Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;1)$. Ta có $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_P=2(2m+1)-(5m-1)-(m+1)=-2m+2=0\iff m=1$. Khi $m=1$, mặt phẳng $(P):3x-4y-2z-5=0$ chứa điểm $M(-1;-2;0)\in \Delta$ (vì $3(-1)-4(-2)-0-5=0$), tức $\Delta \subset (P)$. Vậy không tồn tại $m$ để $\Delta \parallel (P)$.

Điểm $A(3;1;-1)\in d\cap (P)$ vì $3-(-1)-4=0$. Mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_Q=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]=[(3;1;-1),(1;0;-1)]=(-1;2;-1)$, suy ra vectơ chỉ phương của hình chiếu là $[{\vec{n}}_Q,{\vec{n}}_P]=[(-1;2;-1),(1;0;-1)]=(-2;-2;-2)=-2(1;1;1)$. Đường thẳng đi qua $A(3;1;-1)$ (và đi qua $(1;-1;-3)$ ứng với $t=-2$) có phương trình tham số ở phương án B.

Chọn A

Chọn D

Vì góc giữa $AB$ và $d\subset (\alpha )$ bằng góc giữa $AB$ và $(\alpha )$ nên $d$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $AB$ lên mặt phẳng $(\alpha )$. Ta có $B(1;1;2)\in (\alpha )$ và $\overrightarrow{BA}=(1;-1;-1)$, nên khoảng cách từ $A$ đến $d$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(\alpha )$: $d(A,d)=d(A,(\alpha ))=\frac{|2+0-2+2|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Đường thẳng $d$ đi qua $A(2;-1;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ nhận $\vec{n}=(1;-1;-4)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $d:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-t\\ z=-4t\end{array}$.

Gọi $H=d\cap (Q)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(Q)$. Thay vào phương trình $(Q)$:
$(2+t)-(-1-t)-4(-4t)+15=0\iff 18t+18=0\iff t=-1\Rightarrow H(1;0;4).$

Gọi $B=\Delta \cap d\Rightarrow B(2+t;-1+3t;3+2t)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(t-2;3t-3;2t-1)$.

Vì $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_P}=0\iff 1(t-2)-2(3t-3)+2(2t-1)=0\iff -t+2=0\iff t=2\Rightarrow B(4;5;7)$.

Thay tọa độ $A(4;2;4)$ và $B(4;5;7)$ vào mặt phẳng $2x+3y-3z-2=0$ đều thỏa mãn. Vậy $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $2x+3y-3z-2=0$.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Vì $d\perp (P)$ nên véc-tơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(4;0;-1)$ của $(P)$ cũng là một véc-tơ chỉ phương của $d$. Chọn C.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;3)$ trên đường thẳng $d$. Tham số hóa $H(-1-2t;t;1+t)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(-2-2t;t-2;t-2)$. Vì $\overrightarrow{AH}\perp {\vec{u}}_d(-2;1;1)$ nên $-2(-2-2t)+(t-2)+(t-2)=0\iff 6t=0\iff t=0$. Khi đó $\overrightarrow{AH}=(-2;-2;-2)=-2(1;1;1)$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), đáp án được chọn là D: $(1;-1;1)$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Gọi $B(3+t;3+3t;2t)\in d$ là giao điểm của $\Delta$ và $d$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(t+2;3t+1;2t+1)$. Vì $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_P=0\iff (t+2)+(3t+1)-(2t+1)=0\iff 2t+2=0\iff t=-1$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-1)$, nên phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$. Chọn D.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $I$ là trung điểm của $BC$. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $d(M,BC)=\frac{1}{2}d(A,BC)$. Do đó $d(M,BC)$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $d(A,BC)$ đạt giá trị lớn nhất. Vì $G\in d\Rightarrow G(2a-1;a+2;-a-2)$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}\Rightarrow I\left(3a-1;\frac{3}{2}a+2;-\frac{3}{2}a-4\right)$. Điểm $I\in (P)$ nên $2(3a-1)+\left(\frac{3}{2}a+2\right)+\left(-\frac{3}{2}a-4\right)-8=0\iff 6a-12=0\iff a=2$. Do đó điểm $I(5;5;-7)$ là một điểm cố định thuộc $(P)$. Khi đó đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm cố định $I$. Ta có $d(A,BC)\le AI$, dấu '=' xảy ra khi $AI\perp BC$. Lại có $BC\subset (P)$ nên đường thẳng $BC$ nhận ${\vec{u}}_{BC}=[\overrightarrow{AI},{\vec{n}}_P]$ làm vectơ chỉ phương. Ta có $A(-1;2;2),I(5;5;-7)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=(6;3;-9)=3(2;1;-3)$, và ${\vec{n}}_P=(2;1;1)$. Do đó $[\overrightarrow{AI},{\vec{n}}_P]=3(1\cdot 1-(-3)\cdot 1;(-3)\cdot 2-2\cdot 1;2\cdot 1-1\cdot 2)=3(4;-8;0)=12(1;-2;0)$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là ${\vec{u}}_3=(1;-2;0)$. Chọn B.

Mặt phẳng $(\alpha )$ có VTPT $\vec{n}=(1;2;-1)$. Đường thẳng vuông góc với $(\alpha )$ phải có VTCP cùng phương với $\vec{n}$. Đường thẳng $d_4$ có VTCP ${\vec{u}}_4=(-2;-4;2)=-2(1;2;-1)=-2\vec{n}$. Do đó $d_4\perp (\alpha )$. Vậy chọn B.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 19, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$. Cho $3+t=0⟺t=-3$, suy ra $M(7;-3;0)$. Chọn đáp án B.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8, mã đề 194; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)