Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Đường thẳng $d_1$ đi qua $M_1(2;1;-1)$, VTCP ${\vec{u}}_1=(6;-1;2)$; $d_2$ đi qua $M_2(1;-1;-1)$, VTCP ${\vec{u}}_2=(3;1;4)$. Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(-6;-18;9)=-3(2;6;-3)$ và đi qua $M_2(1;-1;-1)$, nên $(P):2x+6y-3z+1=0$. Khoảng cách $d(d_1,(P))=d(M_1,(P))=\frac{|2\cdot 2+6\cdot 1-3(-1)+1|}{\sqrt{2^2+6^2+(-3{)}^2}}=\frac{14}{7}=2$. Chọn C.

Gọi $A=d_1\cap (P)$: tham số hóa $A(2a;1-a;-2+a)\in (P)\Rightarrow 2(1-a)-3(-2+a)-3=0\iff a=1\Rightarrow A(2;0;-1)$. Gọi $B=d_2\cap (P)$: $B(-1+2t;1+t;1)\in (P)\Rightarrow 2(1+t)-3(1)-3=0\iff t=2\Rightarrow B(3;3;1)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;0;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(1;3;2)$ nên có phương trình $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{2}$. Chọn A.

Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(1;-1;1)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;-1)$.
Đường thẳng $d_2$ có một vectơ chỉ phương $\vec{v}=(-1;2;1)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ và song song $d_2$ có một vectơ pháp tuyến là $[\vec{u},\vec{v}]=(4;0;4)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $4(x-1)+0+4(z-1)=0\iff x+z-2=0$.
Vậy mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $Q(3;1;-1)$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 152 (trang 8): Chọn B. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;-2;1)$ và nhận véctơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;4)$ của $(P)$ làm véctơ chỉ phương nên có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-1}{4}$.

Đường thẳng đi qua $A(-1;4;2)$ và nhận véc tơ pháp tuyến $\vec{n}(3;-4;2)$ của $(P)$ làm véc tơ chỉ phương có phương trình $\frac{x+1}{3}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-2}{2}$.

a) Đúng: Thay tọa độ $A(2;3;-1)$ vào $d$ không thỏa mãn.
b) Sai: Mặt phẳng $(P)$ qua $A(2;3;-1)$ có VTPT ${\vec{u}}_d=(2;1;3)$ là $2(x-2)+(y-3)+3(z+1)=0\iff 2x+y+3z-4=0$.
c) Đúng: Thay $x=1+2t,y=-2+t,z=3+3t$ vào $2x+y+3z-4=0$ được $14t+5=0\iff t=-\frac{5}{14}\Rightarrow K\left(\frac{2}{7};-\frac{33}{14};\frac{27}{14}\right)$.
d) Đúng: Mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $AK$ có VTPT cùng phương với $\overrightarrow{KA}=\frac{1}{14}(24;75;-41)$, đi qua $M(1;-2;3)\in d$, có phương trình $24x+75y-41z+249=0$.

Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;-3)$ có VTCP ${\vec{n}}_Q=(3;4;-4)$ cắt $(P)$ tại $B(-2;-2;1)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P)$ là $H(-3;-2;-1)$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ và $M\in (P)$ nên $MB\le HB=\sqrt{(-2+3{)}^2+(-2+2{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{5}$. Chọn A.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(-3;0;1)$ và nằm trong mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ song song với $(P)$. Khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ nhỏ nhất khi $\Delta$ đi qua hình chiếu vuông góc $H$ của $B$ lên $(Q)$. Khi đó $\overrightarrow{AH}$ cùng phương với $(26;11;-2)$, nên phương trình $\Delta$ là $\frac{x+3}{26}=\frac{y}{11}=\frac{z-1}{-2}$.

Đường thẳng $\Delta \perp (P)$ nên nhận ${\vec{n}}_{(P)}=(2;2;-1)$ làm một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua $A(1;2;-1)$ là $\{\begin{array}{l}x=1+2u\\ y=2+2u\\ z=-1-u\end{array}$. Thay $u=t+1$ ta được điểm $(3;4;-2)$ thuộc đường thẳng và phương trình $\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=4+2t\\ z=-2-t\end{array}$.

Đường thẳng đi qua $A(1;-1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ nên nhận ${\vec{n}}_{\alpha }=(-2;1;1)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng là $\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-1+t\\ z=1+t\end{array}$. Chọn A.

Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $(P)$ có phương trình $x=1+2t,y=-2+2t,z=4-t$. Thay vào $(P)$: $2(1+2t)+2(-2+2t)-(4-t)-3=0\iff 9t-9=0\iff t=1$. Suy ra hình chiếu là $(3;0;3)$. (Nguồn: đề trang 5, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Chọn D
Trục $Ox$ có vectơ chỉ phương $\vec{i}=(1;0;0)$ và đi qua $O(0;0;0)$.
$\overrightarrow{OA}=(1;-1;3)$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ chứa $Ox$ và $A$ là $\vec{n}=[\vec{i},\overrightarrow{OA}]=(0;-3;-1)=-(0;3;1)$.
Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(P)$ nhận $\vec{u}=(0;3;1)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng: $\{\begin{array}{rl}x& =1\\ y& =-1+3t\\ z& =3+t\end{array}$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 333; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn đáp án A
Gọi $d$ là đường thẳng qua $A(1;3;4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz)$.
Gọi $H=d\cap (Oyz)\Rightarrow H(0;3;4)$ và $AH=1$.
Tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có $\widehat{AMH}=45^{\circ }\Rightarrow MH=AH\cdot \cot 45^{\circ }=1$.
Do đó điểm $M$ chạy trên đường tròn tâm $H(0;3;4)$, bán kính $R=1$ trong mặt phẳng $(Oyz)$.
Ta có $OM$ nhỏ nhất khi $O,H,M$ thẳng hàng và $M$ nằm giữa $O$ và $H$.
Khi đó $\overrightarrow{OM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OH}=\left(0;\frac{12}{5};\frac{16}{5}\right)\Rightarrow M\left(0;\frac{12}{5};\frac{16}{5}\right)$.
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=\overrightarrow{MA}=\left(1;\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$.
Suy ra $a=\frac{3}{5},b=\frac{4}{5}\Rightarrow a^2+b^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$.

Chọn C
Gọi $A=d\cap \Delta =\Delta \cap (P)$.
Điểm $A(1+t;2+t;-t)\in \Delta$ thay vào phương trình $(P)$:
$(1+t)+2(2+t)+2(-t)-6=0\iff t-1=0\iff t=1\Rightarrow A(2;3;-1)$.
Đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$ và vuông góc với $\Delta$ nên nhận vectơ chỉ phương:
${\vec{u}}_d=[{\vec{u}}_{\Delta },{\vec{n}}_P]=(1(2)-(-1)2;(-1)1-1(2);1(2)-1(1))=(4;-3;1)$.
Do đó phương trình của $d$ là: $\{\begin{array}{rl}x& =2+4t\\ y& =3-3t\\ z& =-1+t\end{array}$.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn C.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;-1;2)$ và vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=(-1;1;-2)=-{\vec{n}}_P$, suy ra $d\perp (P)$. Chọn C.

Chọn D

Ta có Ox $\subset$ ( Oxy ) , nên góc giữa trục Ox và mặt phẳng ( Oxy ) bằng 00 .



Chọn B

23
 
Gọi ( Q ) là mặt phẳng đi qua A ( 0; 2;1) và song song với ( P ) $\Rightarrow$ nQ = nP = ( 2; -1;0 ) .
Phương trình mặt phẳng ( Q ) : 2 x - y + 2 = 0 .
Vì đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng với mặt phẳng ( P ) nên d $\subset$ ( Q ) .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên đường thẳng d và mặt phẳng ( Q ) .
Khi đó d ( B; ( d ) ) = BH \ge BK . Suy ra d ( B; d )min = BK $\iff$ H  K .
 
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng ( Q ) $\Rightarrow$ u$\Delta$ = n p = ( 2; -1;0 ) .
x = 1 + 2t

Phương trình tham số $\Delta$ : y = 2 - t . Lấy H (1 + 2t ; 2 - t ;3) $\in$ $\Delta$ .
z = 3

2
Vì H $\in$ ( Q ) nên 2 (1 + 2t ) - 2 + t + 2 = 0 $\iff$ t = - .
5
 1 12   1 2  1
Suy ra H  ; ;3  . Khi đó AH =  ; ; 2  = (1; 2;10 ) .
5 5  5 5  5

Suy ra một vectơ chỉ phương của d là ud = (1; 2;10 ) $\Rightarrow$ a = 2, b = 10 .
Vậy a + 2b = 2 + 2.10 = 22 .