Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Phương trình chính tắc của $(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
Ta có: $2a=120\Rightarrow a=60,2b=90\Rightarrow b=45$. Suy ra $(E):\frac{x^2}{3600}+\frac{y^2}{2025}=1$.
Chọn $M\left(x_M;y_M\right)$ là đỉnh hình chữ nhật và $x_M>0,y_M>0$. Ta có: $\frac{x_M^2}{3600}+\frac{y_M^2}{2025}=1$.
Diện tích hình chữ nhật là $S=4x_M\cdot y_M=5400\cdot 2\cdot \frac{x_M}{60}\cdot \frac{y_M}{45}\le 5400\left(\frac{x_M^2}{3600}+\frac{y_M^2}{2025}\right)=5400\left(m^2\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E) nhận F1(-√3;0) làm tiêu điểm nên c=√3, dạng x²/a² + y²/b² = 1 với a²−b²=3. Vì M(1;√3/2) thuộc elip: 1/a² + (3/4)/b² = 1. Đặt t=b², a²=t+3: 1/(t+3) + 3/(4t) = 1 ⇒ 4t + 3(t+3) = 4t(t+3) ⇒ 7t+9 = 4t²+12t ⇒ 4t²+5t−9=0 ⇒ t=1 (nhận) hoặc t=−9/4 (loại). Vậy b²=1, a²=4, phương trình chính tắc x²/4 + y²/1 = 1 (c Đúng); tiêu cự 2c=2√3 (d Đúng).
a) MF1 = √((1+√3)² + (√3/2)²) = √(4+2√3+3/4) = √(19/4+2√3) ≈ 2,87 ≠ (2−√3)/2 ≈ 0,13 ⇒ Sai.
b) Thay N(−1;√3/2) vào phương trình: 1/4 + 3/4 = 1 ⇒ N nằm trên elip, nên khẳng định 'N không nằm trên elip' Sai.
Đối chiếu bảng đáp án chính thức mã đề 1001, PHẦN II Câu 4: SSDD — khớp hoàn toàn với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
MF1 = √((1+√3)² + 3/4) = √(19/4 + 2√3) ≈ 2,87, khác (2−√3)/2 ≈ 0,13 nên mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(−1;√3/2) vào x²/4 + y² = 1 được 1/4 + 3/4 = 1, nên N nằm trên elip; khẳng định 'không nằm' là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
c=√3 nên a²−b²=3; M(1;√3/2) thuộc elip cho hệ 1/a² + 3/(4b²) = 1, giải được b²=1, a²=4 ⇒ x²/4 + y²/1 = 1, Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2√3, Đúng.

Đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Ox trên mặt đất, gốc tại A. Parabol đi qua A(0;0), B(162;0) nên có dạng $y=ax(162-x)$, đỉnh tại $x=81$. Điểm M có hoành độ $x=HA=10$, tung độ $MH=43$, suy ra $43=a\cdot 10\cdot 152\Rightarrow a=\frac{43}{1520}$. Chiều cao cổng là tung độ đỉnh: $h=a\cdot 81^2=\frac{43\cdot 6561}{1520}\approx 185,6m$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ ta có $a^2=25,b^2=9$ nên $a=5$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{34}\approx 5,831$. Tiêu điểm phải $F_2(\sqrt{34};0)$, đỉnh nhánh trái $A_1(-5;0)$. Khoảng cách $F_2{A}_1=\sqrt{34}+5\approx 10,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại tâm mặt cắt, trục Ox nằm ngang. Nửa elip có bán trục lớn $a=10m$ (rộng $20m$) và bán trục nhỏ $b=8m$ (cao $8m$), phương trình: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ với $y\ge 0$. Điểm cách chân tường $5m$ có hoành độ $x=10-5=5$. Thay vào: $\frac{25}{100}+\frac{y^2}{64}=1\Rightarrow y^2=64\cdot \frac{3}{4}=48\Rightarrow y=4\sqrt{3}\approx 6,93m$. Vậy khoảng cách cần tìm là $6,93m$.

Chọn hệ trục tọa độ: Chọn hệ trục $Bxy$ với góc $B$, tia $Bx$ chứa $BC$, tia $By$ chứa $BA$. Khi đó $$B(0;0),C(4;0),D(4;2),A(0;2),$$ $$A_1(0;1),A_2(4;1),B_1(2;0),B_2(2;2).$$ Lập phương trình elip: Bốn điểm $A_1,A_2,B_1,B_2$ là các đỉnh của elip nên elip có tâm là trung điểm $I(2;1)$ của $A_1{A}_2$, một trục nằm ngang độ dài $A_1{A}_2=4$ và một trục thẳng đứng độ dài $B_1{B}_2=2$. Do đó elip có phương trình $$\frac{(x-2{)}^2}{4}+(y-1{)}^2=1.$$ Tìm hai giao điểm với đường chéo $AC$: Đường thẳng $AC$ đi qua $A(0;2)$ và $C(4;0)$ nên có phương trình $y=2-\frac{x}{2}$. Thay vào phương trình elip: $$\frac{(x-2{)}^2}{4}+{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^2=1\iff \frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(x-2{)}^2}{4}=1\iff (x-2{)}^2=2\iff x=2\pm \sqrt{2}.$$ Vậy hai giao điểm là $$M\left(2-\sqrt{2};1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right),N\left(2+\sqrt{2};1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$ Tính thời gian: Ta có $MN=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{10}$ (cm). Vì chất điểm chuyển động với vận tốc 1 cm/s nên thời gian cần tìm bằng $\frac{MN}{1}=\sqrt{10}$ (giây). Đáp số: Thời gian cần tìm bằng $\sqrt{10}\approx 3,16$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1(-\sqrt{3};0)$ nên $c^2=3$, tức $a^2=b^2+3$. Elip đi qua $M(-\sqrt{3};\frac{1}{2})$ nên $\frac{3}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1$. Thay $a^2=b^2+3$ và nhân với $4b^2(b^2+3)$: $12b^2+(b^2+3)=4b^4+12b^2\Rightarrow 4b^4-b^2-3=0$. Đặt $t=b^2>0$: $4t^2-t-3=0\Rightarrow t=1$ (nghiệm $t=-\frac{3}{4}$ loại). Vậy $b^2=1$, $a^2=4$, phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Khớp với đáp án nguồn D.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
Ta có $z-i=x+(y-1)i⟹|z-i|=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$.
Mặt khác $z-\bar{z}+2i=2yi+2i=2(y+1)i⟹|z-\bar{z}+2i|=|2(y+1)|=2|y+1|$.
Thay vào phương trình:
$2\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=2|y+1|⟺x^2+(y-1{)}^2=(y+1{)}^2$
$⟺x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1⟺x^2=4y.$
Đây là phương trình chính tắc của một parabol.

Khoảng cách từ tâm lục giác đều cạnh $a=2\text{ dm}$ đến mỗi cạnh là $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{ dm}$, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $6$ đỉnh parabol là $R=\sqrt{3}+3\text{ dm}$. Diện tích hình tròn là $S_{\text{troˋn}}=\pi (3+\sqrt{3}{)}^2$. Diện tích lục giác đều là $S_1=6\cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}{\text{ dm}}^2$. Diện tích $6$ cánh hoa parabol là $S_2=6\cdot \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 3=24{\text{ dm}}^2$. Diện tích phần tô màu là $S=\pi (3+\sqrt{3}{)}^2-(6\sqrt{3}+24)\approx 35,96\approx 36{\text{ dm}}^2$.

Đường elip ngoài có độ dài trục lớn $2a_1=10\text{m}⟹a_1=5\text{m}$, độ dài trục bé $2b_1=6\text{m}⟹b_1=3\text{m}$.
Diện tích hình elip ngoài là:
$S_1=\pi a_1{b}_1=\pi \cdot 5\cdot 3=15\pi {\text{ (m}}^2\text{)}$
Đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng $d=2\text{dm}=0,2\text{m}$.
Do đó nửa trục lớn và nửa trục bé của elip trong lần lượt là:
$a_2=a_1-0,2=4,8\text{m},b_2=b_1-0,2=2,8\text{m}$
Diện tích hình elip trong là:
$S_2=\pi a_2{b}_2=\pi \cdot 4,8\cdot 2,8=13,44\pi {\text{ (m}}^2\text{)}$
Diện tích phần đất trồng hoa (phần vành giữa hai elip) là:
$S=S_1-S_2=15\pi -13,44\pi =1,56\pi {\text{ (m}}^2\text{)}$
Tổng kinh phí trồng hoa là:
$T=S\times 100.000=1,56\pi \times 100.000=156.000\pi \approx 156.000\times 3,14159265\approx 490088,45\text{ đoˆˋng}$
Số tiền này gần nhất với $490088$ đồng. Chọn A.

Chọn B.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa $|z-3|+|z+3|=10$ là elip có hai tiêu điểm $F_1(-3;0),F_2(3;0)$, độ dài trục lớn $2a=10\Rightarrow a=5$, tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$, do đó $b=\sqrt{a^2-c^2}=4$.
Phương trình elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
Mô đun $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ nhỏ nhất khi điểm biểu diễn là các đỉnh trên trục nhỏ: $B_1(0;4)$ và $B_2(0;-4)$, tương ứng với $z_1=4i$ và $z_2=-4i$.
Khi đó $z_1^2=(4i{)}^2=-16$ và $z_2^2=(-4i{)}^2=-16$.
Suy ra $P=z_1^2+z_2^2=-16+(-16)=-32$.

Diện tích 4 cánh hoa đen là $S_1=\frac{4}{75}{\text{ m}}^2$, diện tích phần trắng là $S_2=\frac{8}{75}{\text{ m}}^2$. Chi phí là $400\cdot \frac{4}{75}+300\cdot \frac{8}{75}=\frac{160}{3}\approx 53$ (nghìn đồng).

Phương trình elip là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$. Với $x_N=3\sqrt{3}\Rightarrow y_N=1$. Diện tích phần tô đậm là $S_1=4{\int }_0^{1}3\sqrt{4-y^2}dy=12\left(\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=4\pi +6\sqrt{3}$. Diện tích elip là $S=24\pi$. Tổng chi phí là $150.000S_1+100.000(S-S_1)\approx \mathrm{4.917.845}$ đồng.

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$, $F_1(3;0)$, $F_2(-3;0)$.
Theo đề bài: $|z-3|+|z+3|=10\iff M{F}_1+M{F}_2=10$.
Vì $F_1{F}_2=6<10$ nên tập hợp điểm $M$ là đường elip $(E)$ có tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$, trục lớn $2a=10\Rightarrow a=5$.
Độ dài nửa trục bé là $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $M$ là $|z|=OM$, giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là bán trục bé $b=4$. Chọn B.

Lời giải

D. 283904000.

Chọn A
Gọi ( E1 ), ( E2 ) lần lượt là viền ngoài và viền trong của con đường;
a1 , b1 lần lượt là độ dài bán trục lớn, bán trục nhỏ của ( E1 )
a2 , b2 lần lượt là độ dài bán trục lớn, bán trục nhỏ của ( E2 ).

Ta có: S1 = $\pi$ a1b1 = $\pi$ .50.30 = 1500$\pi$ m 2
S2 = $\pi$ a2b2 = $\pi$ .48.28 = 1344$\pi$ m 2

Diện tích con đường là: S = S1 - S2 = 1500$\pi$ - 1344$\pi$ = 156$\pi$ m 2
Vậy số tiền làm con đường là 156$\pi$ .600000 = 294.053.000 đồng.

Phương trình hai elip: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ và $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$.
Tọa độ giao điểm thỏa mãn: $x^2=y^2=\frac{16}{5}\Rightarrow R=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{32}{5}}$.
Diện tích trồng cỏ là hình tròn bán kính $R$: $S_{\text{cỏ}}=\pi R^2=\frac{32\pi }{5}\approx 20,106{\text{ m}}^2$.
Diện tích phần trồng hoa gồm bốn cánh hoa ngoài đường tròn, tính bằng tích phân hoặc hiệu diện tích, cho tổng số tiền xấp xỉ $\mathrm{4.300.000}\text{ đoˆˋng}$.

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi ( x, y $\in$ ) và z = x - yi .

Ta có: z + 4 + z - 4 = 8 $\iff$ x + 4 + yi + x - 4 - yi = 8

$\iff$ ( x + 4) + y 2 + ( x - 4) + y 2 = 8
2 2

Đặt A ( -4;0 ) , B ( 4;0 ) $\Rightarrow$ AB = ( 4 + 4 ) + 02 = 8.
2

Nên MA + MB = AB
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z chính là đoạn thẳng AB

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O$ là trung điểm của $AB$, tia $Ox$ trùng với tia $OB$ ($B(200;0),A(-200;0)$) và đỉnh cầu là $I(0;8)$. Phương trình parabol là $y=-\frac{8}{200^2}{x}^2+8=-\frac{1}{5000}{x}^2+8$ với $x\in [-200;200]$. Độ dốc tại điểm $M(x;y)$ trên mặt cầu là $\tan (\Delta ,d)=|y^{\prime }(x)|=\frac{|x|}{2500}\le \frac{200}{2500}=0,08$. Vậy độ dốc lớn nhất của mặt cầu là $0,08$. (Theo lời giải trang 16–17, mã đề 0101).

Diện tích hai cánh cửa cổng gồm hình chữ nhật $4\times 2$ và phần parabol có đáy $4\text{ m}$, chiều cao $2,5-2=0,5\text{ m}$: $S=4\cdot 2+\frac{2}{3}\cdot 4\cdot 0,5=\frac{28}{3}\approx 9,3{\text{ m}}^2$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 122).