Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$ (song song với $d_1$). Điểm trên $d_2$: $P(2t;t;t)$; điểm trên $d_3$: $Q(1+s;2+2s;2s)$. Yêu cầu $\overrightarrow{PQ}\parallel \vec{u}$: $\frac{1+s-2t}{2}=\frac{2+2s-t}{1}=\frac{2s-t}{3}=\lambda$. Từ phương trình thứ hai $\lambda =2+2s-t$; thay vào phương trình thứ nhất: $1+s-2t=4+4s-2t\Rightarrow s=-1$; khi đó $\lambda =-t$; phương trình thứ ba: $-2-t=-3t\Rightarrow t=1$. Vậy $P(2;1;1)$, $Q(0;0;-2)$ và $\overrightarrow{PQ}=(-2;-1;-3)\parallel (2;1;3)$. Đường thẳng qua $Q(0;0;-2)$ với vecto $(2;1;3)$: $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Kiểm tra: đường này song song với $d_1$ (cùng vecto chỉ phương) và cắt $d_2$ tại $(2;1;1)$, cắt $d_3$ tại $(0;0;-2)$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có điểm A1(1;2;-2), vecto chỉ phương u1=(2;1;5); d2 có điểm A2(1;2;1), vecto chỉ phương u2=(1;1;3).
a) Với d1: 1+2t=-1 → t=-1, khi đó điểm là (-1;1;-7) ≠ N(-1;0;-5), nên N không thuộc d1 (N thuộc d2 với s=-2). Vậy khẳng định 'đều đi qua N' là sai.
b) A1A2=(0;0;3); u1×u2=(1·3-5·1; 5·1-2·3; 2·1-1·1)=(-2;-1;1). Tích hỗn hợp [u1,u2]·A1A2 = 3≠0 nên d1, d2 chéo nhau, không đồng phẳng → sai.
c) cosθ=|u1·u2|/(|u1||u2|)=|2+1+15|/(√30·√11)=18/√330≈0,9909 → θ≈7,75° → đúng.
d) Đường Δ: x=1-2t, y=2-t, z=1+t có vecto chỉ phương (-2;-1;1)=u1×u2 nên vuông góc với cả u1 và u2. Kiểm tra cắt d1: hệ 1-2t=1+2s, 2-t=2+s, 1+t=-2+5s cho t=-1/2, s=1/2, điểm chung (2; 5/2; 1/2) thỏa cả hai. Kiểm tra cắt d2: 1-2t=1+s, 2-t=2+s, 1+t=1+3s cho t=0, s=0, điểm chung (1;2;1) thuộc d2. Vậy Δ cắt cả d1 và d2 và vuông góc với cả hai, tức là đường vuông góc chung → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay t=-1 vào d1 được điểm (-1;1;-7)≠N(-1;0;-5), nên N không thuộc d1 (N chỉ thuộc d2 với s=-2). Vậy khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
A1A2=(0;0;3); u1×u2=(-2;-1;1); tích hỗn hợp [u1,u2]·A1A2=3≠0 nên hai đường chéo nhau, không đồng phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
cosθ=|u1·u2|/(|u1||u2|)=18/√330≈0,9909 nên θ≈7,75°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ có vecto chỉ phương (-2;-1;1)=u1×u2 vuông góc cả u1, u2. Giải với d1 được t=-1/2, s=1/2, điểm chung (2; 5/2; 1/2) thỏa cả hai. Giải với d2 được t=0, s=0, điểm chung (1;2;1) thuộc d2. Vậy Δ cắt cả d1 và d2 và vuông góc với cả hai, nên là đường vuông góc chung.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z+2}{1}$ đi qua điểm $P(-4;5;-2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-4;1)$.
a) Thay $M(3;-4;1)$: $\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$, $\frac{-4-5}{-4}=\frac{9}{4}$, $\frac{1+2}{1}=3$ — ba tỉ số không bằng nhau nên $M\notin d$. Sai.
b) ${\vec{u}}_1=(-3;4;-1)=-\vec{u}$ cùng phương với $\vec{u}$ nên là một vectơ chỉ phương của $d$. Đúng.
c) $\Delta$ có ${\vec{u}}_{\Delta }=(3;-4;1)$ cùng phương với $\vec{u}$ và đi qua điểm $(-4;5;-2)$ chính là điểm trên $d$, nên $\Delta \equiv d$ (trùng nhau), không phải song song. Sai.
d) ${\Delta }^{\prime }:\frac{x+4}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+1}{1}$ đi qua $(-4;-1;-1)$, vectơ chỉ phương $(3;-4;1)$ cùng phương với $d$ và không chứa điểm chung với $d$ (điểm $(-4;-1;-1)\notin d$ vì $\frac{-1-5}{-4}=\frac{3}{2}\ne 0=\frac{-1+2}{1}$), nên ${\Delta }^{\prime }$ song song $d$. Kiểm tra cắt $d_1$: $d_1:(1+s;-1+s;2+2s)$, giải hệ với ${\Delta }^{\prime }:(-4+3t;-1-4t;-1+t)$ được $t=\frac{1}{3},s=-\frac{4}{3}$, thỏa cả ba phương trình → cắt $d_1$ tại $\left(-3;\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$. Kiểm tra cắt $d_2$: $d_2:(-2+2s;3+4s;s)$, giải với ${\Delta }^{\prime }$ được $t=0,s=-1$, thỏa mọi phương trình → cắt $d_2$ tại $(-4;-1;-1)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;-4;1)$ vào $d$: $\frac{7}{3}\ne \frac{9}{4}\ne 3$ nên $M\notin d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(-3;4;-1)=-1\cdot (3;-4;1)$ cùng phương với vectơ chỉ phương $(3;-4;1)$ của $d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ có cùng vectơ chỉ phương và đi qua điểm $(-4;5;-2)\in d$ nên $\Delta \equiv d$ (trùng nhau), không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }$ song song với $d$, cắt $d_1$ tại $\left(-3;\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$ và cắt $d_2$ tại $(-4;-1;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(2a,0,0)$, $D=(0,0,2a)$ vì $\widehat{DAB}=90^{\circ }$, $AD=2a$.

Vì $\widehat{ABC}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$, suy ra $C=(2a,y,z)$ với $\overrightarrow{BC}=(0,y,z)$.

Góc giữa $AD$ (hướng $(0,0,1)$) và $BC$ bằng $45^{\circ }$: $\frac{|z|}{\sqrt{y^2+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y^2=z^2$.

Điều kiện $CD=2a\sqrt{2}$: $|C-D{|}^2=4a^2+y^2+(z-2a{)}^2=8a^2$. Với $y^2=z^2=4a^2$: $4a^2+4a^2+(z-2a{)}^2=8a^2\Rightarrow z=2a$, do đó $y=2a$.

Vậy $C=(2a,2a,2a)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{BC}=(0,2a,2a)$, $|BC|=2a\sqrt{2}$, góc với $AD$ bằng $45^{\circ }$; $\overrightarrow{CD}=(2a,2a,0)$, $|CD|=2a\sqrt{2}$ — thỏa mọi giả thiết.

Khoảng cách giữa $AC$ (hướng ${\vec{u}}_1=(1,1,1)$) và $BD$ (hướng ${\vec{u}}_2=(-1,0,1)$):
$${\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2=(1,-2,1),|{\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2|=\sqrt{6}.$$
$$h=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot ({\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2)|}{\sqrt{6}}=\frac{|(2a,0,0)\cdot (1,-2,1)|}{\sqrt{6}}=\frac{2a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{2k}}{k}.$$

So sánh: $2k=6\Rightarrow k=3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;3a)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{SB}=(a;0;-3a)$. Tích có hướng: $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}=(-3a^2;3a^2;-a^2)$, độ dài $a^2\sqrt{19}$. Lấy $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, khi đó $d(AC,SB)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB})|}{|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}|}=\frac{3a^3}{a^2\sqrt{19}}=\frac{3a}{\sqrt{19}}=\frac{3a\sqrt{19}}{19}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(\sqrt{3};0;0)$, $D(0;2\sqrt{3};0)$, $C(\sqrt{3};\sqrt{3};0)$ (đáy là hình thang vuông tại $A$, $B$ với $AD\parallel BC$), và $S(0;0;\sqrt{3})$ vì $SA\perp (ABCD)$, $SA=\sqrt{3}$.

Ta có $\overrightarrow{SB}=(\sqrt{3};0;-\sqrt{3})$, $\overrightarrow{CD}=(-\sqrt{3};\sqrt{3};0)$.

Tích có hướng: $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{CD}=(3;3;3)$, độ dài $=3\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{SC}=(\sqrt{3};\sqrt{3};-\sqrt{3})$, nên $\overrightarrow{SC}\cdot (\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{CD})=3+3-3=3$.

Khoảng cách giữa $SB$ và $CD$: $d=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
AB nhỏ nhất chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1,d_2$. Ta có $d_1$ đi qua $P_1(2;2;0)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;1;-1)$; $d_2$ đi qua $P_2(2;-1;0)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;2;-3)$. Tính $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(-1;2;1)$, $\left|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}\right|=\sqrt{6}$. Lại có $\overrightarrow{P_1{P}_2}=(0;-3;0)$ nên $\mathrm{d}(d_1,d_2)=\frac{\left|\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{|0\cdot (-1)+(-3)\cdot 2+0\cdot 1|}{\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\approx 2,45$. Vậy độ dài $AB$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{6}\approx 2,45$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $B^{\prime }(a,0,a)$, $D^{\prime }(0,a,a)$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1,0,1)$, đường thẳng $C{D}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-1,0,1)$. Lấy $\overrightarrow{CA}=(-a,-a,0)$. Ta có $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0,-2,0)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d(A{B}^{\prime },C{D}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})|}{|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2a|}{2}=a$. Vậy đáp án B. Cách khác: $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$ nên khoảng cách giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $D^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$, tính được cũng bằng $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay của Alpha đi qua $A(10;6;0)$ với vecto chỉ phương ${\vec{u}}_1=\overrightarrow{AD}=(-6;-9;3)$, đường bay của Beta đi qua $T(7;-8;3)$ với vecto chỉ phương ${\vec{u}}_2=\overrightarrow{TB}=(-3;24;-3)$.

Phương trình tham số:
$$\text{Alpha: }\{\begin{array}{l}x=10-6t\\ y=6-9t\\ z=3t\end{array},\text{Beta: }\{\begin{array}{l}x=7-3s\\ y=-8+24s\\ z=3-3s\end{array}$$

Giải hệ để tìm giao điểm $S$: từ $3t=3-3s\Rightarrow t+s=1$; từ $10-6t=7-3s\Rightarrow 2t-s=1$. Suy ra $t=\frac{2}{3},s=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn phương trình còn lại: $9\cdot \frac{2}{3}+24\cdot \frac{1}{3}=14$). Vậy $S(6;0;2)$.

Khoảng cách:
$$AS=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\sqrt{36+81+9}=2\sqrt{14}\approx 7,4833\text{ km}$$
$$TS=\frac{1}{3}TB=\frac{1}{3}\sqrt{9+576+9}=\sqrt{66}\approx 8,1240\text{ km}$$

Thời gian Alpha tới $S$: $\frac{2\sqrt{14}}{300}\cdot 3600\approx 89,80$ giây.
Thời gian Beta tới $S$: $\frac{\sqrt{66}}{350}\cdot 3600\approx 83,56$ giây.

Beta đi qua $S$ trước Alpha một khoảng thời gian:
$$\Delta t\approx 89,80-83,56=6,24\approx 6,2\text{ giaˆy}$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $6,2$ (bảng đáp án mã đề 211, Phần III, câu 16 = 6,2).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bay qua $A(-500;-300;500)$ và $B(-200;-200;450)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(300;100;-50)$. Điểm $H$ trên đường thẳng gần $O$ nhất thỏa $\overrightarrow{AH}=t\vec{u}$ với $t=-\frac{A\cdot \vec{u}}{|\vec{u}{|}^2}$. Ta có $A\cdot \vec{u}=(-500)(300)+(-300)(100)+(500)(-50)=-205000$ và $|\vec{u}{|}^2=90000+10000+2500=102500$, nên $t=\frac{205000}{102500}=2$. Suy ra $H=A+2\vec{u}=(100;-100;400)$, tức $(a;b;c)=(100;-100;400)$. Khi đó $P=a+2b+c=100+2(-100)+400=300$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (300).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(-7;0;1) vào Δ2: (x-7)/3 = (-14)/3 ≠ y/1 = 0, nên M không thuộc Δ2 → Sai. b) Δ1 có VTCP u1=AB=(1;-1;2), Δ2 có VTCP u2=(3;1;-1). Vectơ A đến điểm P(7;0;-1) trên Δ2: AP=(5;-1;-2). [u1,u2]=(-1;7;4), AP·[u1,u2]=-5-7-8=-20≠0 nên Δ1, Δ2 chéo nhau (không cắt, không song song) → hai đường ở cao độ khác nhau, nút giao khác mức → Đúng. c) AB=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2) là VTCP của Δ1 → Đúng. d) Δ1 qua B(3;0;3) với VTCP (1;-1;2): (x-3)/1 = y/(-1) = (z-3)/2 → Đúng. Khớp đáp án đề (4a S, 4b D, 4c D, 4d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(-7;0;1): (x-7)/3 = -14/3 ≠ 0 = y/1, nên M không thuộc Δ2.
b) (AI giải đề cho tôi)
u1=(1;-1;2), u2=(3;1;-1), AP=(5;-1;-2) với P(7;0;-1)∈Δ2. [u1,u2]=(-1;7;4) và u1·[u1,u2]=-1-7+8=0, AP·[u1,u2]=-5-7-8=-20≠0 nên hai đường chéo nhau, không giao nhau ở cùng điểm → nút giao khác mức.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2) là vectơ chỉ phương của Δ1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ1 qua B(3;0;3), VTCP (1;-1;2): (x-3)/1 = y/(-1) = (z-3)/2.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2)$, đúng là vecto chỉ phương của ${\Delta }_1$, khẳng định đúng. b) Thay $M(-7;0;1)$ vào ${\Delta }_2$: $\frac{-7-7}{3}=-\frac{14}{3}\ne 0=\frac{0}{1}$, nên $M\notin {\Delta }_2$, khẳng định sai. c) ${\Delta }_1$ đi qua $B(3;0;3)$ với vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ nên $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{2}$, đúng. d) Hai vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ và $(3;1;-1)$ không tỉ lệ. Tham số hóa: ${\Delta }_1:(2+t;1-t;1+2t)$, ${\Delta }_2:(7+3s;s;-1-s)$. Từ $1-t=s$ và $2+t=7+3s$ được $t=2,s=-1$; kiểm tra $z$: $1+2\cdot 2=5\ne -1-(-1)=0$, vô nghiệm. Vậy ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ chéo nhau, không cắt nhau nên nút giao là nút giao khác mức, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2)$, đúng là một vecto chỉ phương của ${\Delta }_1$. Khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-7;0;1)$: $\frac{-7-7}{3}=-\frac{14}{3}\ne \frac{0}{1}$ nên $M\notin {\Delta }_2$. Khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_1$ qua $B(3;0;3)$, vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ nên phương trình chính tắc là $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{2}$. Khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau (hệ phương trình vô nghiệm, vecto chỉ phương không tỉ lệ) nên chúng không cắt nhau ở cùng cao độ: nút giao khác mức. Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;2;0)$, $S(0;0;4)$. Đường thẳng $BD$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;0)$, đường thẳng $SC$ có $\vec{v}=(2;2;-4)$. Lấy điểm $B(2;0;0)$ trên $BD$ và $S(0;0;4)$ trên $SC$, ta có $\overrightarrow{SB}=(2;0;-4)$. Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(4;4;4)$, $|\vec{n}|=4\sqrt{3}$. Khoảng cách: $d(BD,SC)=\frac{|\overrightarrow{SB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|8+0-16|}{4\sqrt{3}}=\frac{8}{4\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,1547$. Vậy khoảng cách giữa $BD$ và $SC$ xấp xỉ $1,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $E(0;0;0)$, $F(3a;0;0)$, $H(0;4a;0)$, $E^{\prime }(0;0;12a)$. Khi đó $F^{\prime }(3a;0;12a)$, $G(3a;4a;0)$, $H^{\prime }(0;4a;12a)$. Hai đường thẳng $E{F}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(3;0;12)$ và $G{H}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-3;0;12)$ là hai đường chéo chéo nhau. Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0;-72;0)$, do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách từ $G$ đến $E{F}^{\prime }$ theo phương $\vec{n}$: $d=\frac{|\overrightarrow{EG}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|3a\cdot 0+4a\cdot (-72)+0|}{72}=\frac{288a}{72}=4a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(13;0;0)$, $D(0;13;0)$, $C(13;13;0)$, $O(6,5;6,5;0)$, $S(0;0;h)$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}=60^{\circ }$, suy ra $h=SA=AB\tan 60^{\circ }=13\sqrt{3}$. Đường thẳng $AB$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;0;0)$, đường thẳng $SO$ có vecto chỉ phương $\vec{v}=(6,5;6,5;-13\sqrt{3})$, vecto $\vec{w}=\overrightarrow{AO}=(6,5;6,5;0)$. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d(AB,SO)=\frac{|\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}$. Ta có $\vec{u}\times \vec{v}=(0;13\sqrt{3};6,5)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{507+42,25}=\sqrt{549,25}\approx 23,4354$, và $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=6,5\cdot 13\sqrt{3}\approx 146,358$. Vậy $d\approx \frac{146,358}{23,4354}\approx 6,245\approx 6,2cm$, khớp với đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;3)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{SB}=(1;0;-3)$. Vecto pháp tuyến chung: $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}=(-3;3;-1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$. Lấy $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, khoảng cách $d(AC,SB)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{19}}\approx 0,6882\approx 0,69$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,69.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;3)$.

$\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{SB}=(1;0;-3)$.

VTPT của $(AC,SB)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}=(-3;3;-1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$.

Lấy $A\in AC$, $S\in SB$, $\overrightarrow{AS}=(0;0;3)$.

Khoảng cách: $d(AC,SB)=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-3|}{\sqrt{19}}=\frac{3}{\sqrt{19}}\approx 0,6882\approx 0,69$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,69.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a),C^{\prime }(a,a,a)$. Đường thẳng $BD$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1,1,0)$, đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\overrightarrow{u_2}=(1,1,0)$. Véc-tơ pháp tuyến chung $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0,0,-2)$. Lấy $P=B(a,0,0)\in BD$, $Q=A^{\prime }(0,0,a)\in A^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $\overrightarrow{PQ}=(-a,0,a)$. Khoảng cách $$d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-2a|}{2}=a.$$ Về hình học: $\vec{n}=(0,0,1)$ chính là phương thẳng đứng, tức vuông góc chung với cả $BD$ (nằm trong mặt phẳng đáy) và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (nằm trong mặt phẳng trên), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy, bằng cạnh $a=C{C}^{\prime }$. Vậy $d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=C{C}^{\prime }$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 12: C). Lưu ý: không thể dùng khoảng cách từ $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song mà cắt mặt phẳng đó tại tâm hình lập phương; véc-tơ vuông góc chung có phương thẳng đứng nên kết quả đúng là $a$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hai vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;1;1)$, $\overrightarrow{u_2}=(-1;-1;1)$. $\cos \phi =\frac{|1\cdot (-1)+1\cdot (-1)+1\cdot 1|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{3}$, nên $\phi \approx 70,53^{\circ }<80^{\circ }$. Đúng.

b) Đường $d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}$ đi qua $(-2;1;0)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;1)$. Kiểm tra thuộc $(P)$: $-2+3+0-1=0$ ✓; $\vec{u}\cdot \vec{n}=1-3+2=0$ ✓ nên $d\subset (P)$. Giao với ${\Delta }_1$: giải $(-2+t;1-t;t)=(-1+s;2+s;1+s)$ được $s=-1,t=0$, giao điểm $(-2;1;0)$ ✓. Giao với ${\Delta }_2$: $(-2+t;1-t;t)=(2-r;1-r;r)$ được $r=t=2$, giao điểm $(0;-1;2)$ ✓. Đúng.

c) Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $(1;3;2)$, không cùng phương với $(1;2;3)$. Sai.

d) Thay $t=-1$ vào ${\Delta }_1$: $(-1-1;2-1;1-1)=(-2;1;0)=A$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|-1-1+1|}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \phi \approx 70,53^{\circ }<80^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d$ nằm trong $(P)$ và cắt ${\Delta }_1$ tại $(-2;1;0)$, cắt ${\Delta }_2$ tại $(0;-1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là $(1;3;2)$, không cùng phương với $(1;2;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=-1$ trên ${\Delta }_1$ ta được điểm $(-2;1;0)=A$.