Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

Lợi nhuận mỗi tháng của cửa hàng: $L(x)=(18-x)(x-10)=-x^2+28x-180$.
ĐK thỏa đề: $L(x)\ge 15,(x\ge 10)$.
Giải BPT: $-x^2+28x-195\ge 0\iff 13\le x\le 15$.
Mức giá cửa hàng đưa ra là từ 13 đến 15 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(m-3)x^2-2(m-2)x+4$.
a) Tam thức bậc hai luôn âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ số $a<0$ (tức $m<3$) và ${\Delta }^{\prime }<0$ với ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2-4(m-3)\cdot 4=m^2-20m+52$. Đây đúng là tiêu chuẩn cần và đủ, nên khẳng định a) Đúng.
b) Với $m\ne 3$, hệ số của $x^2$ là $m-3\ne 0$, nên $f(x)$ là tam thức bậc hai. Đúng.
c) Khi $m=3$: $f(x)=-2x+4=0\iff x=2$, phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$. Đúng.
d) Khi $m=4$: $f(x)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2\ge 0$ nhưng $f(2)=0$, nên $f(x)$ không luôn nhận giá trị dương với mọi $x\in \mathbb{R}$. Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án chính thức DDDS (mã đề 1002, PHẦN II Câu 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu chuẩn để tam thức bậc hai luôn âm là $a<0$ và ${\Delta }^{\prime }<0$, tức $m<3$ và ${\Delta }^{\prime }=m^2-20m+52<0$. Khẳng định đúng tiêu chuẩn này nên Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m\ne 3$ thì $a=m-3\ne 0$, nên $f(x)$ là tam thức bậc hai. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=3$, $f(x)=-2x+4=0\iff x=2$: nghiệm duy nhất. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=4$, $f(x)=(x-2{)}^2\ge 0$ và $f(2)=0$, nên không luôn dương với mọi $x$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2-2mx+m+2>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol $y=x^2-2mx+m+2$ (có hệ số $a=1>0$) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, tức là $\Delta <0$ với $\Delta =(-2m{)}^2-4(m+2)=4m^2-4m-8$. Khi đó $m^2-m-2<0\iff (m-2)(m+1)<0\iff -1<m<2$. Các giá trị nguyên $m\in [-20;20]$ thỏa mãn là $m=0$ và $m=1$, vậy có 2 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu trả lời ngắn số 1 là 2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(m-2)x^2-2(m-1)x+3$.
a) Đúng. Khi $m\ne 2$, hệ số của $x^2$ là $m-2\ne 0$ nên $f(x)$ là tam thức bậc hai.
b) Đúng. Với $m=2$: $f(x)=-2x+3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ (có nghiệm). Với $m\ne 2$: ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-3(m-2)=m^2-5m+7$ có ${\Delta }_m=25-28=-3<0$ nên ${\Delta }^{\prime }>0$ với mọi $m$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy với mọi $m$, $f(x)=0$ đều có nghiệm.
c) Sai. Khi $m=3$: $f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ có hai nghiệm $x=1,x=3$, nên $f(1)=0$, không luôn dương.
d) Sai. Để $f(x)<0\forall x\in \mathbb{R}$ với $m\ne 2$ cần $a=m-2<0$ và ${\Delta }^{\prime }<0$, tức $m<2$ và $m^2-5m+7<0$; nhưng $m^2-5m+7>0$ với mọi $m$ (vì ${\Delta }_m=-3<0$), nên không tồn tại $m$. Với $m=2$, $f(x)=-2x+3$ không luôn âm. Vậy không có $m$ nào để $f(x)$ luôn âm, mệnh đề 'khi và chỉ khi $m\le 2$' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-S-S-S (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m\ne 2$, hệ số $m-2\ne 0$ nên $f(x)$ là tam thức bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$m=2$: phương trình bậc nhất có nghiệm $x=\frac{3}{2}$. $m\ne 2$: ${\Delta }^{\prime }=m^2-5m+7>0$ với mọi $m$ vì ${\Delta }_m=-3<0$, luôn có nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=3$: $f(x)=x^2-4x+3$ có nghiệm $x=1,3$ nên $f(1)=0$, không luôn dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m-2<0$ và ${\Delta }^{\prime }=m^2-5m+7<0$, nhưng ${\Delta }^{\prime }>0$ với mọi $m$; với $m=2$ thì $f(x)=-2x+3$ không luôn âm. Không tồn tại $m$ thỏa, nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$. Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm nên $m=0\in S$. Với $m\ne 0$, bất phương trình có nghiệm khi $\Delta >0$: $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=-8m+1>0\iff m<\frac{1}{8}$. Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8}]$. Kiểm tra các khoảng: $(-1;0)\subset S$ (đúng); $(0;1)\not\subset S$ vì $\frac{1}{2}\notin S$; $(-2;3)\not\subset S$; $(1;2)\not\subset S$. Chọn B, khớp đáp án nguồn.

Phương trình $(m-2)x^2-2mx+m+3=0$ có $2$ nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{rl}& a\ne 0\\ & {\Delta }^{\prime }>0\\ & S>0\\ & P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m-2\ne 0\\ & m^2-(m-2)(m+3)>0\\ & \frac{2m}{m-2}>0\\ & \frac{m+3}{m-2}>0\end{array}$

Giải từng điều kiện:
1) $m\ne 2$.
2) $m^2-(m^2+m-6)=6-m>0\iff m<6$.
3) $\frac{2m}{m-2}>0\iff m<0$ hoặc $m>2$.
4) $\frac{m+3}{m-2}>0\iff m<-3$ hoặc $m>2$.

Kết hợp các điều kiện trên:
- Với $m>2$: $2<m<6$.
- Với $m<2$: để đồng thời $m<0$ và ($m<-3$ hoặc $m>2$) thì $m<-3$.

Vậy giá trị của $m$ là $2<m<6$ hoặc $m<-3$.

Ta có $x^2+2x-15<0⟺-5<x<3$. Để hệ có nghiệm thì tập nghiệm của $(m+1)x\ge 3$ phải có giao khác rỗng với khoảng $(-5;3)$, dẫn tới $m<-\frac{8}{5}$ hoặc $m>0$.

Xét hai trường hợp:
- Nếu $m=0$: Bất phương trình trở thành $3\le 0$ (vô lý).
- Nếu $m\ne 0$: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}m<0\\ \Delta =(-m{)}^2-4m(m+3)\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m<0\\ -3m^2-12m\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m<0\\ -3m(m+4)\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m<0\\ m(m+4)\ge 0\end{array}⟺m\le -4$.
Vậy $m\in (-\infty ;-4]$. Chọn D.

Bất phương trình: $|x-1|>x$.
- Nếu $x\le 0$: vế trái $|x-1|\ge 1>0\ge x$, luôn đúng với mọi $x\le 0$. Trong khoảng $(-100;100)$, các nghiệm nguyên là $x\in \{-99;-98;\dots ;0\}$, gồm 100 giá trị.
- Nếu $x>0$: $|x-1|>x\iff [<table><tbody><tr><td>x-1>x\text{ (voˆ nghiệm)}</td></tr><tr><td>x-1<-x\iff 2x<1\iff x<\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$. Vì $x>0$ và nguyên nên không có nghiệm nào thỏa mãn.
Vậy có tất cả 100 nghiệm nguyên.

Theo bất đẳng thức Nesbitt với ba số dương $a,b,c$:
$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $P$ là $m=\frac{3}{2}=1,5$.
Vì $1,5\in (1;2)$, nên $m$ thuộc khoảng $(1;2)$.

Bất phương trình vô nghiệm $⟺(m-3)x^2+(m+2)x-4\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Với $m=3$, bất phương trình $5x-4\le 0$ không đúng với mọi $x$. Với $m\ne 3$, điều kiện là $\{\begin{array}{l}m-3<0\\ \Delta =(m+2{)}^2+16(m-3)\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m<3\\ m^2+20m-44\le 0\end{array}⟺-22\le m\le 2$. Chọn đáp án D.

Xét trên từng khoảng: với $x<-2$, $-3<x-\frac{3}{2}$ (vô nghiệm); với $-2\le x<1$, $2x+1<x-\frac{3}{2}$ (vô nghiệm); với $x\ge 1$, $3<x-\frac{3}{2}⟺x>\frac{9}{2}$. Chọn đáp án A.

Ta có $f(x)=-(x-\sqrt{m}+1)(x-\sqrt{m})\ge 0⟺x\in [\sqrt{m}-1;\sqrt{m}]$. Để $[1;2]\subset [\sqrt{m}-1;\sqrt{m}]$ thì $\sqrt{m}=2⟺m=4$. Vậy chỉ có $1$ giá trị nguyên của $m$. Chọn đáp án A.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$ khi và chỉ khi $f(x)\ge f(0)=3,\forall x\in \mathbb{R}⟺a{x}^4+b{x}^3+x^2\ge 0,\forall x⟺a{x}^2+bx+1\ge 0,\forall x⟺\Delta =b^2-4a\le 0⟺a\ge \frac{b^2}{4}$. Khi đó $P=a+2b+1\ge \frac{b^2}{4}+2b+1=\frac{(b+4{)}^2}{4}-3\ge -3$. Dấu bằng xảy ra khi $b=-4$ và $a=4>0$. Vậy $\min P=-3$. Chọn D.

Chọn A.
Bất phương trình thứ nhất: $x^2-2x-8\le 0⟺-2\le x\le 4$, tập nghiệm $S_1=[-2;4]$.
Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì bất phương trình $(m+3)x>2$ không có nghiệm nào thuộc $[-2;4]$.
- Với $m+3=0⟺m=-3$, ta có $0\cdot x>2$ (vô nghiệm), do đó hệ vô nghiệm (thỏa mãn $m=-3$).
- Với $m+3>0⟺m>-3$, ta có $x>\frac{2}{m+3}$. Để không có nghiệm trên $[-2;4]$ thì $\frac{2}{m+3}\ge 4⟺m+3\le \frac{1}{2}⟺m\le -\frac{5}{2}$. Kết hợp được $-3<m\le -\frac{5}{2}$.
- Với $m+3<0⟺m<-3$, ta có $x<\frac{2}{m+3}$. Để không có nghiệm trên $[-2;4]$ thì $\frac{2}{m+3}\le -2⟺\frac{1}{m+3}\le -1⟺m+3\ge -1⟺m\ge -4$. Kết hợp được $-4\le m<-3$.
Tổng hợp các trường hợp, ta được $m\in \left[-4;-\frac{5}{2}\right]$.

Chọn D.
Áp dụng bất đẳng thức $|a|+|b|\ge |a+b|$, ta có:
$|x+1|+|x-3|=|x+1|+|3-x|\ge |x+1+3-x|=4.$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(x+1)(3-x)\ge 0\iff -1\le x\le 3$.
- Nếu $2m-1<4\iff m<\frac{5}{2}$, phương trình vô nghiệm.
- Nếu $2m-1=4\iff m=\frac{5}{2}$, phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn $-1\le x\le 3$ (nhiều hơn 2 nghiệm thực).
- Nếu $2m-1>4\iff m>\frac{5}{2}$, phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Do đó phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm thực khi và chỉ khi $m=\frac{5}{2}=2,5$.
Giá trị $m=2,5\in (2;3)$.

Chọn B.
Đặt $t=x+\frac{1}{x}$. Với $x>0$, theo BĐT AM-GM ta có $t\ge 2$.
Theo đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Thái Nguyên (Mã đề 102), có $19$ giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-4$. Vì $z_1{z}_2=4>0$, phương trình không thể có hai nghiệm thực trái dấu, nên $|z_1|=|z_2|$ xảy ra khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phức liên hợp phân biệt, tức là ${\Delta }^{\prime }<0\iff (m-1{)}^2<4\iff -1<m<3$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1;2\}$, tổng các phần tử của $S$ bằng $0+1+2=3$.