Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Phú Yên - Mã đề 132, trang 8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  cắt và vuông góc với đường thẳng d có véc tơ chỉ
  
phương của đường thẳng  là u   nP , ud 
    
Với nP   2; 2;1 , ud   3;1; 2   u   nP , ud    3;7; 8 

Tọa độ giao điểm của  P  và d là nghiệm của hệ phương trình
t  0
2 x  2 y  z  3  0 2 1  3t   2 1  t    3  2t   3  0 
  x  1
 x 1 y 1 z  3   x 1 y 1 z  3  .
 3  1  2    t y 1
 3 1 2  z  3

Vậy phương trình đường thẳng  đi qua điểm 1;1;3 và có VTCP u   3;7; 8  dạng:

x 1 y 1 z  3
  qua điểm  2;  6;11  Chọn D
3 7 8

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(5;1;0)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2;0)$. Khi đó $\sin (d,(P))=\frac{|5\cdot 3+1\cdot (-2)+0|}{\sqrt{25+1}\sqrt{9+4}}=\frac{13}{\sqrt{26}\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow (d,(P))=45^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

**Chọn D**

 
  d  u   u d   
Ta có:     u   u d , n p    2;0; 4   2 1;0; 2  .
   P   u   n p

Phương trình đường thẳng  đi qua A  3; 4;1 có vec tơ chỉ phương u   1;0; 2  là
 x  3  t

y  4
 z  1  2t


**Chọn C**

Gọi A là hình chiếu của A(2;0;1) lên ( ) .

Ta có B    . Gọi d là đường thẳng nằm trong ( ) và cắt đường thẳng AB , thỏa mãn góc
giữa hai đường thẳng AB và d bằng góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
2 6
( )  d  AB  kc  A, d   kc  A,      .
6 3

Ta có $[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]=[(1;1;-2),(1;-2;1)]=(-3;-3;-3)$, suy ra $b=-3,c=-3$. Vì $\Delta$ đi qua $A(2;1;3)$ nên $a=-2,d=-3$. Vậy $T=-2-3-3-3=-11$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 122).

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;-2;0)$, của $(\beta )$ là ${\vec{n}}_{\beta }=(1;0;-2)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là ${\vec{u}}_d=[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{n}}_{\beta }]=(4;2;2)\parallel (2;1;1)$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(3;4;5)$. $\sin \phi =\frac{|{\vec{u}}_d\cdot {\vec{n}}_P|}{|{\vec{u}}_d|\cdot |{\vec{n}}_P|}=\frac{|2\cdot 3+1\cdot 4+1\cdot 5|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}\cdot \sqrt{3^2+4^2+5^2}}=\frac{15}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi =60^{\circ }$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 21), Câu 9 chọn đáp án B.

Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y=0$.
Khoảng cách từ $A(-2;3;1)$ đến $(Oxz)$ là $d_A=|y_A|=3$.
Khoảng cách từ $B(5;6;2)$ đến $(Oxz)$ là $d_B=|y_B|=6$.
Vì $y_A$ và $y_B$ cùng dấu dương nên $A$ và $B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $(Oxz)$, suy ra $M$ nằm ngoài đoạn $AB$.
Theo định lý Thales:
$\frac{AM}{BM}=\frac{d(A,(Oxz))}{d(B,(Oxz))}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

a) **Đúng**. Vectơ $\overrightarrow{MA}=(7-1;8-2;-3-3)=(6;6;-6)$.
b) **Sai**. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-5;-5;0)$, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\vec{n}=(0;0;1)$. Mà $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=0$ nên đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng $(Oxy)$ (góc bằng $0^{\circ }$).
c) **Đúng**. Đường thẳng $MA$ đi qua $M(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\frac{1}{6}\overrightarrow{MA}=(1;1;-1)$ nên có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$.
d) **Đúng**. Đường thẳng $MA$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm $H(4;5;0)$ (ứng với $t=3$). Đường thẳng $MB$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm $K\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};0\right)$. Để tấm bìa hình tròn tâm $O$ che khuất hoàn toàn đoạn $AB$ thì hình chiếu $HK$ phải nằm trong hình tròn, suy ra $R\ge \max \{OH,OK\}=OH=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.

Đường thẳng ở đáp án C có VTCP $\vec{u}=(-1;3;1)$ thỏa mãn $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_P=2(-1)+1(3)-1(1)=0$ và đi qua điểm $M(-1;2;0)\notin (P)$. Chọn C.

Với phương trình chính tắc của $(d)$ theo tham số $t$: $N(1+t;2t;-2+t)\in (d)$ và $M(0;0;m)\in Oz$.
Vì $\overrightarrow{MN}=(1+t;2t;t-2-m)$ song song với $(P)$ nên $3(1+t)-2t+(t-2-m)=0\iff m=2t+1$.
Khi đó $M{N}^2=(t+1{)}^2+4t^2+(t+3{)}^2=6t^2+8t+10=6{\left(t+\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{22}{3}\ge \frac{22}{3}\Rightarrow M{N}_{\min }=\sqrt{\frac{22}{3}}\approx 2,71$. Đáp án: 2,71.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(0;-1;0)$ nên $d\perp (P)$ tại giao điểm $H(2;2;2)$.
Vì $M\in (P)$ và $d(M,d)=MH=2$, nên $M$ thuộc đường tròn $(C_1)$ trong mặt phẳng $(P)$ có tâm $H(2;2;2)$, bán kính $R_1=2$.
Với $N(x;2;z)\in (P)$, hệ thức $NA=2NB\iff N{A}^2=4N{B}^2$:
$(x+2{)}^2+(-8{)}^2+(z-22{)}^2=4[(x-1{)}^2+2^2+(z-16{)}^2]\iff (x-2{)}^2+(z-14{)}^2=36.$
Suy ra $N$ thuộc đường tròn $(C_2)$ trong mặt phẳng $(P)$ có tâm $K(2;2;14)$, bán kính $R_2=6$.
Ta có $HK=|14-2|=12>R_1+R_2=8$, nên khoảng cách nhỏ nhất giữa $M$ và $N$ là:
$M{N}_{\min }=HK-R_1-R_2=12-2-6=4.$ Đáp số: 4.

Điểm $M\in d\Rightarrow M(t;2t-1;3t-2)$. Vì $M$ có hoành độ âm nên $t<0$.
Ta có $d(M,(P))=\frac{|t+2(2t-1)-2(3t-2)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-t+5|}{3}=2\iff |-t+5|=6\iff t=-1$ (nhận) hoặc $t=11$ (loại).
Với $t=-1$, tung độ của điểm $M$ là $y_M=2(-1)-1=-3$. Chọn C.

Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(1;-2;-1)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(5;11;-2)$. Ta có $\sin \alpha =\frac{|1\cdot 5+(-2)\cdot 11+(-1)\cdot (-2)|}{\sqrt{6}\sqrt{150}}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}⟹\alpha =30^{\circ }$.

Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(1;-2;1)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(5;11;2)$. Ta có $\sin \alpha =\frac{|1\cdot 5+(-2)\cdot 11+1\cdot 2|}{\sqrt{6}\sqrt{150}}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}⟹\alpha =30^{\circ }$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần III, câu 18) có đáp số là $1004$.

Vì $C\in d$ nên tọa độ của $C$ có dạng $C(1+2t;-1-t;4+t)$.
Do $C$ là trung điểm của $AB$ nên $B=2C-A$, suy ra:
$x_B=2(1+2t)-1=1+4t,$
$y_B=2(-1-t)-2=-4-2t,$
$z_B=2(4+t)-(-1)=9+2t.$
Vì $B\in (P)$ nên thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$(1+4t)+3(-4-2t)-2(9+2t)+3029=0$
$⟺1+4t-12-6t-18-4t+3029=0$
$⟺-6t+3000=0⟺t=500.$
Với $t=500$, tọa độ điểm $C$ là:
$a=1+2(500)=1001,$
$b=-1-500=-501,$
$c=4+500=504.$
Vậy $a+b+c=1001+(-501)+504=1004$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án B.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;3)$. Điểm $M\in AB\cap (Oxy)$ có $z_M=0⟹\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}⟹M(-1;3;0)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 11 (Phần 1) chọn đáp án B.

Gọi $B(-1+2t;1+t;2+3t)=\Delta \cap d$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(2t-2;t;3t+4)\perp {\vec{n}}_P=(1;-1;-1)⟺(2t-2)-t-(3t+4)=0⟺t=-3$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=(-8;-3;-5)=-(8;3;5)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 4 (Phần 2, câu 16): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Sai: mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{k}=(0;0;1)$. b) Đúng: $\overrightarrow{AB}=(10;5;3)$. c) Sai: $\sin \phi =\frac{3}{\sqrt{10^2+5^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{134}}$. d) Đúng: $\phi =\arcsin \left(\frac{3}{\sqrt{134}}\right)\approx 15^{\circ }$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 5), Câu 4 (Phần 1) chọn đáp án B.

Đường thẳng $\Delta \perp (P)$ nên nhận ${\vec{n}}_P=(3;-1;2)$ làm vectơ chỉ phương; mặt khác $\Delta$ đi qua $M(1;-2;1)$ nên có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2}$.