Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Miền nghiệm của hệ là tam giác giới hạn bởi $x\ge -2$, $y\ge 1$, $x+2y\le 4$ (ví dụ $(0;1)$, $(0;2)$, $(1;1)$ đều là nghiệm), nên hệ có vô số nghiệm. b) Đúng. Thay $(0;2)$: $0\ge -2$ đúng; $2\ge 1$ đúng; $0+2\cdot 2=4\le 4$ đúng, nên $(0;2)$ là nghiệm của hệ. c) Sai. Đường thẳng bờ của (3) là $x+2y=4$. Thay $A(1;2)$: $1+2\cdot 2=5\ne 4$, nên $A$ không thuộc đường thẳng bờ. d) Sai. Thay $(2;1)$: $2\ge -2$ đúng; $1\ge 1$ đúng; $2+2\cdot 1=4\le 4$ đúng, nên $(2;1)$ là nghiệm của hệ, do đó khẳng định '$(2;1)$ không là nghiệm' là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a Đ, 1b Đ, 1c S, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác không rỗng (chứa $(0;1)$, $(0;2)$, $(1;1)$,...), nên hệ có vô số nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(0;2)$: $0\ge -2$, $2\ge 1$, $0+2\cdot 2=4\le 4$ đều đúng nên là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bờ của (3): $x+2y=4$; tại $A(1;2)$ ta có $1+4=5\ne 4$ nên $A$ không thuộc đường thẳng bờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(2;1)$: $2\ge -2$, $1\ge 1$, $2+2=4\le 4$ đều đúng nên $(2;1)$ là nghiệm; khẳng định '$(2;1)$ không là nghiệm' sai.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0;0)$, $A(2;0)$ (giao $x-y=2$ với $y=0$), $C$ là giao của $x-y=2$ và $3x+5y=15$: thay $x=y+2$ vào $3(y+2)+5y=15\Rightarrow 8y=9\Rightarrow y=\frac{9}{8},x=\frac{25}{8}$, và $D(0;3)$ (giao $3x+5y=15$ với $x=0$). Tính $T=8x+16y+3$ tại các đỉnh: $T_O=3$, $T_A=8\cdot 2+3=19$, $T_C=8\cdot \frac{25}{8}+16\cdot \frac{9}{8}+3=25+18+3=46$, $T_D=0+16\cdot 3+3=51$. Vì hàm tuyến tính nên giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh: $\max T=51$ tại $D(0;3)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 51.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua điểm $(2;0)$ trên trục $Ox$ và $(0;-4)$ trên trục $Oy$, nên có phương trình $y=2x-4$, tức $-2x+y+4=0$. Trong hình, phần bị gạch chéo nằm phía dưới-phải đường thẳng, nên phần không bị gạch nằm phía trên-trái đường thẳng. Thử điểm $O(0;0)$ thuộc miền không bị gạch: $-2(0)+0+4=4>0$, thỏa mãn. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của $-2x+y+4>0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên trong hình đi qua điểm $(-2;0)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nhỏ (khoảng $-\frac{1}{2}$), nên phương trình đường thẳng là $x+4y+2=0$. Miền không tô đậm nằm phía dưới đường thẳng (phía chứa điểm $(0;-1)$). Thử $(0;-1)$: $0+4(-1)+2=-2<0$. Vậy miền không tô đậm thỏa $x+4y+2<0$. Xét phương án B: $\frac{x-2y}{2}>\frac{2x-y+1}{3}⟺3(x-2y)>2(2x-y+1)⟺3x-6y>4x-2y+2⟺-x-4y-2>0⟺x+4y+2<0$. Vậy miền không tô đậm là miền nghiệm của bất phương trình ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí đã dùng: nội mạng $65\times 1,2=78$ nghìn đồng; ngoại mạng $7\times 2,4=16,8$ nghìn đồng. Tổng đã dùng: $78+16,8=94,8$ nghìn đồng. Số tiền còn lại: $210-94,8=115,2$ nghìn đồng. Số phút gọi ngoại mạng tối đa thêm: $115,2:2,4=48$ phút.

Xác định được 02 miền nghiệm trong 4 miền nghiệm (0,25 điểm).

[Hình cần kiểm tra lại: p22_f1]

Tìm giao điểm A(0;2), B(0;0), C(5;0), D(3;3). Kết luận miền nghiệm (0,25 điểm).

Xác định được 02 miền nghiệm trong 4 miền nghiệm (0,25 điểm).

[Hình cần kiểm tra lại: p19_f1]

Tìm được các giao điểm A(0;6), B(0;0), C(4;0), D(3/2;9/2). Kết luận miền nghiệm (0,25 điểm).

Xác định được 02 miền nghiệm trong 4 miền nghiệm (0,25 điểm).

[Hình cần kiểm tra lại: p16_f1]

Tìm được các giao điểm A(0;6), B(0;0), C(4;0), D(3/2;9/2). Kết luận miền nghiệm (0,25 điểm).

Xác định được 02 miền nghiệm trong 4 miền nghiệm (0,25 điểm).

[Hình cần kiểm tra lại: p13_f1]

Tìm giao điểm A(0;2), B(0;0), C(5;0), D(3;3). Kết luận miền nghiệm (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $C(40;0)$ (giao $2x+y=80$ với $Ox$), $B(20;40)$ (giao $x+2y=100$ và $2x+y=80$), $A(0;50)$ (giao $x+2y=100$ với $Oy$). Tính $F=4x+3y$ tại các đỉnh: $F(O)=0$, $F(C)=4\cdot 40=160$, $F(B)=4\cdot 20+3\cdot 40=80+120=200$, $F(A)=3\cdot 50=150$. Vậy giá trị lớn nhất của $F$ là $200$, đạt tại $B(20;40)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 101: 200).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bờ đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(0;-2)$ nên có phương trình $y=x-2$, tức $x-y=2$. Miền không tô đậm (kể cả bờ) nằm phía trên đường thẳng; thử điểm $O(0;0)$ thuộc miền này: $0-0=0\le 2$ thỏa mãn. Vậy miền nghiệm là $x-y\le 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm.

a) $2x-5y\ge 7$. Vẽ đường thẳng $2x-5y=7$ đi qua hai điểm $(3,5;0)$ và $(0;-1,4)$. Kiểm tra điểm $O(0;0)$: $2(0)-5(0)=0<7$ nên $O$ không thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O$, bao gồm cả đường thẳng biên (nét liền). Ví dụ điểm $(7;0)$: $2(7)-0=14\ge 7$ nên thuộc miền nghiệm.

b) Hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 5x-4y\le 10\\ 4x+5y\le 10\end{array}$.
- $x\ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).
- $5x-4y=10$ đi qua $(2;0)$ và $(0;-2,5)$; tại $O$: $0\le 10$ đúng nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$.
- $4x+5y=10$ đi qua $(2,5;0)$ và $(0;2)$; tại $O$: $0\le 10$ đúng nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$.
Giao của $5x-4y=10$ và $4x+5y=10$: nhân phương trình thứ nhất với 5, thứ hai với 4 rồi cộng: $25x-20y+16x+20y=50+40\Rightarrow 41x=90\Rightarrow x=\frac{90}{41}$; suy ra $y=\frac{5\cdot \frac{90}{41}-10}{4}=\frac{\frac{450}{41}-\frac{410}{41}}{4}=\frac{10}{41}$. Kiểm tra: $5\cdot \frac{90}{41}-4\cdot \frac{10}{41}=\frac{450-40}{41}=\frac{410}{41}=10$ đúng; $4\cdot \frac{90}{41}+5\cdot \frac{10}{41}=\frac{360+50}{41}=\frac{410}{41}=10$ đúng. Vậy giao điểm là $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$.
Miền nghiệm của hệ là tam giác với ba đỉnh $(0;-2,5)$, $(0;2)$, $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$, kể cả ba cạnh (các đường biên vẽ nét liền).

c) Hệ $\{\begin{array}{l}y\ge -2\\ x\ge 2\\ 2x+y\le 8\end{array}$.
- $y=-2$: đường thẳng song song $Ox$; miền nghiệm phía trên (kể cả đường thẳng).
- $x=2$: đường thẳng song song $Oy$; miền nghiệm bên phải (kể cả đường thẳng).
- $2x+y=8$ đi qua $(4;0)$ và $(0;8)$; tại $O$: $0\le 8$ đúng nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$ (phía dưới đường thẳng).
Ba đỉnh: giao $x=2$ và $y=-2$: $(2;-2)$; giao $x=2$ và $2x+y=8$: $(2;4)$; giao $y=-2$ và $2x+y=8$: $(5;-2)$. Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(2;-2)$, $(2;4)$, $(5;-2)$, kể cả ba cạnh.

Khi vẽ: các đường biên vẽ nét liền vì các bất phương trình đều là $\ge$ hoặc $\le$ (kể cả biên); gạch chéo phần giao của các nửa mặt phẳng tương ứng. Lưu ý: kết quả giao điểm ở câu b) là $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$, đã kiểm tra lại bằng cách thay vào cả hai phương trình đều thỏa mãn; nhận xét cho rằng đỉnh phải là $\left(\frac{20}{9};\frac{2}{9}\right)$ là sai vì điểm đó không thỏa $5x-4y=10$ ($5\cdot \frac{20}{9}-4\cdot \frac{2}{9}=\frac{92}{9}\ne 10$).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $M(0;-3)$ vào từng hệ. A: $2x-y=3<3$ sai. B: $2x-y=3\le 3$ đúng và $2x+5y=-15\le 1$ đúng, nên $M$ thuộc miền nghiệm. C: $x-3y=9\le 8$ sai. D: $x+y=-3>0$ sai. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;3)$ nên có phương trình $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1$, tức $3x-2y+6=0$ hay $3x-2y=-6$. Trong hình, phần gạch chéo nằm bên phải/dưới đường thẳng (chứa gốc tọa độ $O(0;0)$: $3\cdot 0-2\cdot 0+6=6>0$), còn miền không gạch chéo (miền nghiệm) nằm phía trên-bên trái đường thẳng. Lấy điểm $(-3;0)$ thuộc phía không gạch chéo: $3(-3)-2(0)+6=-3<0$, tức $3x-2y\le -6$. Vậy miền nghiệm là $3x-2y\le -6$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác $ABCD$ với $A(15;0)$, $B(10;0)$, $C(2;4)$, $D(15;4)$. Hàm mục tiêu $F(x;y)=4x+6y$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất đạt tại một đỉnh của miền. Tính: $F(A)=4\cdot 15+6\cdot 0=60$; $F(B)=4\cdot 10+6\cdot 0=40$; $F(C)=4\cdot 2+6\cdot 4=8+24=32$; $F(D)=4\cdot 15+6\cdot 4=60+24=84$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ là $32$, đạt tại điểm $C(2;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng $d$ đi qua $A(0;1)$ và $B(-2;0)$, cắt trục hoành tại $B$ và trục tung tại $A$. Miền nghiệm (I) là miền tam giác $AOB$ không bị gạch (nằm phía trên trục $Ox$, phía dưới $d$, bên trái trục $Oy$).
a) Đúng: $d$ đi qua $A(0;1)$ (điểm $A$ là giao của $d$ với trục tung).
b) Đúng: miền tam giác $AOB$ nằm hoàn toàn phía trên (hoặc trên) trục $Ox$ nên mọi điểm đều có tung độ $y\ge 0$.
c) Sai: $M(-1;-1)$ có tung độ âm, nằm dưới trục $Ox$, ngoài miền tam giác $AOB$.
d) Đúng: miền nghiệm bị chặn bởi ba cạnh là đoạn $AB$ (thuộc $d$), đoạn $OB$ (trục $Ox$) và đoạn $OA$ (trục $Oy$), tạo thành tam giác.
Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 2: Đ Đ S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ cắt trục tung tại $A(0;1)$ nên đi qua $A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác $AOB$ nằm phía trên trục $Ox$, nên mọi điểm đều có $y\ge 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(-1;-1)$ có tung độ âm, nằm ngoài tam giác $AOB$ nên không thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm bị chặn bởi $d$, trục $Ox$ và trục $Oy$, tạo thành tam giác $AOB$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $15000x+20000y\ge 3000000$. Chia hai vế cho 5000: $3x+4y\ge 600$. Vậy $a=3$, $b=4$, suy ra $T=a^2+6b=9+24=33$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (33).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy miền gạch chéo là tam giác với ba đỉnh O(0;0), A(0;2), B(2;0), bị chặn bởi trục Oy, trục Ox và đường thẳng d đi qua (0;2) và (2;0) (có phương trình x + y = 2).
a) Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm (0;2) nên đi qua điểm này → Đúng.
b) Miền gạch chéo nằm hoàn toàn về phía bên phải trục Oy (kể cả biên), nên mọi điểm của miền nghiệm đều có hoành độ x ≥ 0 → Đúng.
c) Điểm M(1;-1) có tung độ âm, nằm dưới trục Ox, còn miền gạch chéo nằm phía trên trục Ox (y ≥ 0), nên M không thuộc miền nghiệm → Sai.
d) Miền gạch chéo là miền tam giác với ba đỉnh (0;0), (0;2), (2;0) → Đúng.
Kết quả này khớp với đáp án mã đề 1001, Câu 2: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d đi qua (0;2) và (2;0), nên cắt trục Oy tại (0;2) → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền gạch chéo nằm bên phải trục Oy (x ≥ 0), nên mọi điểm của miền nghiệm có hoành độ không âm → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
M(1;-1) có tung độ âm, nằm ngoài miền gạch chéo (nằm phía trên trục Ox, y ≥ 0) → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền gạch chéo là tam giác với ba đỉnh (0;0), (0;2), (2;0) → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $350000x+250000y\ge 7000000$. Chia hai vế cho $50000$ được $7x+5y\ge 140$, khớp dạng $mx+5y\ge n$ với $m=7$, $n=140$. Vậy $T=2n-m=2\cdot 140-7=273$, trùng với đáp án nguồn (273).