Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố người mắc bệnh, P(B)=0,01; + là biến cố test dương tính. a) Độ nhạy 99% nên P(+|B)=0,99, do đó P(−|B)=1−0,99=0,01. Đúng. b) Độ đặc hiệu 96% nên P(−|không B)=0,96, suy ra P(+|không B)=0,04. Đúng. c) Theo công thức xác suất toàn phần: P(+)=0,01·0,99+0,99·0,04=0,0099+0,0396=0,0495≠0,05. Sai. d) Theo công thức Bayes: P(B|+)=0,0099/0,0495=0,2=20%. Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a D, 2b D, 2c S, 2d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ nhạy 99% nên P(+|B)=0,99, suy ra P(−|B)=0,01.
b) (AI giải đề cho tôi)
Độ đặc hiệu 96% nên P(−|không B)=0,96, suy ra P(+|không B)=0,04.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(+)=0,01·0,99+0,99·0,04=0,0495, không bằng 0,05.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B|+)=0,0099/0,0495=0,2=20%.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: người mắc bệnh X, $B$: phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Ta có $P(A)=0,002$, $P(B|A)=1$, $P(B|\bar{A})=0,06$. Theo công thức Bayes:
$$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})}=\frac{0,002\cdot 1}{0,002+0,998\cdot 0,06}=\frac{0,002}{0,06188}\approx 0,0323.$$
Vậy xác suất người đó mắc bệnh X khoảng $3,23\%$, làm tròn đến hàng phần trăm là $3\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là biến cố học sinh học bài thường xuyên, Đ là biến cố đạt điểm cao. Bảng số liệu: học bài thường xuyên 60 (48 đạt điểm cao, 12 không), không học thường xuyên 40 (12 đạt điểm cao, 28 không).
a) P(Đ) = (48+12)/100 = 60/100 = 0,6 ≠ 0,8 → sai.
b) P(H|Đ) = 48/60 = 0,8 ≠ 0,6 → sai.
c) P(H|Đ̄) = 12/40 = 0,3 ≠ 0,28 → sai.
d) P(Đ|H) = 48/60 = 0,8; P(Đ|H̄) = 12/40 = 0,3; tỉ số 0,8/0,3 = 8/3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh đạt điểm cao là 48+12=60, nên P(Đ)=60/100=0,6 ≠ 0,8.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(H|Đ)=48/60=0,8 ≠ 0,6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh không đạt điểm cao là 100−60=40, trong đó học bài thường xuyên là 60−48=12, nên P(H|Đ̄)=12/40=0,3 ≠ 0,28.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(Đ|H)=48/60=0,8 và P(Đ|H̄)=12/40=0,3, tỉ số 0,8/0,3=8/3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi X là biến cố máy bay xuất hiện ở khu vực X: $P(X)=0,6$, $P(Y)=0,4$. Xác suất máy bay không bị hạ: nếu ở X (bắn 2 tên lửa, cả hai đều trượt): $0,2^2=0,04$; nếu ở Y (bắn 1 tên lửa, trượt): $0,2$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(\overline{H})=0,6\cdot 0,04+0,4\cdot 0,2=0,024+0,08=0,104$. Theo công thức Bayes: $P(X|\overline{H})=\frac{0,6\cdot 0,04}{0,104}=\frac{0,024}{0,104}=\frac{3}{13}\approx 0,2308$. Quy tròn đến hàng phần trăm: $0,23$.

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai.

Gọi $A$ là biến cố “Nhân viên được chọn là nữ” và $B$ là biến cố “Nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ”.

a) Theo đề ta có $P(A)=0,45$; $P(B|A)=0,07$; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,05$; $P\left(\overline{A}\right)=0,55$. Vậy xác suất nhân viên được chọn là nam là $0,55$.

b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có $$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)=0,45\cdot 0,07+0,55\cdot 0,05=0,059.$$ Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là $0,059$.

c) Ta có $P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,45\cdot 0,07}{0,059}=\frac{63}{118}$. Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là nữ là $\frac{63}{118}$.

d) Ta có $P(\overline{A}|B)=\frac{P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)}{P(B)}=\frac{0,55\cdot 0,05}{0,059}=\frac{55}{118}$. Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là nam thấp hơn nữ.
a) a) Theo đề ta có $P(A)=0,45$; $P(B|A)=0,07$; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,05$; $P\left(\overline{A}\right)=0,55$. Vậy xác suất nhân viên được chọn là nam là $0,55$.
b) b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có $$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)=0,45\cdot 0,07+0,55\cdot 0,05=0,059.$$ Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là $0,059$.
c) c) Ta có $P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,45\cdot 0,07}{0,059}=\frac{63}{118}$. Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là nữ là $\frac{63}{118}$.
d) d) Ta có $P(\overline{A}|B)=\frac{P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)}{P(B)}=\frac{0,55\cdot 0,05}{0,059}=\frac{55}{118}$. Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là nam thấp hơn nữ.

Lời giải
Gọi $A$ là biến cố: “Sách được in ở xưởng A”;
$B$ là biến cố: “Sách được in không đạt yêu cầu chất lượng”.
Ta tính $P(B)$. Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
$$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A}).$$
Theo giả thiết $P(A)=0,6$. Suy ra
$$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,6=0,4.$$
Theo giả thiết ta có
$$P(B|A)=1-0,95=0,05.$$
Do đó $P(B|\overline{A})=1-0,9=0,1$. Từ đó, ta có sơ đồ cây như sau:

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f2]

Khi đó,
$$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})=0,6\cdot 0,05+0,4\cdot 0,1=0,07.$$
$$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=42,9$$
Đáp án: 42.9

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M: trời mưa, K: kẹt xe, L: đi làm muộn. P(M)=1/3, P(K|M)=0,5, P(K|M̄)=0,25, P(L|M,K)=0,5, P(L|M̄,K̄)=0,125, P(L|M,K̄)=P(L|M̄,K)=0,25.
a) P(M̄)=1−1/3=2/3 → đúng.
b) P(M̄∩K∩L̄)=P(M̄)P(K|M̄)P(L̄|M̄,K)=(2/3)(0,25)(0,75)=0,125=12,5% → đúng.
c) P(L)=(1/3)(0,5)(0,5)+(1/3)(0,5)(0,25)+(2/3)(0,25)(0,25)+(2/3)(0,75)(0,125)=1/12+1/24+1/24+1/16=11/48≈22,9% → đúng.
d) P(M|L)=P(M∩L)/P(L)=(1/12)/(11/48)=4/11≈36,4%<60% → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(M̄)=1−1/3=2/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
(2/3)·0,25·0,75=0,125=12,5%.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(L)=11/48≈22,9%.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(M|L)=4/11≈36,4%<60%.

Chọn A

Gọi A là biến cố lấy 2 bi từ hộp I sang hộp II không cùng màu

Gọi B là biến cố lấy bi từ hộp II là bi trắng

Khi đó AB là biến cố lấy 2 bi khác màu từ hộp 1 sau đó lấy 1 bi trắng từ hộp II.

Ta có
$$P(B)=\frac{C_5^2}{C_{12}^2}.\frac{12}{27}+\frac{C_7^2}{C_{12}^2}.\frac{10}{27}+\frac{5.7}{C_{12}^2}.\frac{11}{27}=\frac{65}{162}$$

$$P(AB)=\frac{\mathrm{5.7.11}}{C_{12}^2.27}=\frac{35}{162}$$

$$\Rightarrow P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{7}{13}$$

Xét các biến cố: $A$: “X có kết quả xét nghiệm dương tính”; $\overline{A}$: “X có kết quả xét nghiệm âm tính”; $B$: “X là người nhiễm bệnh”; $\overline{B}$: “X là người không bị nhiễm bệnh”.

Xác suất X là người bị nhiễm bệnh là $P(B)=\frac{10}{100}=0,1$. Xác suất X là người không bị nhiễm bệnh là $P\left(\overline{B}\right)=\frac{90}{100}=0,9$.

Đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 80\% nên ta có $P\left(A|B\right)=\frac{80}{100}=0,8$. $\Rightarrow P\left(\overline{A}|B\right)=1-P\left(A|B\right)=1-0,8=0,2$.

Đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là 9\% nên ta có $P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{9}{100}=0,09$. $\Rightarrow P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=1-P\left(A|\overline{B}\right)=1-0,09=0,91$.

a) Xác suất X là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,8}{0,1.0,8+0,9.0,09}=\frac{80}{161}$. Vậy mệnh đề SAI.

b) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là $P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=1-\frac{80}{161}=\frac{81}{161}$. Vậy mệnh đề ĐÚNG.

c) Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)}{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,2}{0,1.0,2+0,9.0,91}=\frac{20}{839}$. Vậy mệnh đề ĐÚNG.

d) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=1-\frac{20}{839}=\frac{819}{839}$. Vậy mệnh đề SAI.
a) Xác suất X là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là
$$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,8}{0,1.0,8+0,9.0,09}=\frac{80}{161}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ SAI.}$$
b) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là
$$P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=1-\frac{80}{161}=\frac{81}{161}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ ĐUˊNG.}$$
c) Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là
$$P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)}{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,2}{0,1.0,2+0,9.0,91}=\frac{20}{839}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ ĐUˊNG.}$$
d) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là
$$P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=1-\frac{20}{839}=\frac{819}{839}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ SAI.}$$

Đáp số: 0,39

Gọi $A$ là biến cố: "Sinh viên quốc tế được chọn là nữ".

$B$ là biến cố: "Trong 2 sinh viên được chọn, một người là người bản địa, một người là người quốc tế".

$C$ là biến cố: "Chọn được 1 sinh viên nữ".

$D$ là biến cố: "Chọn được 1 sinh viên quốc tế".

Khi đó, ta cần đi tính $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

Theo đề bài: $P(C)=0,2\Rightarrow P(\overline{C})=0,8$, $P(D|C)=0,1\Rightarrow P(\overline{D}|C)=0,9$.
$$P(D|\overline{C})=0,15\Rightarrow P(\overline{D}|\overline{C})=0,85.$$
$$\Rightarrow P(AB)=P(C).P(D|C).P(\overline{C}).P(\overline{D}|\overline{C})=0,2.0,1.0,8.0,85=\frac{17}{1250}.$$
$$P(B)=P(C).P(D|C).P(\overline{C}).P(\overline{D}|\overline{C})+P(C).P(\overline{D}|C).P(\overline{C}).P(D|\overline{C})=\frac{22}{625}.$$
$$P(A|B)\approx 0,39.$$

Gọi $A$ là biến cố "số điện thoại là số lừa đảo" và $B$ là biến cố "số điện thoại bị chặn". Theo đề bài: $P(A)=0,05$, $P(\overline{A})=0,95$, $P(B\mid A)=0,94$, $P(B\mid \overline{A})=0,03$, $P(\overline{B}\mid \overline{A})=0,97$.
- c) Đúng: $P(B\mid A)=0,94$.
- d) Đúng: Theo công thức xác suất toàn phần, $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})=0,05\cdot 0,94+0,95\cdot 0,03=\frac{151}{2000}$.
- b) Sai: Theo công thức Bayes, $P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,05\cdot 0,94}{\frac{151}{2000}}=\frac{94}{151}\ne \frac{90}{151}$.
- a) Sai: $P(\overline{A}\mid \overline{B})=\frac{P(\overline{A})P(\overline{B}\mid \overline{A})}{1-P(B)}=\frac{0,95\cdot 0,97}{\frac{1849}{2000}}=\frac{1843}{1849}\ne \frac{1813}{1849}$.

Áp dụng công thức Bayes, xác suất người đó thực sự nhiễm vi rút khi có kết quả dương tính là $P=\frac{0,01\cdot 0,90}{0,01\cdot 0,90+0,99\cdot 0,05}=\frac{2}{13}\approx 0,15$.

Gọi $A$ là biến cố lấy được sản phẩm từ nhà máy I ($P(A)=0,6,P(\overline{A})=0,4$), $B$ là biến cố lấy được sản phẩm lỗi ($P(B|A)=0,05,P(B|\overline{A})=0,07$).
a) Đúng vì $P(\overline{B}|\overline{A})=1-0,07=0,93$.
b) Sai vì $P(B)=0,6\cdot 0,05+0,4\cdot 0,07=0,058\ne 0,12$.
c) Sai vì $P(A|B)=\frac{0,03}{0,058}=\frac{15}{29}\ne 0,4$.
d) Đúng vì $P(A)=0,6$.

Gọi $A$ là biến cố viên bi lấy từ hộp thứ nhất là bi đỏ ($P(A)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},P(\overline{A})=\frac{1}{3}$), $B$ là biến cố $2$ viên bi lấy từ hộp thứ hai đều là bi đỏ. Ta có $P(B|A)=\frac{C_8^2}{C_{11}^2}=\frac{28}{55}$ và $P(B|\overline{A})=\frac{C_7^2}{C_{11}^2}=\frac{21}{55}$. Theo công thức Bayes: $P(A|B)=\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{28}{55}}{\frac{2}{3}\cdot \frac{28}{55}+\frac{1}{3}\cdot \frac{21}{55}}=\frac{56}{77}=\frac{8}{11}\approx 0,7$.

a) Sai vì xác suất để con thỏ trắng bắt được thuộc chuồng II là $P(A|B)$.
b) Đúng theo định nghĩa xác suất có điều kiện.
c) Đúng vì chuồng II có $14$ con thỏ trắng trong tổng số $25$ con nên $P(B|A)=\frac{14}{25}$.
d) Sai vì $P(A)=\frac{5}{6}$, $P(\overline{A})=\frac{1}{6}$, $P(B|\overline{A})=\frac{12}{25}$, suy ra $P(B)=\frac{5}{6}\cdot \frac{14}{25}+\frac{1}{6}\cdot \frac{12}{25}=\frac{41}{75}$, nên $P(A|B)=\frac{\frac{5}{6}\cdot \frac{14}{25}}{\frac{41}{75}}=\frac{35}{41}\ne \frac{36}{41}$.

Ta có $P(X)=0,225⟹P(\overline{X})=0,775$, $P(Y)=0,5$ và $P(X\mid Y)=0,365⟹P(X\cap Y)=0,5\cdot 0,365=0,1825$. Suy ra $P(\overline{X}\cap Y)=P(Y)-P(X\cap Y)=0,3175$. Do đó $P(Y\mid \overline{X})=\frac{0,3175}{0,775}=\frac{127}{310}\approx 0,4$.

- Ý a) Đúng: Xác suất đồng xu ra mặt sấp và Vinh nhớ là $0,8\cdot (1-0,4)=0,48$.
- Ý c) Đúng: Biết đồng xu ra mặt sấp, xác suất Bằng được báo đúng (báo sấp) là $0,6+0,4\cdot 0,5=0,8$.
- Ý d) Đúng: Xác suất Bằng được báo mặt sấp là $0,8\cdot 0,8+0,2\cdot (0,4\cdot 0,5)=0,64+0,04=0,68$.
- Ý b) Sai: Biết Bằng được báo mặt sấp, xác suất thực sự rơi mặt sấp là $\frac{0,64}{0,68}=\frac{16}{17}\approx 94\%\ne 93\%$.

a) Đúng: $P(B)=\frac{180}{300}=\frac{3}{5}$ và $P(\overline{B})=\frac{120}{300}=\frac{2}{5}$.
b) Đúng: $P(A\mid B)=0,8$.
c) Đúng: $P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid \overline{B})=0,6\cdot 0,8+0,4\cdot 0,15=0,54$.
d) Sai: $P(B\mid A)=\frac{0,48}{0,54}=\frac{8}{9}\approx 89\%\ne 87\%$.

Gọi $S$ là biến cố “học sinh thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh” ($P(S)=0,69,P(\overline{S})=0,31$) và $D$ là biến cố “học sinh có kết quả học tập sa sút” với $P(D\mid S)=3p,P(D\mid \overline{S})=p$.
Theo công thức Bayes: $P(S\mid D)=\frac{0,69\cdot 3p}{0,69\cdot 3p+0,31\cdot p}=\frac{207}{238}\approx 0,87$.

a) Đúng: $P(A)=\frac{3}{5}$.
b) Sai: Khi $A$ xảy ra, hộp II có $5$ bi xanh và $1$ bi đỏ nên $P(\overline{B}\mid A)=\frac{1}{6}$.
c) Sai: Khi $\overline{A}$ xảy ra, hộp II có $4$ bi xanh và $2$ bi đỏ nên $P(B\mid \overline{A})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
d) Đúng: $P(\overline{B})=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{6}+\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{6}=\frac{7}{30}$ và $P(A\cap \overline{B})=\frac{3}{30}\Rightarrow P(A\mid \overline{B})=\frac{3}{7}$.