Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

Theo đề cho ta được 1 CSC có $u_1=1$; $d=1$; $S_n=4950$ (0,25đ).

$S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]\iff 4950=\frac{n}{2}\left[2.1+(n-1).1\right]$

$\iff n^2+n-9900=0\iff \left[\begin{array}{c}n=-100\\ n=99\end{array}\right]$

Vậy phải trồng 99 hàng (0,25đ).

(AI giải đề cho tôi)
Số gạch mỗi bậc lập thành cấp số cộng với $u_1=100$, $d=-2$, $n=30$. Tổng $S_{30}=\frac{30}{2}\left(2\cdot 100+29\cdot (-2)\right)=15(200-58)=15\cdot 142=2130$. Vậy cần tất cả 2130 viên gạch, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1112, Câu 3: 2130).

(AI giải đề cho tôi)
Số gạch các bậc lập thành cấp số cộng với $u_1=100$, công sai $d=-2$, số hạng $n=30$. Tổng: $S_{30}=\frac{30}{2}\left(2\cdot 100+29\cdot (-2)\right)=15(200-58)=15\cdot 142=2130$. Vậy cần tất cả 2130 viên gạch, khớp với đáp án nguồn (2130).

a) (0,75 điểm)
$$\{\begin{array}{l}{u}_3+u_8=31\\ u_{10}-u_7=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+2d+u_1+7d=31\\ u_1+9d-(u_1+6d)=9\end{array}$$ (đúng mỗi ý 0,125; 0,25)
$$\iff \{\begin{array}{l}2u_1+9d=31\\ u_1+9d-u_1-6d=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+9d=31\\ 3d=9\end{array}$$ (0,125)
$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=3\end{array}$$ (0,125)
$$S_{50}=50u_1+\mathrm{50.49.}\frac{d}{2}$$ (0,125)
$$S_{50}=50.2+\mathrm{50.49.}\frac{3}{2}=3775$$ (0,125)

b) (0,75 điểm)
Gọi $u_1;u_2;u_3;...;u_{20}$ là quãng đường Thắng chạy trong 20 ngày.
Theo đề ta có: $u_1=800m$ và ngày sau chạy thêm 350 m so với ngày trước (0,125)
Suy ra: $$u_2=u_1+350.$$ $$u_3=u_2+\mathrm{350...}$$ (0,125)
Nên $u_1;u_2;u_3;...;u_{20}$ tạo thành cấp số cộng có $u_1=800$; công sai $d=350$ (0,125; 0,125)
Quãng đường chạy trong 20 ngày là (0,125):
$$S_{20}=20u_1+\mathrm{20.19.}\frac{d}{2}$$
$$=20.800+\mathrm{20.19.}\frac{350}{2}=82500\text{m}$$ (0,125)

a) (0,75 điểm)
$\{<table><tbody><tr><td>u_1+u_4=8</td></tr><tr><td>u_3-u_2=2</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>u_1+u_1+3d=8</td></tr><tr><td>u_1+2d-(u_1+d)=2</td></tr></tbody></table>$ (đúng mỗi ý 0,125; 0,25)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>2u_1+3d=8</td></tr><tr><td>u_1+2d-u_1-d=2</td></tr></tbody></table>$ (0,125)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>u_1=1</td></tr><tr><td>d=2</td></tr></tbody></table>$ (0,125)
$S_{50}=50u_1+\mathrm{50.49.}\frac{d}{2}$ (0,125)
$S_{50}=50.1+\mathrm{50.49.}\frac{2}{2}=2500$ (0,125)

b) (0,75 điểm)
Gọi $u_1;u_2;u_3;...;u_{30}$ là quãng đường Bình chạy trong 30 ngày.
Theo đề ta có: $u_1=900m$ và ngày sau chạy thêm 300 m so với ngày trước (0,125)
Suy ra: $u_2=u_1+300$, $u_3=u_2+\mathrm{300...}$ (0,125)
Nên $u_1;u_2;u_3;...;u_{30}$ tạo thành cấp số cộng có $u_1=900$; công sai $d=300$ (0,125; 0,125)
Quãng đường chạy trong 30 ngày là
$$S_{30}=30u_1+\mathrm{30.29.}\frac{d}{2}$$ (0,125)
$$=30.900+\mathrm{30.29.}\frac{300}{2}=157500m$$ (0,125)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{3}{2}$, $d=\frac{1}{2}$ nên $u_n=\frac{3}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n+2}{2}$. a) $u_8=\frac{8+2}{2}=5$ nên số 5 là số hạng thứ 8: ĐÚNG. b) Giải $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $\frac{15}{4}$ không là số hạng: SAI. c) Công thức tổng quát là $u_n=\frac{n+2}{2}$, không phải $u_n=1+\frac{n}{3}$: SAI. d) $S_{100}=\frac{100\left(u_1+u_{100}\right)}{2}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=\frac{100\cdot \frac{105}{2}}{2}=2625\ne 2620$: SAI. Kết quả khớp đáp án mã đề 201 (ĐSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=\frac{3}{2}+7\cdot \frac{1}{2}=5$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=\frac{n+2}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=2625\ne 2620$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_3-u_1=2d=20\Rightarrow d=10$. Mặt khác $u_2+u_5=(u_1+d)+(u_1+4d)=2u_1+5d=54\Rightarrow 2u_1=54-50=4\Rightarrow u_1=2$. Vậy $u_1+d=2+10=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=3$ nên $u_n=2+(n-1)\cdot 3=3n-1$.
a) $u_{10}=29$, $u_{20}=59$: tổng $u_{10}+\dots +u_{20}=\frac{11(29+59)}{2}=484$. $u_{30}=89$, $u_{50}=149$: tổng $u_{30}+\dots +u_{50}=\frac{21(89+149)}{2}=2499$. $u_{60}=179$, $u_{80}=239$: tổng $u_{60}+\dots +u_{80}=\frac{21(179+239)}{2}=4389$. Vậy $S=484+2499+4389=7372$ → Đúng.
b) $S_n=\frac{n(2\cdot 2+(n-1)3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}=610\iff 3n^2+n-1220=0\iff n=\frac{-1+\sqrt{14641}}{6}=\frac{120}{6}=20\in [18;22]$ → Đúng.
c) $3n-1=152\iff n=51\notin [45;50]$ → Sai.
d) $u_n=3n-1=-1+3n$ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 101: ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng ba khối: $\frac{11(29+59)}{2}+\frac{21(89+149)}{2}+\frac{21(179+239)}{2}=484+2499+4389=7372$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n(3n+1)}{2}=610\iff n=20\in [18;22]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3n-1=152\iff n=51\notin [45;50]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2+(n-1)3=3n-1=-1+3n$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ: $u_4=10$ và $u_4+u_6=26\Rightarrow u_6=16$. Vì $u_6=u_4+2d\Rightarrow 16=10+2d\Rightarrow d=3$. Suy ra $u_1=u_4-3d=10-9=1$. Vậy $u_1+d=1+3=4$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ với $u_n=3n+1$.
a) $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3$ không đổi với mọi $n$, nên dãy là cấp số cộng công sai $d=3$ → Đúng.
b) Tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ không không đổi, ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{7}{4}\ne 1$, nên dãy không là cấp số nhân → Sai.
c) $u_1=3\cdot 1+1=4$ → Đúng.
d) $u_{2024}=3\cdot 2024+1=6073$; $S_{2024}=\frac{2024}{2}(u_1+u_{2024})=1012\cdot (4+6073)=1012\cdot 6077=6149924$ → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 101: a Đ, b S, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3$ không đổi, nên dãy là cấp số cộng với công sai $d=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ không không đổi, ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{7}{4}\ne 1$, nên dãy không là cấp số nhân.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_1=3\cdot 1+1=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{2024}=3\cdot 2024+1=6073$; $S_{2024}=\frac{2024}{2}(4+6073)=1012\cdot 6077=6149924$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=-3$.
a) $u_2=u_1+d=2+(-3)=-1\ne -6$ nên khẳng định a) SAI.
b) $u_n=u_1+(n-1)d=2+(n-1)(-3)=2-3n+3=5-3n$ nên khẳng định b) ĐÚNG.
c) $u_{20}=5-3\cdot 20=-55$; $S_{20}=\frac{20(u_1+u_{20})}{2}=\frac{20(2-55)}{2}=10\cdot (-53)=-530$ nên khẳng định c) ĐÚNG.
d) $u_{2025}=5-3\cdot 2025=5-6075=-6070\ne -6076$ nên khẳng định d) SAI.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 022 (A-S, B-Đ, C-Đ, D-S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=2+(-3)=-1\ne -6$, do đó khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2+(n-1)(-3)=5-3n$, khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=5-60=-55$, $S_{20}=\frac{20(2-55)}{2}=-530$, khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2025}=5-3\cdot 2025=-6070\ne -6076$, khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=-3$. a) $u_2=u_1+d=2-3=-1\ne -6$ nên Sai. b) $u_{2025}=u_1+2024d=2+2024\cdot (-3)=2-6072=-6070\ne -6076$ nên Sai. c) $S_{20}=\frac{20}{2}(2u_1+19d)=10(4-57)=-530$ nên Đúng. d) $u_n=u_1+(n-1)d=2-3(n-1)=5-3n$ nên Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 021: A-S, B-S, C-Đ, D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=2+(-3)=-1\ne -6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2025}=2+2024(-3)=-6070\ne -6076$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=\frac{20}{2}(2\cdot 2+19\cdot (-3))=10(4-57)=-530$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2+(n-1)(-3)=5-3n$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, công sai $d=u_2-u_1=-1-(-3)=2$.
a) Số hàng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5\ne -3+2n$ (với $n=1$ ta được $-1\ne -3$) nên Sai.
b) $S_{20}=\frac{20}{2}(2u_1+19d)=10(-6+38)=320\ne 35$ nên Sai.
c) $d=2$ Đúng.
d) $u_{79}=u_1+78d=-3+156=153$ Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 267, Phần II Câu 4: SSĐĐ (Sai, Sai, Đúng, Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5$, không phải $-3+2n$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=\frac{20}{2}(2(-3)+19\cdot 2)=10\cdot 32=320\ne 35$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$d=u_2-u_1=-1-(-3)=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{79}=-3+78\cdot 2=153$.

Số ghế mỗi hàng theo thứ tự là một cấp số cộng $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=20$ và công sai $d=6$. Giả sử góc khán đài đó có $n$ hàng ghế $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Ta có $S_n=\frac{n}{2}\left[40+(n-1).6\right]=930\iff 3n^2+17n-930=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-\frac{62}{3}\end{array}\right]$. Vậy góc khán đài của một sân vận động có 15 hàng ghế.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, $u_2=-1$ nên công sai $d=u_2-u_1=2$, số hàng tổng quát $u_n=-3+2(n-1)=-5+2n$. a) Sai vì $-3+2n$ cho $u_1=-1\ne -3$. b) Sai vì $S_{20}=\frac{20}{2}(2(-3)+19\cdot 2)=10\cdot 32=320\ne 35$. c) Đúng, $d=2$. d) Đúng vì $u_{79}=-3+78\cdot 2=153$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 013: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hàng tổng quát đúng là $u_n=u_1+(n-1)d=-3+2(n-1)=-5+2n$. Với $u_n=-3+2n$ thì $u_1=-1\ne -3$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=\frac{20}{2}(2u_1+19d)=10(-6+38)=320\ne 35$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d=u_2-u_1=-1-(-3)=2$, khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{79}=u_1+78d=-3+78\cdot 2=153$, khẳng định đúng.

Số ghế mỗi hàng theo thứ tự là một cấp số cộng $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=20$ và công sai $d=6$. Giả sử góc khán đài đó có $n$ hàng ghế $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Ta có $S_n=\frac{n}{2}\left[40+(n-1).6\right]=930\iff 3n^2+17n-930=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-\frac{62}{3}\end{array}\right]$. Vậy góc khán đài của một sân vận động có 15 hàng ghế.

a) $$\{\begin{array}{l}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+4d+3(u_1+2d)-(u_1+d)=-21\\ 3(u_1+6d)-2(u_1+3d)=-34\end{array}$$ (0,25 điểm)
$$\iff \{\begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}$$ (0,25 điểm)

b) Số ghế trên mỗi dãy lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=15$ và công sai $d=4$.
Tổng số ghế là: $S_{30}=\frac{30\left[2.15+(30-1)4\right]}{2}=2190$ (0,25 điểm)
Vậy sân vận động có tất cả 2190 ghế. (0,25 điểm)

a) $$\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5-u_3=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+d+u_1+4d-\left(u_1+2d\right)=5\\ u_1+3d+u_1+5d=26\end{array}\text{(0,25 điểm)}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\text{(0,25 điểm)}$$

b) Số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=3$. (0,25 điểm)
$$S_n=610$$
Tổng số cây trồng được là: $$\iff \frac{n\left[2.2+(n-1)3\right]}{2}=610$$
$$\iff 3n^2+n-1220=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}n=20\text{(nhận)}\\ n=-\frac{61}{3}\text{(loại)}\end{array}.\text{(0,25 điểm)}$$
Vậy số hàng cây trong khu vườn là 20 hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Số mảnh ghép mỗi tầng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=35$, công sai $d=-2$. Tháp xếp đến tầng có 1 hình (vì nếu giảm tiếp 2 thì không còn hình nào để xếp). Số tầng: $35-2(k-1)=1\Rightarrow k=18$. Tổng số mảnh ghép: $S=\frac{18(35+1)}{2}=\frac{18\cdot 36}{2}=324$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (324).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công sai là $d$. Ta có $u_3=u_1+2d$, $u_5=u_1+4d$ nên $u_1-u_3+u_5=u_1+2d=15$. Mặt khác $u_6=u_1+5d$ nên $u_1+u_6=2u_1+5d=27$. Thay $u_1=15-2d$ vào: $2(15-2d)+5d=27\Rightarrow 30+d=27\Rightarrow d=-3$, suy ra $u_1=15-2(-3)=21$. a) $u_1=21$: đúng. b) Công sai $d=-3\ne -2$: sai. c) $u_{11}=u_1+10d=21-30=-9$: đúng. d) $u_{2024}=u_1+2023d=21-6069=-6048$: đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ hệ phương trình suy ra $d=-3$, $u_1=21$, nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công sai là $d=-3$, không phải $-2$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=u_1+10d=21+10(-3)=-9$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2024}=u_1+2023d=21+2023(-3)=-6048$, đúng.