Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Đường thẳng ( d ) có véctơ chỉ phương u = ( -1;1;1) , mặt phẳng ( $\Delta$ ) có véctơ pháp tuyến
n = (1; 2; -2 ) , khi đó:

u.n ( -1) .1 + 1.2 + 1. ( -2 )
sin ( ( d ) , ( $\Delta$ ) ) = sin  =
3
=| cos(u, n) |= = .
( -1) + 12 + 12 . 12 + 22 + ( -2 ) 9
2 2
u.n

Vì M $\in$ $\Delta$ $\Rightarrow$ M (1 + 2t ; -1 + t;3 + 2t )
M $\in$ ( ) : 2 (1 + 2t ) - 1 + t + 3 ( 3 + 2t ) - 10 = 0 $\iff$ 11t = 0 $\iff$ t = 0
$\Rightarrow$ M (1; -1;3) $\Rightarrow$ 2a + b + c = 2 - 1 + 3 = 4 .

4 - x2

Xét phương trình 1 + t - 2 ( 2 - t ) - 1 - 2t - 1 = 0 $\iff$ t = 5 $\Rightarrow$ d $\cap$ ( P ) = M ( 6; -3; -11) .
d có véc tơ chỉ phương u = (1; -1; -2 ) .
 Mặt phẳng ( P ) có véc tơ pháp tuyến n = (1; -2;1) .

$\Delta$ $\subset$ ( P )

Do $\Rightarrow$ u, n = ( -5; -3; -1) là véc tơ chỉ phương của $\Delta$ .
$\Delta$ \perp d , $\Delta$ $\cap$ d = M

x - 6 y + 3 z + 11
Phương trình đường thẳng $\Delta$ : = = .
5 3 1
2 - 6 7 + 3 13 + 11 -4 10
Thay tọa độ điểm A(2; 7;13) vào phương trình của $\Delta$ ta có $\Delta$ : = = $\Rightarrow$ =
5 3 1 5 3
Vô lý. Do đó A $\notin$ $\Delta$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}=(5;-3;2)\Rightarrow \sin (AB,(Oxy))=\frac{2}{\sqrt{38}}\Rightarrow (AB,(Oxy))\approx 19^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-2;3)$ và VTPT của $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)\Rightarrow \sin (AB,(Oxy))=\frac{3}{\sqrt{22}}\Rightarrow (AB,(Oxy))\approx 40^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Chọn điểm $A(1;-1;2)\in \Delta$.
Vì $\Delta$ song song với $(P)$ nên $\mathrm{d}(\Delta ,(P))=\mathrm{d}(A,(P))=\frac{|1-2+4+3|}{\sqrt{1+4+4}}=2$.

Đường thẳng $d\perp (\alpha )$ nên nhận vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(\alpha )}=(1;-2;1)$ làm VTCP. Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=3+t\end{array}$. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(5;6;-3)$ và VTPT của $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Khi đó $\sin (AB,(Oxy))=\frac{|-3|}{\sqrt{25+36+9}}=\frac{3}{\sqrt{70}}\Rightarrow (AB,(Oxy))\approx 21^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(2;-2;1)$.
Đường thẳng $d$ có VTCP ${\vec{u}}_d=(1;2;-1)$.
Vì đường thẳng $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên VTCP của $\Delta$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P$ và ${\vec{u}}_d$.
Ta có tích có hướng:
$[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=((-2)(-1)-1(2);1(1)-2(-1);2(2)-(-2)(1))=(0;3;6)=3(0;1;2).$
Do đó $\Delta$ có một VTCP là $(0;1;2)$.
Vì $\vec{u}=(a;1;b)$ nên suy ra $a=0$ và $b=2$.
Vậy $S=a+b=0+2=2$.

Gọi $I(1+2t;t;-2-t)$ là hình chiếu vuông góc của $A(2;1;1)$ lên $d$. Ta có $\overrightarrow{AI}=(2t-1;t-1;-t-3)$.
Vì $\overrightarrow{AI}\perp {\vec{u}}_d=(2;1;-1)$ nên $2(2t-1)+(t-1)-(-t-3)=6t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow I(1;0;-2)$ và $\overrightarrow{IA}=(1;1;3)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và cách $A$ khoảng lớn nhất sẽ nhận $\overrightarrow{IA}=(1;1;3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua $I(1;0;-2)$, nên có phương trình:
$(x-1)+y+3(z+2)=0\iff x+y+3z+5=0$.

Ta có $\sin (d,(P))=\frac{|2\cdot 3+1\cdot (-1)|}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow (d,(P))=45^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Ta có $\sin (d,(P))=\frac{|5\cdot 3+1\cdot (-2)|}{\sqrt{26}\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow (d,(P))=45^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

a) Sai vì $\frac{1}{1}\ne \frac{-3}{-1}$. b) Đúng. c) Đúng vì $A(0;0;1)$ thuộc cả $d$ và $(P)$. d) Sai vì đường thẳng qua $M(1;-3;4)$ có VTCP $(1;2;-2)$ là $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-3+2t\\ z=4-2t\end{array}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Chọn D.

Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;-3;-1)$ và VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(3;-3;2)$.
Ta có $\vec{u}\cdot \vec{n}=1(3)+(-3)(-3)+(-1)(2)=3+9-2=10\ne 0$, do đó $d$ không song song và không nằm trong $(P)$.
Lại có $\vec{u}$ không cùng phương với $\vec{n}$, do đó $d$ cắt và không vuông góc với $(P)$.

Đường thẳng $\Delta \perp (\alpha )$ nên có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_{\alpha }=(2;-3;2)$.
Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;-2;3)$ là:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-3}{2}.$

Gọi $M=d\cap (P)\Rightarrow M(2t-1;t;t)\in d$. Mà $M\in (P)\Rightarrow (2t-1)+t+t-3=0\iff t=1\Rightarrow M(1;1;1)$.

Điểm $A(0;1;0)$ nằm trên trục $Oy$ nên $OA\perp (Oxz)$. Vậy góc giữa đường thẳng $OA$ và mặt phẳng $(Oxz)$ bằng $90^{\circ }$.

Gọi $N=\Delta \cap d\Rightarrow N(2t-1;t+1;3t+2)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;1;-2)$ và $N$ nên có véctơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }=\overrightarrow{AN}=(2t-2;t;3t+4)$.
Vì $\Delta \parallel (P)$ nên ${\vec{u}}_{\Delta }\cdot {\vec{n}}_P=0\iff (2t-2)-t-(3t+4)=0\iff -2t-6=0\iff t=-3\Rightarrow \overrightarrow{AN}=(-8;-3;-5)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{8}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{5}$.
Giao điểm $M(8s+1;3s+1;5s-2)$ của $\Delta$ với mặt phẳng $(Oxy)$ ($z=0$) ứng với $5s-2=0\iff s=\frac{2}{5}\Rightarrow M\left(\frac{21}{5};\frac{11}{5};0\right)$.
Vậy $x_0+y_0+z_0=\frac{21}{5}+\frac{11}{5}+0=\frac{32}{5}$.

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).