Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khi $\Delta <0$, tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ không có nghiệm thực nên $f(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ và luôn cùng dấu với hệ số $a$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)$ có dấu của $a$). Do đó phát biểu C đúng. A sai (trái dấu với C). B sai vì khi $\Delta >0$ tam thức đổi dấu hai lần ngoài hai nghiệm. D sai vì khi $\Delta =0$, $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$ nên tại $x=-\frac{b}{2a}$ ta có $f(x)=0$; tuy phát biểu D loại điểm $x=-\frac{b}{a}$ (không phải nghiệm kép) nhưng đây là đáp án chuẩn của đề là C. Đáp án khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2+x-2$ có $a=3>0$. Giải $3x^2+x-2=0$: $\Delta =1+24=25$, $x=\frac{-1\pm 5}{6}$, tức $x=-1$ hoặc $x=\frac{2}{3}$. Vì $a>0$, tam thức âm khi và chỉ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm: $x\in \left(-1;\frac{2}{3}\right)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $x^2-5x+4\le 0$. Phương trình $x^2-5x+4=0$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=4$ (vì $1+4=5$, $1\cdot 4=4$). Parabol hướng lên nên $f(x)\le 0$ khi và chỉ khi $x\in [1;4]$. Điều này khớp với đồ thị: phần đồ thị nằm dưới hoặc trên trục hoành đúng trên đoạn từ $x=1$ đến $x=4$. Vậy tập nghiệm là $[1;4]$, trùng với đáp án A và đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng là $x$ (m), chiều dài là $x+10$ (m). Diện tích không nhỏ hơn $200m^2$ nên $x(x+10)\ge 200\iff x^2+10x-200\ge 0\iff (x-10)(x+20)\ge 0$. Vì $x>0$ nên $x\ge 10$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $x$ là $10$ (mét).

(AI giải đề cho tôi)
Cửa hàng không bị lỗ khi $F(x)\ge 0$, tức $-x^2+125x-3150\ge 0\iff x^2-125x+3150\le 0$. Phương trình $x^2-125x+3150=0$ có $\Delta =125^2-4\cdot 3150=15625-12600=3025=55^2$, nên hai nghiệm $x=\frac{125-55}{2}=35$ và $x=\frac{125+55}{2}=90$. Vậy đoạn cần tìm là $[a;b]=[35;90]$, suy ra $a+b=35+90=125$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (125).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2+3x-4>0$. Phân tích: $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$. Hai nghiệm của tam thức là $x=1$ và $x=-4$, hệ số $a=1>0$ nên tam thức dương khi $x<-4$ hoặc $x>1$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$, trùng với đáp án D (khớp đáp án nguồn mã đề 1002, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=2$, âm ngoài khoảng $(1;2)$ và dương trong khoảng $(1;2)$, nên hệ số $a<0$ và $f(x)=a(x-1)(x-2)$. Với $a=-1$: $f(x)=-(x-1)(x-2)=-x^2+3x-2$. Kiểm tra: $f(0)=-2<0$, $f(1,5)=2,25-4,5+2=-0,25$... thực tế $f(1,5)=-2,25+4,5-2=0,25>0$, $f(3)=-9+9-2=-2<0$, khớp bảng xét dấu. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm $x=-2$ và $x=3$, âm ngoài khoảng nghiệm và dương trong khoảng $(-2;3)$, nên hệ số $a<0$. Khi đó $f(x)=a(x+2)(x-3)$ với $a<0$, chọn $a=-1$: $f(x)=-(x+2)(x-3)=-x^2+x+6$. Kiểm tra: $f(0)=6>0$ (dùng trong $(-2;3)$), $f(4)=-16+4+6=-6<0$, phù hợp bảng. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+2x-5>0$. Giải $3x^2+2x-5=0$: $\Delta =4+60=64$, $x=\frac{-2\pm 8}{6}$, được $x=1$ và $x=-\frac{5}{3}$. Vì hệ số $a=3>0$, tam thức dương khi $x<-\frac{5}{3}$ hoặc $x>1$. Vậy tập nghiệm là $\left(-\infty ;-\frac{5}{3}\right)\cup (1;+\infty )$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 1001, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)>0$ khi $x<-\frac{4}{3}$ hoặc $x>2$; $f(x)=0$ tại $x=-\frac{4}{3}$ và $x=2$; $f(x)<0$ khi $x\in \left(-\frac{4}{3};2\right)$. Xét các phương án: A sai vì $f(x)>0$ chỉ khi $x\in \left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)\cup (2;+\infty )$ (khoảng mở, không gồm hai nghiệm); B sai vì trên $\left(-\frac{4}{3};2\right)$ thì $f(x)<0$; C sai vì $f(x)\le 0$ khi $x\in \left[-\frac{4}{3};2\right]$; D đúng vì $f(x)<0$ trên $\left(-\frac{4}{3};2\right)$.

Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là: $170x$ (nghìn đồng).
Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là
$170x\ge x^2+30x+3300\iff x^2-140x+3300\le 0$.

(0,5 điểm)

Xét $x^2-140x+3300=0\Rightarrow x=30\vee x=110$.
Bảng xét dấu:



Ta có: $x^2-140x+3300\le 0\iff x\in [30;110]$.
Vậy nếu nhà sản xuất làm ra tối thiểu 30 và tối đa 110 sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.

(0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho $f(x)$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=2$, với dấu $+$ ngoài khoảng và $-$ giữa hai nghiệm, nên $f(x)$ là tam thức bậc hai với hệ số $a>0$ và $f(x)=a(x+1)(x-2)$. Trong các đáp án: $f(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ có $a=1>0$, hai nghiệm $-1$ và $2$, thỏa bảng xét dấu. Các phương án A, C có $a<0$ (dấu ngược lại), D có nghiệm $-1$ và $3$ nên không thỏa. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2+2x+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi tam thức bậc hai $f(x)=x^2+2x+m$ không âm với mọi $x$. Vì hệ số $a=1>0$, điều kiện là $\Delta \le 0$: $\Delta =4-4m\le 0\iff m\ge 1$. Kiểm tra: với $m=1$, $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ge 0$ đúng với mọi $x$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $6x^2-x-2>0$. Phương trình $6x^2-x-2=0$ có nghiệm $x=\frac{1\pm \sqrt{1+48}}{12}=\frac{1\pm 7}{12}$, tức $x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{2}{3}$. Vì $a=6>0$, parabol hướng lên nên $6x^2-x-2>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>\frac{2}{3}$. Vậy $S=\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí xe vàng: $s_V(t)=2t^2+t$; vị trí xe xanh: $s_X(t)=t^2+2t+30$. Xe vàng đuổi kịp khi $2t^2+t=t^2+2t+30\iff t^2-t-30=0\iff t=6$ (nhận) hoặc $t=-5$ (loại). Vậy xe vàng đuổi kịp ở giây thứ 6, không phải giây thứ 4 (C sai). Xét $s_V-s_X=t^2-t-30=(t-6)(t+5)$: với $t>6$ thì $s_V>s_X$, tức từ giây thứ 7 trở đi xe vàng luôn phía trước (D đúng). Với $4\le t<6$, $s_V<s_X$ nên B sai; A sai vì có đuổi kịp tại $t=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=2x^2-7x-9$ có $a=2>0$. Nghiệm của $2x^2-7x-9=0$: $\Delta =49+72=121$, $x=\frac{7\pm 11}{4}$, tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{9}{2}$. Tam thức nhận giá trị âm khi $-1<x<\frac{9}{2}$. Các giá trị nguyên trong khoảng này: $0,1,2,3,4$ — có 5 giá trị. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2-mx-4$ có $a=-1<0$. Để $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, parabol phải nằm hoàn toàn dưới trục hoành, tức là $\Delta <0$. Ta có $\Delta =b^2-4ac=(-m{)}^2-4(-1)(-4)=m^2-16$. Điều kiện $\Delta <0\iff m^2<16\iff -4<m<4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-x^2-x+2\le 0\iff x^2+x-2\ge 0\iff (x-1)(x+2)\ge 0$. Tam thức $x^2+x-2$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=-2$, hệ số $a=1>0$ nên tam thức dương khi $x\le -2$ hoặc $x\ge 1$. Vậy tập nghiệm là $S=(-\infty ;-2]\cup [1;+\infty )$. Kiểm tra: $x=0$: $-0-0+2=2>0$ (không thỏa, đúng vì $0\notin S$); $x=2$: $-4-2+2=-4\le 0$ (thỏa); $x=-3$: $-9+3+2=-4\le 0$ (thỏa).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5 (Tự luận): Giải bất phương trình $-x^2+5x-6<0$.

Nhân hai vế với $-1$ (đổi chiều bất đẳng thức): $-x^2+5x-6<0\iff x^2-5x+6>0$.

Xét phương trình $x^2-5x+6=0$. Có $\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x=\frac{5\pm 1}{2}$, tức $x=2$ hoặc $x=3$ (kiểm tra: $2+3=5$, $2\cdot 3=6$).

Tam thức $f(x)=x^2-5x+6$ có hệ số $a=1>0$ nên $f(x)>0$ khi $x$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$.

Kết quả này trùng với lời giải AI được cung cấp (phần sai lỗi văn bản không ảnh hưởng đến đáp án).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2+x+6$ có $a=-1,b=1,c=6$. a) $\Delta =b^2-4ac=1+24=25\ne 5$ nên sai. b) $f(1)=-1+1+6=6>0$ nên đúng. c) $\Delta =25>0$, nghiệm $x=\frac{-1\pm 5}{-2}$ tức $x_1=3,x_2=-2$; vì $a=-1<0$ nên $f(x)>0$ trên $(-2;3)$ và $f(x)<0$ ngoài khoảng đó, đúng như bảng xét dấu, nên đúng. d) $f(x)\ge 0⟺x\in [-2;3]$ (kể cả hai đầu mút), không phải $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$, nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =1^2-4(-1)(6)=25\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=-1+1+6=6>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=-2$ và $x=3$, hệ số $a=-1<0$ nên $f$ âm ngoài khoảng, dương trong khoảng $(-2;3)$, đúng như bảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\ge 0⟺x\in [-2;3]$, không phải $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.