Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
$x^2+5x-6<0\iff (x+6)(x-1)<0\iff -6<x<1$. Các nghiệm nguyên: $-5,-4,-3,-2,-1,0$, tổng cộng 6 nghiệm nguyên.

a) $m=1\Rightarrow f(x)=x^2-4x+4\ge 0,\forall x\in R\Rightarrow$ Đúng
b) $f(x)=0$ có 2 nghiệm $\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta =4(m+1{)}^2-16m>0\end{array}$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 4m^2-8m+4>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\ne 1\end{array}\Rightarrow S=R\setminus \{0;1\}\Rightarrow$ Sai
c) $f(x)$ là tam thức bậc hai khi $m\ne 0\Rightarrow$ Sai
d) với $m=2\Rightarrow f(x)=2x^2-6x+4<0$ bấm máy $\Rightarrow 1<x<2\Rightarrow$ Sai
a) a) $m=1\Rightarrow f(x)=x^2-4x+4\ge 0,\forall x\in R\Rightarrow$ Đúng
b) b) $f(x)=0$ có 2 nghiệm $\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta =4(m+1{)}^2-16m>0\end{array}$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 4m^2-8m+4>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\ne 1\end{array}\Rightarrow S=R\setminus \{0;1\}\Rightarrow$ Sai
c) c) $f(x)$ là tam thức bậc hai khi $m\ne 0\Rightarrow$ Sai
d) d) với $m=2\Rightarrow f(x)=2x^2-6x+4<0$ bấm máy $\Rightarrow 1<x<2\Rightarrow$ Sai

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $\frac{-x^2+4x-3}{x^2-x-2}\ge 0$ với điều kiện $x\ne -1,x\ne 2$. Phân tích: $-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)$ và $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Xét dấu của $\frac{-(x-1)(x-3)}{(x+1)(x-2)}$ trên các khoảng: với $x<-1$ biểu thức âm; với $-1<x<1$ dương; với $1<x<2$ âm; với $2<x<3$ dương; với $x>3$ âm. Kèm nghiệm riêng $x=1$ và $x=3$ (tử bằng 0). Vậy tập nghiệm là $(-1;1]\cup (2;3]$, trùng với đáp án A và với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 18: A).

$-x^2+7x-10\ge 0\iff x\in [2;5]$. $ab=2.5=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2+x+2$ có $a=-1<0$ nên đồ thị parabol hướng xuống. Giải $f(x)=0$: $-x^2+x+2=0\iff x^2-x-2=0\iff (x-2)(x+1)=0$, hai nghiệm $x=-1$ và $x=2$. Vì $a<0$, tam thức nhận giá trị dương giữa hai nghiệm, tức trên khoảng $(-1;2)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống ($a<0$) cắt trục hoành tại hai điểm $x=-1$ và $x=3$. Tam thức $f(x)$ nhận giá trị không âm ($f(x)\ge 0$) khi đồ thị nằm trên hoặc tiếp xúc trục $Ox$, tức khi $x$ nằm giữa hai nghiệm: $-1\le x\le 3$. Vậy tập hợp cần tìm là $[-1;3]$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+4x-3=0$ với $\Delta =16-12=4$, nghiệm $x=1$ và $x=3$. Vì $a=-1<0$ nên parabol hướng xuống, $f(x)>0$ khi $x\in (1;3)$. Đồ thị trong hình cũng cho thấy phần trên trục hoành nằm giữa hai giao điểm $x=1$ và $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp $A=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2+x{)}^2=x^2-2x+1\}$. Vì $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ nên $(x^2+x{)}^2=(x-1{)}^2\iff x^2+x=\pm (x-1)$. Trường hợp $x^2+x=x-1\iff x^2=-1$: vô nghiệm thực. Trường hợp $x^2+x=-(x-1)\iff x^2+2x-1=0$: có hai nghiệm thực phân biệt $x=-1\pm \sqrt{2}$. Vậy $A$ có 2 phần tử, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho $f(x)<0$ khi $x<1$ hoặc $x>2$, $f(x)>0$ khi $1<x<2$, với nghiệm $x=1,2$. Vậy parabol quay xuống dưới, $f(x)=-(x-1)(x-2)=(x-1)(-x+2)$. Kiểm tra: $f(0)=-2<0$, $f(1,5)=0,5\cdot 0,5=0,25>0$, $f(3)=2\cdot (-1)=-2<0$, khớp bảng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng lên với đỉnh $(1;-3)$ và đi qua điểm $(2;0)$. Suy ra $f(x)=a(x-1{)}^2-3$ với $f(2)=a-3=0\Rightarrow a=3$, tức $f(x)=3(x-1{)}^2-3=3x^2-6x$. Nghiệm của $f(x)=0$ là $x=0$ và $x=2$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ có tập nghiệm $[0;2]$, các giá trị nguyên là $x\in \{0;1;2\}$, tức có 3 nghiệm nguyên. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)\le 0$ trên $\mathbb{R}$, chỉ bằng 0 tại $x=4$ và âm ở mọi nơi khác. Xét các đáp án: A) $f(x)=x-4$ âm khi $x<4$, dương khi $x>4$ — sai. B) $f(x)=16-x^2$ dương trên $(-4;4)$ — sai. C) $f(x)=-x^2+8x-16=-(x-4{)}^2\le 0$, bằng 0 chỉ tại $x=4$, âm với mọi $x\ne 4$ — khớp bảng xét dấu. D) $f(x)=(x-4{)}^2\ge 0$ — sai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi tam thức vô nghiệm, tức $\Delta =b^2-4ac<0$. Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại $x=-\frac{b}{2a}$ (không cùng dấu với $a$ tại điểm đó); nếu $\Delta >0$ thì tam thức đổi dấu. Vậy điều kiện là $\Delta <0$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2+9x-10$. Nghiệm: $x^2+9x-10=0\iff x=1$ hoặc $x=-10$ (vì tổng nghiệm $-9$, tích $-10$). Tam thức có $a=1>0$ nên $f(x)\le 0$ giữa hai nghiệm. Vậy tập nghiệm là $[-10;1]$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải bốn bất phương trình:

a) Xét $f(x)=3x^3+2x+1$. Ta có $f^{\prime }(x)=9x^2+2>0$ với mọi $x$, nên $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và có đúng một nghiệm thực $\alpha$. Theo công thức Cardano với $x^3+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}=0$:
$$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{113}}{54}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{113}}{54}}\approx -0,4023.$$
Vì $f$ đồng biến và $f(\alpha )=0$, nên $f(x)\le 0\iff x\le \alpha$. Vậy tập nghiệm là $S=\left(-\infty ;\sqrt[3]{-\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{113}}{54}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{113}}{54}}\right]\approx (-\infty ;-0,4023]$.

b) $x^2+x-12<0\iff (x+4)(x-3)<0\iff -4<x<3$. Vậy $S=(-4;3)$.

c) $-36x^2+12x-1\ge 0\iff 36x^2-12x+1\le 0\iff (6x-1{)}^2\le 0$. Vì bình phương không âm, bất đẳng thức chỉ xảy ra khi $(6x-1{)}^2=0$, tức $x=\frac{1}{6}$. Vậy $S=\left\{\frac{1}{6}\right\}$.

d) $-2x^2+3x-1\ge 0\iff 2x^2-3x+1\le 0\iff (2x-1)(x-1)\le 0\iff \frac{1}{2}\le x\le 1$. Vậy $S=\left[\frac{1}{2};1\right]$.

Kiểm tra: b) tại $x=0$: $-12<0$ đúng; c) tại $x=1/6$: $-36\cdot \frac{1}{36}+2-1=0\ge 0$ đúng; d) tại $x=1$: $-2+3-1=0\ge 0$ đúng; a) $f(-0.5)=-0.375<0$, $f(0)=1>0$ phù hợp nghiệm $\alpha \approx -0,4023$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng lên cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$, nên $f(x)<0$ trên $(1;3)$, $f(x)=0$ tại $x=1,3$, $f(x)>0$ trên $(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$. A sai vì $f(x)\ge 0$ khi $x\in (-\infty ;1]\cup [3;+\infty )$; B sai vì $f(x)>0$ khi $x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$; C sai vì $f(x)\le 0$ khi $x\in [1;3]$; D đúng vì $f(x)<0$ khi và chỉ khi $x\in (1;3)$. Khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $-x^2+2x-10$ (đáp án C): có $a=-1<0$ và biệt thức $\Delta =b^2-4ac=2^2-4(-1)(-10)=4-40=-36<0$. Vì $a<0$ và $\Delta <0$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$. Các đáp án khác: A có $\Delta =100-8=92>0$ nên đổi dấu; B có $\Delta =4+40=44>0$ nên đổi dấu; D có $a=1>0$, $\Delta =4-40<0$ nên luôn dương. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $-x^2+2x-10=-(x^2-2x+10)=-\left[(x-1{)}^2+9\right]$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $(x-1{)}^2+9\ge 9>0$, do đó $-\left[(x-1{)}^2+9\right]\le -9<0$ với mọi $x$. Vậy tam thức ở phương án C luôn âm. Các phương án khác: A có $\Delta =4-40<0$ và $a>0$ nên luôn dương; B có $\Delta =100-8>0$ nên có nghiệm (đổi dấu); D có $\Delta =4+40>0$ nên có nghiệm. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2-6x$. Điều kiện $y^{\prime }\ge -9$ tức $-3x^2-6x\ge -9\iff x^2+2x-3\le 0\iff (x+3)(x-1)\le 0\iff -3\le x\le 1$. Vậy tập nghiệm là $[-3;1]$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $v(t)\ge 12$: $\frac{1}{2}{t}^2-8t+12\ge 12\iff \frac{1}{2}{t}^2-8t\ge 0\iff t(t-16)\ge 0$. Với $t>0$, suy ra $t\ge 16$. Vậy sau tối thiểu 16 giây vận tốc của vật không bé hơn 12 m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (16).