$.

Khi đó $P=M{A}^2-N{A}^2=\overrightarrow{MN}\cdot (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NA})=2\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{NM}\cdot (\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})=2\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{IA}\le 2\cdot MN\cdot IA=4\sqrt{13}$.

Ta có $z=\frac{26+2i}{3-5i}=2+4i\Rightarrow |z|=|2+4i|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$. Chọn A.

Để $△OAB$ đều (với $O$ không thẳng hàng $A,B$), hai nghiệm $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức liên hợp có phần thực bằng $2$: $z_{1,2}=2\pm yi$ ($y>0$). Khi đó $OA=OB=\sqrt{4+y^2}$ và $AB=2y$. Tam giác $OAB$ đều $\iff OA=AB\iff 4+y^2=4y^2\iff y^2=\frac{4}{3}$. Theo định lí Vi-ét, $\frac{c}{d}=z_1{z}_2=4+y^2=4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$. Vì $\frac{16}{3}$ tối giản và $d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $c=16,d=3$. Suy ra $P=2c-5d=2\cdot 16-5\cdot 3=17$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $|z|=\sqrt{5^2+(-2{)}^2}=\sqrt{29}$. Chọn A.

Điểm biểu diễn $M_1(z_1)$ thuộc đường thẳng $d_1:x-2y=0$; điểm $M_2(z_2)$ thuộc đường thẳng $d_2:2x+4y+3=0$; điểm $M_3(z_3)$ thuộc đường tròn $(C):(x-3{)}^2+y^2=1$ có tâm $I(3;0)$, bán kính $R=1$. Dùng phép đối xứng qua $d_1$ và $d_2$ ta tìm được giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác $M_1{M}_2{M}_3$ là $P_{\min }=4\sqrt{2}-2$. Chọn A.

Ta có $w=(1+i)z+1\iff w-1=(1+i)z\iff w-1-(1+i)=(1+i)(z-1)\iff w-(2+i)=(1+i)(z-1)$. Lấy môđun: $|w-(2+i)|=|1+i||z-1|\le \sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là hình tròn tâm $I(2;1)$ có bán kính $R=\sqrt{2}$. Diện tích hình tròn là $S=\pi R^2=2\pi$. Chọn B.