Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng giờ công đoạn cắt và chuẩn bị: mỗi balo 3 giờ, mỗi túi đeo 2 giờ, 6 công nhân mỗi người tối đa 8 giờ nên tổng tối đa 48 giờ: $3x+2y\le 48$. Tổng giờ may hoàn thiện: mỗi balo 1 giờ, mỗi túi đeo 2 giờ, 5 công nhân tối đa 40 giờ: $x+2y\le 40$. Lượng túi đeo không vượt quá 6,5 lần số balo: $y\le 6,5x$. Ngoài ra $x,y$ nguyên dương. Hệ: $\{\begin{array}{l}3x+2y\le 48\\ x+2y\le 40\\ y\le 6,5x\\ x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$.

b) Lợi nhuận $P=40x+50y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm có đỉnh giao của $3x+2y=48$ và $x+2y=40$: trừ hai phương trình được $2x=8\Rightarrow x=4$, $y=18$ (thỏa $18\le 26$). Tại đó $P=40\cdot 4+50\cdot 18=1060$. Kiểm tra các điểm nguyên lân cận: $(3;18)$ cho $P=1020$; $(5;16)$ cho $P=1000$; $(6;15)$ cho $P=990$; $(4;17)$ cho $P=1010$ — đều nhỏ hơn. Vậy lợi nhuận lớn nhất 1 060 nghìn đồng khi sản xuất 4 balo và 18 túi đeo mỗi ngày.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng thời gian lắp ráp: 1,5x + y ≤ 3·8 = 24; tổng thời gian hoàn thiện: x + 2y ≤ 4·8 = 32; điều kiện tiêu thụ: y ≤ 3,5x; điều kiện không âm: x ≥ 0, y ≥ 0 (x, y nguyên).

b) Hàm lợi nhuận P = 600x + 450y (nghìn đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: O(0;0), A(16;0) (giao 1,5x+y=24 với y=0), B(8;12) (giao 1,5x+y=24 và x+2y=32), C(4;14) (giao x+2y=32 và y=3,5x). Tính P: P(O)=0; P(A)=9600; P(B)=600·8+450·12=10200; P(C)=2400+6300=8700. Xét thêm các điểm nguyên lân cận (ví dụ (9;10): 9900; (7;12): 9600; (6;13): 9450) đều nhỏ hơn 10200. Vậy lợi nhuận lớn nhất đạt tại x=8, y=12: P = 10 200 nghìn đồng = 10,2 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình đầy đủ phải gồm cả điều kiện thực tế $x\ge 0,y\ge 0$ (số lạng thịt, cá không âm), nên hệ ở ý a) thiếu hai bất phương trình này → sai. Miền nghiệm bị chặn bởi các đường $26x+22y=56$, $26x+22y=91$, $x=y$, $x=0$ (do $x\le y,x\ge 0$ nên không cần $y=0$); các đỉnh là $\left(0;\frac{28}{11}\right)$, $\left(0;\frac{91}{22}\right)$, $\left(\frac{91}{48};\frac{91}{48}\right)$, $\left(\frac{7}{6};\frac{7}{6}\right)$ — tứ giác, không phải ngũ giác → ý b) sai. Thay $(1;2)$: $26\cdot 1+22\cdot 2=70\in [56;91]$ và $1\le 2$ → thuộc miền nghiệm, ý c) đúng. Trên đường $x=y$, giao với $26x+22y=56$ cho $x=\frac{56}{48}=\frac{7}{6}\approx 1,17<\frac{91}{48}\approx 1,90$, nên điểm có hoành độ bé nhất là $\left(\frac{7}{6};\frac{7}{6}\right)$, không phải $B\left(\frac{91}{48};\frac{91}{48}\right)$ → ý d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a S, 2b S, 2c D, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ thiếu điều kiện $x\ge 0,y\ge 0$ (số lạng thịt bò và cá phải không âm), nên hệ đưa ra chưa biểu diễn đầy đủ bài toán.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $\left(0;\frac{28}{11}\right)$, $\left(0;\frac{91}{22}\right)$, $\left(\frac{91}{48};\frac{91}{48}\right)$, $\left(\frac{7}{6};\frac{7}{6}\right)$, không phải hình ngũ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $(1;2)$: $26\cdot 1+22\cdot 2=70$ thỏa $56\le 70\le 91$ và $1\le 2$, nên điểm thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm có hoành độ bé nhất là giao của $x=y$ với $26x+22y=56$, tức $\left(\frac{7}{6};\frac{7}{6}\right)$ với $\frac{7}{6}<\frac{91}{48}$, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình đầy đủ phải gồm 26x+22y≥56, 26x+22y≤91, x≤y cùng với x≥0, y≥0 (số lạng thịt và cá không âm); hệ trong câu a thiếu x≥0, y≥0 nên sai. Miền nghiệm (kể cả x,y≥0) là tứ giác với 4 đỉnh (0;28/11), (0;91/22), (91/48;91/48), (7/6;7/6) nên không phải hình ngũ giác, câu b sai. Với (1;2): 26·1+22·2=70 ∈ [56;91] và 1≤2 nên thuộc miền nghiệm, câu c đúng. Hoành độ bé nhất trên miền nghiệm đạt tại giao x=y với 26x+22y=56, tức x=56/48=7/6≈1,17 < 91/48≈1,90, nên điểm B không phải điểm có hoành độ bé nhất, câu d sai. Kết quả khớp đáp án đề 101: 2a S, 2b S, 2c Đ, 2d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ thiếu các điều kiện x≥0, y≥0 (số lạng thịt, cá là số không âm), nên hệ đã cho chưa biểu diễn đúng bài toán.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh (0;28/11), (0;91/22), (91/48;91/48), (7/6;7/6), không phải hình ngũ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay (1;2): 26+44=70 thỏa 56≤70≤91 và 1≤2, nên (1;2) thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ bé nhất đạt tại giao của x=y và 26x+22y=56: x=56/48=7/6≈1,17, nhỏ hơn 91/48≈1,90, nên B không phải điểm có hoành độ bé nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số xe loại $A$ và $B$ được thuê ($0\le x\le 12$, $0\le y\le 10$, nguyên). Ràng buộc: $20x+10y\ge 120\iff 2x+y\ge 12$ (người) và $x+2y\ge 15$ (hàng). Cần tối thiểu hóa $f=5x+4y$. Thử các phương án nguyên khả thi: $x=3,y=6$: người $60+60=120\ge 120$, hàng $3+12=15\ge 15$, chi phí $15+24=39$. $x=2,y=8$: người $120$, hàng $18$, chi phí $42$. $x=4,y=6$: chi phí $44$. $x=3,y=7$: $43$. $x=2,y=7$ chỉ chở $110<120$ người nên không hợp lệ. Kiểm tra biên: $y=10$ cần $x\ge 2$ cho chi phí $\ge 50$; $x=12$ cho chi phí $\ge 68$. Vậy chi phí nhỏ nhất là $39$ triệu đồng, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có các đỉnh: O(0;0), giao của x+y=5 với Ox là (5;0), giao của x+y=5 với 2x+3y=12 là (3;2), giao của 2x+3y=12 với Oy là (0;4). a) A(0;5): 2·0+3·5=15>12 nên A không thuộc miền nghiệm → sai. b) Miền nghiệm là tứ giác O(0;0),(5;0),(3;2),(0;4) → đúng. c) Diện tích theo công thức shoelace: S=½(5·2+3·4)=11 → đúng. d) F=5x+3y tại các đỉnh: (5;0)→25, (3;2)→21, (0;4)→12, (0;0)→0. Max F=25≠21 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(0;5) vào 2x+3y≤12: 2·0+3·5=15>12, vi phạm ràng buộc nên A không thuộc miền nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các đỉnh của miền nghiệm là O(0;0), (5;0), (3;2), (0;4) — miền nghiệm là tứ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tứ giác đỉnh (0;0),(5;0),(3;2),(0;4): S=½|5·2−0·3+3·4−2·0|=½(10+12)=11.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=5x+3y tại các đỉnh: (5;0)→25, (3;2)→21, (0;4)→12. Giá trị lớn nhất là 25, không phải 21.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng nguyên liệu loại $I$, $II$ với $0\le x\le 9$, $0\le y\le 7$. Ràng buộc: $25x+20y\ge 160$ và $1,2x+2y\ge 12$. Chi phí $P=5x+4y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền nghiệm: giao hai đường thẳng $25x+20y=160$, $1,2x+2y=12$ cho $x=\frac{40}{13},y=\frac{54}{13}$, khi đó $P=\frac{200+216}{13}=32$. Tại $y=7$: cần $x\ge 0,8$, $P=5(0,8)+28=32$. Tại $x=9$: cần $y\ge 0,6$, $P=47,4$. Vậy chi phí ít nhất là $32$ triệu đồng (đạt tại $\left(\frac{40}{13};\frac{54}{13}\right)$ hoặc $(0,8;7)$).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 100$ (công suất), $20x+10y\le 6000$ (nguyên liệu, nghìn đồng), $40(2x+y)\le 6000\iff 2x+y\le 150$ (tiền công thợ), $x,y\ge 0$. Lợi nhuận mỗi mét: gấm $150-20-80=50$ nghìn, tơ tằm $80-10-40=30$ nghìn. Cần tối đa hóa $P=50x+30y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0,100)$: $P=3000$; giao của $x+y=100$ và $2x+y=150$ là $(50,50)$: $P=2500+1500=4000$; $(75,0)$: $P=3750$. Vậy lợi nhuận lớn nhất tại $x=50,y=50$, khi đó $x+3y=50+150=200$.

Đáp án: 5

Gọi $x$, $y$ (là các số nguyên dương) lần lượt là số hộp nhỏ và hộp lớn An mua, $T$ là giá đơn hàng (đơn vị triệu đồng)

Để được miễn phí giao hàng $\iff T\ge 0,9$

Theo đề ra ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}3\le x\le 10\\ 1\le y\le 5\\ T=0,1x+0,3y\ge 0,9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3\le x\le 10\\ 1\le y\le 5\\ x+3y\ge 9\end{array}$ (1)

Ta cần tìm cặp số $x;y$ thoả mãn hệ (1) và tổng $K(x;y)=x+y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của (1)



Miền nghiệm của hệ (1) là ngũ giác $MNPQR$ với $M(3;5)$, $N(10;5)$, $P(10;1)$, $Q(6;1)$, $R(3;2)$

Ta có: $K(3;5)=8$, $K(10;5)=15$, $K(10;1)=11$, $K(6;1)=7$, $K(3;2)=5$.

Vậy $\min K(x;y)=5\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$.

Gọi $x$ là số bánh loại I, $y$ là số bánh loại II $(x,y\in \mathbb{N},x,y\ge 0)$



Ta có $\{\begin{array}{l}0,06x+0,08y\le 6\\ 0,08x+0,04y\le 4\end{array}$

Xét hàm $f(x;y)=8x+10y$ và $f(x;y{)}_{\max }=760\iff \{\begin{array}{l}x=20\\ y=60\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số bánh loại I và loại II ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $0,06x+0,08y\le 6\iff 3x+4y\le 300$ và $0,08x+0,04y\le 4\iff 2x+y\le 100$. Hàm mục tiêu $P=8x+10y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0;75)$ cho $P=750$; giao điểm $3x+4y=300$, $2x+y=100$ giải ra $x=20,y=60$ cho $P=160+600=760$; $(50;0)$ cho $P=400$. Vậy điểm tối đa là $760$.

a) Số tiền thuê xe là $T=4x+3y$ (triệu đồng). Vậy a) đúng.
b) Hệ bất phương trình thỏa mãn bài toán là:
$$\{<table><tbody><tr><td>0\le x\le 10</td></tr><tr><td>0\le y\le 9</td></tr><tr><td>20x+10y\ge 140</td></tr><tr><td>0,6x+1,5y\ge 9</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>0\le x\le 10</td></tr><tr><td>0\le y\le 9</td></tr><tr><td>2x+y\ge 14</td></tr><tr><td>2x+5y\ge 30</td></tr></tbody></table>$$
Vậy b) sai.
c)
Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình thỏa mãn bài toán là miền tứ giác. Vậy c) đúng.
d) Các đỉnh của tứ giác có tọa độ là $A\left(\frac{5}{2};9\right)$, $B(5;4)$, $C(10;2)$, $D(10;9)$. Đặt $f(x,y)=4x+3y$. Ta có:
$$f\left(\frac{5}{2};9\right)=4.\frac{5}{2}+3.9=37$$
$$f(5,4)=4.5+3.4=32$$
$$f(10,2)=4.10+3.2=46$$
$$f(10,9)=4.10+3.9=67$$
Vậy, từ các trường hợp, ta được $T$ đạt giá trị nhỏ nhất là 32 khi và chỉ khi $x=5$ và $y=4$. Vậy d) sai.
Chọn đáp án a đúng | b sai | c đúng | d sai
a) Số tiền thuê xe là $T=4x+3y$ (triệu đồng). Vậy a) đúng.
b) Hệ bất phương trình thỏa mãn bài toán là:
$$\{<table><tbody><tr><td>0\le x\le 10</td></tr><tr><td>0\le y\le 9</td></tr><tr><td>20x+10y\ge 140</td></tr><tr><td>0,6x+1,5y\ge 9</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>0\le x\le 10</td></tr><tr><td>0\le y\le 9</td></tr><tr><td>2x+y\ge 14</td></tr><tr><td>2x+5y\ge 30</td></tr></tbody></table>$$
Vậy b) sai.
c)
Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình thỏa mãn bài toán là miền tứ giác. Vậy c) đúng.
d) Các đỉnh của tứ giác có tọa độ là $A\left(\frac{5}{2};9\right)$, $B(5;4)$, $C(10;2)$, $D(10;9)$. Đặt $f(x,y)=4x+3y$. Ta có:
$$f\left(\frac{5}{2};9\right)=4.\frac{5}{2}+3.9=37$$
$$f(5,4)=4.5+3.4=32$$
$$f(10,2)=4.10+3.2=46$$
$$f(10,9)=4.10+3.9=67$$
Vậy, từ các trường hợp, ta được $T$ đạt giá trị nhỏ nhất là 32 khi và chỉ khi $x=5$ và $y=4$. Vậy d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ ràng buộc: protein $800x+600y\ge 900\iff 4x+3y\ge 4,5$; lipit $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$; cùng $0\le x\le 1,6$, $0\le y\le 1,1$.
a) Bất phương trình lipit phải là $x+2y\ge 2$ (cần ít nhất 400 đơn vị), không phải $\le 2$ → Sai.
b) Với $x=0,8,y=0,5$: protein $=640+300=940\ge 900$ đạt, nhưng lipit $=160+200=360<400$ không đủ → Sai.
c) Giá 1 kg bò 250 nghìn, 1 kg lợn 160 nghìn nên $F(x;y)=250x+160y$ → Đúng.
d) Miền ràng buộc có các đỉnh: $(0,6;0,7)$ (giao $x+2y=2$ và $4x+3y=4,5$), $(1,6;0,2)$, $(0,3;1,1)$ (giao $4x+3y=4,5$ với $y=1,1$), $(1,6;1,1)$. Tính $F$: $F(0,6;0,7)=262$; $F(1,6;0,2)=432$; $F(0,3;1,1)=75+176=251$; $F(1,6;1,1)=576$. Chi phí nhỏ nhất là 251 nghìn đồng tại $(0,3;1,1)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lượng lipit cần ít nhất 400 đơn vị: $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$, chiều bất đẳng thức trong đề là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Protein: $800(0,8)+600(0,5)=940\ge 900$ đạt; lipit: $200(0,8)+400(0,5)=360<400$ không đủ yêu cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền $=250x+160y$ (nghìn đồng), đúng như đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tối thiểu hóa $F=250x+160y$ trên miền ràng buộc, giá trị nhỏ nhất $F(0,3;1,1)=251$ nghìn đồng, nhỏ hơn $F(0,6;0,7)=262$ và các đỉnh khác.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ ràng buộc: protein $800x+600y\ge 900\iff 4x+3y\ge 4,5$; lipit $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$; với $0\le x\le 1,6$, $0\le y\le 1,1$.
a) Bất phương trình lipit là $x+2y\ge 2$, không phải $x+2y\le 2$ → sai.
b) Với $x=0,8,y=0,5$: protein $=640+300=940\ge 900$ (đủ) nhưng lipit $=160+200=360<400$ (thiếu) → sai.
c) $F(x;y)=250x+160y$ (nghìn đồng) → đúng.
d) Miền ràng buộc có các đỉnh: giao của $x+2y=2$ và $4x+3y=4,5$ là $(0,6;0,7)$; $(1,6;0,2)$; $(0,3;1,1)$ (giao $y=1,1$ với $4x+3y=4,5$). Tính $F$: $F(0,6;0,7)=262$; $F(1,6;0,2)=432$; $F(0,3;1,1)=75+176=251$. Chi phí nhỏ nhất là 251 nghìn đồng tại $(0,3;1,1)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lượng lipit: $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$, không phải $x+2y\le 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Protein: $800(0,8)+600(0,5)=940\ge 900$ đủ, nhưng lipit: $200(0,8)+400(0,5)=360<400$ không đủ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá $1kg$ bò 250 nghìn, $1kg$ lợn 160 nghìn nên $F(x;y)=250x+160y$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các đỉnh miền ràng buộc: $(0,6;0,7)$, $(1,6;0,2)$, $(0,3;1,1)$. $F(0,6;0,7)=262$, $F(1,6;0,2)=432$, $F(0,3;1,1)=251$. Vậy chi phí ít nhất tại $x=0,3$, $y=1,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số bàn và số ghế sản xuất trong một ngày ($x,y\in \mathbb{N}$).

**Ràng buộc:**
- Lắp ráp: $1,5x+y\le 3\cdot 8=24$.
- Hoàn thiện: $x+2y\le 4\cdot 8=32$.
- Thị trường: $y\le 3,5x$.
- $x\ge 0,y\ge 0$.

**Hàm mục tiêu:** $P=600x+450y$ (nghìn đồng).

**Xét miền nghiệm trên mặt phẳng:** Các đỉnh của miền ràng buộc (bỏ điều kiện nguyên trước):
- Giao của $1,5x+y=24$ và $x+2y=32$: nhân phương trình đầu với 2 được $3x+2y=48$, trừ đi được $2x=16\Rightarrow x=8$, $y=12$. Kiểm tra $y\le 3,5x$: $12\le 28$ (thỏa). Điểm $A(8;12)$.
- Giao của $x+2y=32$ và $y=3,5x$: $x+7x=32\Rightarrow x=\frac{32}{7}\approx 4,57$, $y=16$. Điểm $B\left(\frac{32}{7};16\right)$.
- Giao của $1,5x+y=24$ với trục hoành: $(16;0)$; gốc $O(0;0)$.

Giá trị $P$ tại các đỉnh:
- $P(16;0)=9600$.
- $P\left(\frac{32}{7};16\right)=\frac{19200}{7}+7200\approx 9942,9$.
- $P(8;12)=4800+5400=10200$ (lớn nhất).

**Kiểm tra với điều kiện nguyên:** Các điểm nguyên lân cận:
- $(7;12)$: $P=9600$; $(9;10)$: $P=9900$; $(10;9)$: $P=10050$ (thỏa $15+9=24\le 24$, $10+18=28\le 32$, $9\le 35$).
- $(9;11)$: $1,5\cdot 9+11=24,5>24$ (loại); $(7;13)$: $7+26=33>32$ (loại).

Vậy điểm tối ưu nguyên là $x=8$, $y=12$ với lãi lớn nhất $P=600\cdot 8+450\cdot 12=10200$ nghìn đồng $=10,2$ triệu đồng.

**Kết luận:** Xưởng cần sản xuất $8$ chiếc bàn và $12$ chiếc ghế mỗi ngày để thu lãi cao nhất, đạt $10,2$ triệu đồng.

2.1. Từ giả thiết: $I(1)=I_0\cdot a=0,95I_0\Rightarrow a=0,95$. Tỷ lệ cần tìm: $K=\frac{I_0\cdot a^{20}}{I_0\cdot a^{10}}=a^{10}=(0,95{)}^{10}$.

ĐÁP SỐ: $(0,95{)}^{10}$

2.2. Gọi $x,y$ là số thiệp nhỏ, lớn $(x,y\in \mathbb{N})$. Bài toán quy hoạch tuyến tính:

$$\text{Max }F=10x+20y\text{với}\{\begin{array}{l}2x+3y\le 30\\ x+y\ge 12\\ x,y\ge 0\end{array}$$

Vẽ miền nghiệm, ta tìm được các đỉnh: $A(6;6)$ (giao điểm hai đường thẳng). Tại $A(6;6)$: $F=180$. Các điểm nguyên lân cận: $(7;5)\to F=170$; $(8;4)\to F=160$. Vậy tối ưu tại $x=6,y=6$.

ĐÁP SỐ: 6 thiệp nhỏ, 6 thiệp lớn

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng dưa, $y$ (ha) là diện tích trồng củ dậu ($x,y\ge 0$). Điều kiện: $x+y=8$ và tổng số công $20x+30y\le 180$, tức $2x+3y\le 18$. Thay $x=8-y$: $2(8-y)+3y\le 18\iff 16+y\le 18\iff y\le 2$. Số tiền thu được: $T=3x+4y=3(8-y)+4y=24+y$ (triệu đồng), hàm bậc nhất tăng theo $y$ nên $T$ lớn nhất khi $y=2$, khi đó $x=6$ và $T_{\max }=24+2=26$ (triệu đồng). Kiểm tra: số công $20\cdot 6+30\cdot 2=180\le 180$ thỏa mãn. Vậy số tiền thu được nhiều nhất là 26 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ ha trồng bắp, $y$ ha trồng cà chua ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 6$ (diện tích) và $10x+20y\le 100\iff x+2y\le 10$ (thời gian). Cần tối đa $P=30x+50y$. Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(6;0)$: $P=180$; $(0;5)$: $P=250$; giao của $x+y=6$ và $x+2y=10$ cho $y=4,x=2$: $P=30\cdot 2+50\cdot 4=260$. Vậy giá trị lớn nhất là $260$ triệu đồng khi trồng 2 ha bắp và 4 ha cà chua.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (nghìn $m^2$) lần lượt là diện tích trồng ngô và khoai lang, với $x\ge 0,y\ge 0$, $x+y\le 5$ (diện tích đất) và $4x+6y\le 24$ (ngày công, tức $2x+3y\le 12$). Lợi nhuận: $P=3x+4y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh của miền ràng buộc: giao của $x+y=5$ và $2x+3y=12$ là $x=3,y=2$ cho $P=3\cdot 3+4\cdot 2=17$; đỉnh $(0,4)$ cho $P=16$; đỉnh $(5,0)$ cho $P=15$; đỉnh $(0,0)$ cho $P=0$. Vậy giá trị lớn nhất là $17$ triệu đồng, đạt khi trồng 3 nghìn $m^2$ ngô và 2 nghìn $m^2$ khoai lang (dùng đủ 5 nghìn $m^2$ đất và đúng 24 ngày công). Kết quả khớp với đáp án nguồn 17.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (phút) là thời lượng quảng cáo trên Radio, $y$ (phút) là thời lượng trên Mạng xã hội ($x,y\ge 0$). Các ràng buộc: $x+2y\le 14$ (ngân sách không quá 14 triệu đồng); $x\ge 2$; $0\le y\le 5$. Hàm mục tiêu: số người tiếp cận $F=1000x+3000y$ (người).

Miền nghiệm là đa giác với các đỉnh: $A(2;0)$, $B(14;0)$, $C(4;5)$ (giao của $x+2y=14$ và $y=5$), $D(2;5)$.

Tính $F$ tại các đỉnh:
- $F(A)=1000\cdot 2=2000$;
- $F(B)=1000\cdot 14=14000$;
- $F(C)=1000\cdot 4+3000\cdot 5=19000$;
- $F(D)=1000\cdot 2+3000\cdot 5=17000$.

Vậy $F$ lớn nhất bằng $19000$ người tại $x=4$, $y=5$. Tổng thời lượng quảng cáo là $x+y=4+5=9$ phút (chi phí $4+2\cdot 5=14$ triệu đồng, thỏa mọi điều kiện).