Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $u_1+u_5=u_1(1+q^4)=51$ và $u_2+u_6=u_{1}q(1+q^4)=102$. Chia hai phương thức: $q=\frac{102}{51}=2$. Suy ra $u_1(1+2^4)=u_1\cdot 17=51\Rightarrow u_1=3$. Vậy số hạng đầu $u_1=3$, công bội $q=2$.

b) Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3(2^n-1)$. Giải $3(2^n-1)=3069\Rightarrow 2^n=1024=2^{10}\Rightarrow n=10$. Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

c) $u_n=u_1{q}^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}=12288\Rightarrow 2^{n-1}=4096=2^{12}\Rightarrow n=13$. Vậy 12288 là số hạng thứ 13.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi 3 số là $a,ar,a{r}^2$ với $a>0$, $r>1$ (cấp số nhân tăng). Theo đề: $a(1+r+r^2)=65$. Vì $(a-1),ar,(a{r}^2-19)$ lập thành cấp số cộng nên $2ar=(a-1)+(a{r}^2-19)$, suy ra $a(r^2-2r+1)=20$, tức $a(r-1{)}^2=20$. Chia hai phương trình: $\frac{1+r+r^2}{(r-1{)}^2}=\frac{65}{20}=\frac{13}{4}$. Khai triển: $4r^2+4r+4=13r^2-26r+13\Rightarrow 9r^2-30r+9=0\Rightarrow 3r^2-10r+3=0\Rightarrow r=3$ hoặc $r=\frac{1}{3}$. Vì cấp số nhân tăng nên $r=3$, khi đó $a=\frac{20}{(3-1{)}^2}=5$. Vậy 3 số là $5,15,45$. Kiểm tra: tổng $5+15+45=65$; bớt 1 ở số thứ nhất và 19 ở số thứ ba ta được $4,15,26$ là cấp số cộng công sai 11. Đúng điều kiện đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x,3,y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên theo tính chất trung bình nhân: $3^2=xy\Rightarrow xy=9$. Kết hợp với $x^4=y\sqrt{3}$, suy ra $y=\frac{x^4}{\sqrt{3}}$. Thay vào: $x\cdot \frac{x^4}{\sqrt{3}}=9\Rightarrow x^5=9\sqrt{3}=3^2\cdot 3^{1/2}=3^{5/2}\Rightarrow x=3^{1/2}=\sqrt{3}$. Khi đó $y=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$. Kiểm tra: $x^4=(\sqrt{3}{)}^4=9$ và $y\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=9$; hơn nữa $xy=\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=9$ ✓. Vậy $x=\sqrt{3},y=3\sqrt{3}$.

a) Số tiền mà anh Huy phải trả khi mua xe ô tô là $500\cdot 0,68=340$ (triệu đồng).

Tổng tiền lương năm đầu tiên anh Huy nhận được là $T_1=10\cdot 12=120$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ hai là $T_2=120\cdot 1,12-120=120\cdot 0,12$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ ba là $T_3=120\cdot 1,12^2-120\cdot 1,12=120\cdot 1,12\cdot 0,12$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ $n$ là
$$T_n=120\cdot 1,12^{n-1}-120\cdot 1,12^{n-2}=120\cdot 1,12^{n-2}\cdot 0,12\text{ (triệu đoˆˋng)}$$

Tổng số tiền tiết kiệm của anh Huy sau năm thứ $n$ là
$$T=T_2+T_3+\dots +T_n=120\cdot 0,12+120\cdot 1,12\cdot 0,12+\dots +120\cdot 1,12^{n-2}\cdot 0,12$$
$$=120\cdot 0,12\cdot \left(1+1,12+\dots +1,12^{n-2}\right)=120\cdot 0,12\cdot \frac{1,12^{n-1}-1}{1,12-1}=120\cdot \left(1,12^{n-1}-1\right)$$

Để anh Huy đủ tiền mua xe thì
$$T\ge 340\iff 120\cdot \left(1,12^{n-1}-1\right)\ge 340\iff n-1\ge {\log }_{1,12}\left(\frac{23}{6}\right)\Rightarrow n\ge 12,8$$

Vậy tính từ khi đi làm, phải ít nhất 13 năm thì anh Huy mới đủ tiền mua ô tô.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_9^3\cdot C_8^3=84\cdot 56=4704$.

Gọi A là biến cố “Sơn thua” tức là số của Sơn nhỏ hơn số của Hải.

Gọi bộ 3 quả bóng Hải bốc được là $H=\{h_1;h_2;h_3\}$ với $h_1>h_2>h_3$.

Gọi bộ 3 quả bóng Sơn bốc được là $S=\{s_1;s_2;s_3\}$ với $s_1>s_2>s_3$.

Số của Hải là $\overline{h_1{h}_2{h}_3}$, số của Sơn là $\overline{s_1{s}_2{s}_3}$.

Trường hợp 1: Hải bốc được quả bóng số 9. Khi đó số của Hải luôn lớn hơn của Sơn. Số cách chọn là $C_8^2\cdot C_8^3=28\cdot 56=1568$.

Trường hợp 2: Hải không bốc được quả bóng số 9. Khi đó Hải và Sơn đều bốc 3 quả ngẫu nhiên từ tập $\{1;2;\dots ;8\}$.

Số cách chọn là $C_8^3\cdot C_8^3=56\cdot 56=3136$. Vai trò của Hải và Sơn như nhau, có 3 khả năng: Hải thắng, Sơn thắng và hòa. Số trường hợp hòa (hai bạn bốc giống nhau) là $C_8^3=56$.

Số trường hợp Hải thắng và Sơn thắng là như nhau và bằng $\frac{3136-56}{2}=1540$.

$$\Rightarrow n(A)=1568+1540=3108$$
$$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}$$

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông nối các trung điểm cạnh của hình vuông cạnh $x$ có cạnh $\frac{x}{\sqrt{2}}$, nên diện tích giảm một nửa. Vậy $S(C_n)=\frac{1}{2^{n-1}}$. Với $n=2027$: $S(C_{2027})=\frac{1}{2^{2026}}$, do đó $a=2026$.

Đáp án mã đề 221 (bảng đáp án trang 5, dòng Câu 3 của Phần II): SĐSĐ, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Kiểm tra ý c): tổng lương 3 năm (36 tháng, 6 bậc lương, mỗi bậc 6 tháng) = 96·(1 + 1,05 + 1,05² + 1,05³ + 1,05⁴ + 1,05⁵) = 96·6,8019128... ≈ 652,98 triệu đồng, khớp mệnh đề nên c) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $q$ là hệ số tăng trung bình mỗi tháng. Vì sau 5 lần tăng, số sản phẩm tháng 6 gấp 3 lần tháng 1 nên $q^5=\frac{435}{145}=3$, suy ra $q=3^{1/5}\approx 1,2457$ (tức tăng khoảng $24,6\%\approx 25\%$ mỗi tháng). Tính số sản phẩm dự kiến từ tháng 1: tháng 2: $145\cdot 1,2457\approx 180,6\approx 180$ (đúng); tháng 3: $145\cdot 1,2457^2\approx 225$ (đúng); tháng 4: $145\cdot 1,2457^3\approx 280,3\approx 279$ (đúng); tháng 5: $145\cdot 1,2457^4\approx 349,2$, khác hẳn 390 trong bảng; tháng 6: $145\cdot 1,2457^5=435$ (đúng). Kiểm tra ngược từ tháng 6: $435/1,2457\approx 349,2\ne 390$, còn $390/1,2457\approx 313$ cũng không khớp tháng 4 là 279. Vậy số liệu của tháng 5 bị nhập sai (giá trị đúng khoảng 349).

(AI giải đề cho tôi)
Lần rơi đầu: bóng rơi từ 20m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{4}{5}$ lần trước rồi rơi xuống đúng độ cao đó. Vậy tổng quãng đường đến lần rơi thứ 10 là: $$S=20+2\cdot 16+2\cdot 16\cdot \frac{4}{5}+\cdots +2\cdot 16{\left(\frac{4}{5}\right)}^8=20+2\cdot 16\cdot \frac{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^9}{1-\frac{4}{5}}=20+160\left(1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^9\right).$$ Tính: ${\left(\frac{4}{5}\right)}^9=\frac{262144}{1953125}\approx 0,1342$, nên $S\approx 20+160\cdot 0,8658=158,53\approx 159$ (m). Kết quả khớp với đáp án nguồn 159.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba số là $a,ar,a{r}^2$ (cấp số nhân công bội $r$). Theo đề: $a{r}^2-a=16$. Ba số này là số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ năm của một cấp số cộng $a,a+d,a+4d$. Suy ra $ar=a+d\Rightarrow d=a(r-1)$ và $a{r}^2=a+4d=a+4a(r-1)$. Vì $a\ne 0$ (nếu $a=0$ thì $a{r}^2-a=0\ne 16$), chia cho $a$: $r^2=1+4r-4\Rightarrow r^2-4r+3=0\Rightarrow r=1$ hoặc $r=3$. Với $r=1$: $a{r}^2-a=0\ne 16$, loại. Với $r=3$: $9a-a=16\Rightarrow a=2$. Vậy ba số là $2,6,18$. Kiểm tra: $18-2=16$ đúng; $2,6,18$ là số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ năm của cấp số cộng $2,6,10,14,18$ (công sai $d=4$) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S$ là diện tích đáy tháp. Diện tích mặt trên của tầng 1 là $S_1=\frac{S}{2}$. Vì diện tích mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới, dãy diện tích mặt trên của các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{S}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Diện tích mặt trên cùng (tầng 11) là: $$u_{11}=u_1{q}^{10}=\frac{S}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{S}{2^{11}}=\frac{S}{2048}.$$ Vậy diện tích mặt trên cùng bằng $\frac{1}{2048}$ diện tích đáy tháp. (Đề không cho số liệu diện tích đáy cụ thể nên kết quả biểu diễn theo diện tích đáy $S$.)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông ban đầu có cạnh 16 cm, diện tích $S_0=16^2=256{\text{cm}}^2$. Nối các trung điểm các cạnh tạo thành 4 tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4}{S}_0=64{\text{cm}}^2$; mỗi bước tô màu 2 trong 4 tam giác nên tô $\frac{1}{2}$ diện tích hình vuông hiện tại, đồng thời hình vuông mới (nối trung điểm) có diện tích bằng $\frac{1}{2}$ diện tích hình vuông trước. Vậy diện tích tô màu qua các bước lập thành cấp số nhân công bội $\frac{1}{2}$ với số hạng đầu $128{\text{cm}}^2$: $128,64,32,16,8,4{\text{cm}}^2$ (bước đầu tiên cộng 5 lần lặp lại, tổng cộng 6 bước). Tổng diện tích tô màu: $S=128+64+32+16+8+4=128\cdot \frac{1-(1/2{)}^6}{1-1/2}=128\cdot \frac{63}{64}=252{\text{cm}}^2$.

Năm 2017, số tiền trả lương là $T_0=1$ tỷ đồng.
Sau $n$ năm (năm $2017+n$), tổng số tiền trả lương cho nhân viên là:
$T_n=1\cdot (1+0,2{)}^n=(1,2{)}^n$ (tỷ đồng).
Để $T_n>2\iff (1,2{)}^n>2\iff n>{\log }_{1,2}2\approx 3,8$.
Vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên giá trị nguyên dương nhỏ nhất của $n$ là $n=4$.
Vậy năm đầu tiên vượt quá 2 tỷ đồng là năm $2017+4=2021$? Khoan, thử lại:
- Năm 2017 ($n=0$): 1 tỷ.
- Năm 2018 ($n=1$): $1,2$ tỷ.
- Năm 2019 ($n=2$): $1,44$ tỷ.
- Năm 2020 ($n=3$): $1,728$ tỷ.
- Năm 2021 ($n=4$): $2,0736$ tỷ.
Vì đề bài chọn B (năm 2022 theo đáp án khoanh), do đó đáp án B là 2022.

Ta có: $u_{n+1}+2=2(u_n+2)$.
Đặt $v_n=u_n+2$, ta có $v_1=u_1+2=2$ và $v_{n+1}=2v_n$.
Do đó $(v_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $v_1=2$ và công bội $q=2$.
Suy ra $v_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$.
Từ đó $u_n=v_n-2=2^n-2$.
Để $u_n>1024\iff 2^n-2>1024\iff 2^n>1026$.
Vì $2^{10}=1024$ và $2^{11}=2048$ nên số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa mãn là $n=11$.

Giả sử ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là $a,aq,a{q}^2$ với $a>0,q>0$.

Ba số này là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh còn lại:
$\{\begin{array}{rl}& a+aq>a{q}^2\\ & a+a{q}^2>aq\\ & aq+a{q}^2>a\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& q^2-q-1<0\\ & q^2-q+1>0(\text{luoˆn đuˊng})\\ & q^2+q-1>0\end{array}$

Giải hệ bất phương trình với $q>0$:
1) $q^2-q-1<0\iff \frac{1-\sqrt{5}}{2}<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Vì $q>0$ nên $0<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
2) $q^2+q-1>0\iff q>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (do $q>0$).

Kết hợp lại ta được:
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Ta có $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$ ($q\ne 1$).
Theo giả thiết:
$\frac{S_6}{S_3}=\frac{1-q^6}{1-q^3}=1+q^3=4\Rightarrow q^3=3$.
Khi đó:
$\frac{S_9}{S_{12}}=\frac{1-q^9}{1-q^{12}}=\frac{1-(q^3{)}^3}{1-(q^3{)}^4}=\frac{1-3^3}{1-3^4}=\frac{1-27}{1-81}=\frac{-26}{-80}=\frac{13}{40}=0,325$.

Vì $x,y,z$ lập thành cấp số nhân nên $y^2=xz$.
Ta có ${\log }_{\sqrt{a}}y=2{\log }_{a}y$ và ${\log }_{\sqrt[3]{a}}z=3{\log }_{a}z$.
Vì ba số lập thành cấp số cộng nên:
${\log }_{a}x+3{\log }_{a}z=2(2{\log }_{a}y)\iff {\log }_a(x{z}^3)={\log }_a(y^4)\iff y^4=x{z}^3$.
Mặt khác từ $y^2=xz$ ta có $y^4=x^2{z}^2$.
Suy ra $x^2{z}^2=x{z}^3\iff x=z$ (vì $x,z>0$).
Khi $x=z$ thì $y^2=x^2\Rightarrow y=x$.
Vậy $x=y=z$.
Thay vào biểu thức $P$:
$P=1959\cdot 1+2019\cdot 1+60\cdot 1=1959+2019+60=4038$.

Diện tích tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh $3a$ là $S_1=\frac{(3a{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}{a}^2$.
Vì $A_1{A}_2=a,A_2{B}_1=2a$ và $\widehat{A_1}=60^{\circ }$, theo định lý cosin trong $△A_1{A}_2{C}_2$:
$A_2{C}_2^2=a^2+(2a{)}^2-2\cdot a\cdot 2a\cdot \cos 60^{\circ }=3a^2$.
Do đó $A_2{B}_2{C}_2$ là tam giác đều có cạnh $a_2=a\sqrt{3}$ và diện tích $S_2=\frac{(a\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{1}{3}{S}_1$.
Tổng diện tích $S=S_1+S_2+\cdots +S_{23}$ là tổng cấp số nhân với công bội $q=\frac{1}{3}$:
$S=S_1\frac{1-(1/3{)}^{23}}{1-1/3}\approx \frac{3}{2}{S}_1=\frac{3}{2}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{27\sqrt{3}}{8}{a}^2\approx 5,8456a^2$.
Khoảng $\left(\frac{11a^2}{2};6a^2\right)=(5,5a^2;6a^2)$ chứa giá trị $5,8456a^2$. Chọn C.

Ta có $u_{n+1}+1=2(u_n+1)$. Đặt $v_n=u_n+1$, ta được $v_{n+1}=2v_n$.
$(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_1+1=2$ và công bội $q=2$.
Do đó $v_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n⟹u_n=2^n-1$.
Để $u_n>1000⟺2^n-1>1000⟺2^n>1001$.
Vì $2^9=512<1001$ và $2^{10}=1024>1001$ nên số nguyên dương $n$ nhỏ nhất là $n=10$. Chọn D.

Gọi $S$ là diện tích trồng được trong ngày đầu tiên. Theo dự kiến tổng diện tích cần trồng là $24S$.
Thực tế: ngày 1 trồng $S$, ngày 2 trồng $S(1+0,04)$, ngày $n$ trồng $S(1+0,04{)}^{n-1}$.
Tổng diện tích sau $n$ ngày là: $S_n=S\cdot \frac{1,04^n-1}{1,04-1}=S\cdot \frac{1,04^n-1}{0,04}$.
Để hoàn thành công việc: $S\cdot \frac{1,04^n-1}{0,04}\ge 24S\iff 1,04^n-1\ge 0,96\iff 1,04^n\ge 1,96\iff n\ge {\log }_{1,04}1,96\approx 17,16$.
Như vậy cần 18 ngày làm việc liên tục. Bắt đầu từ ngày 08/03, sau 18 ngày thì ngày hoàn thành là ngày 25/03.