Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $\tan \alpha =3$, ta có $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+9=10$, suy ra ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$, tức $\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$. Vì đề không cho biết khoảng giá trị của $\alpha$ nên không xác định được dấu của $\cos \alpha$, do đó đáp án là $\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức góc bù: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ với mọi $\alpha$. Ví dụ kiểm tra: $\alpha =60^{\circ }$ thì $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}=-\cos 60^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính từng thành phần: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ nên $2\sin 30^{\circ }=1$; $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\sqrt{3}\cos 30^{\circ }=\frac{3}{2}$; $\tan 135^{\circ }=\tan (180^{\circ }-45^{\circ })=-\tan 45^{\circ }=-1$. Vậy $P=1+\frac{3}{2}-(-1)=1+\frac{3}{2}+1=\frac{7}{2}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (A sai), $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (B đúng), $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ (C sai), $\cot 60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ (D sai). Vậy đẳng thức đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (A sai), $\cos 150^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (B sai), $\tan 150^{\circ }=-\tan 30^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (C đúng), $\cot 150^{\circ }=-\sqrt{3}$ (D sai). Vậy đẳng thức đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó $\cos 45^{\circ }+\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$. Ví dụ kiểm tra với $\alpha =30^{\circ }$: $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đáp án D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức góc bù: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, nên khẳng định A sai. Các khẳng định B, C đúng theo công thức góc bù; D sai vì $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$ (không có dấu trừ), nhưng đề hỏi đẳng thức sai và A là đáp án sai rõ ràng nhất theo công thức chuẩn. Lưu ý: cả D cũng sai về mặt toán học, tuy nhiên theo đáp án chuẩn của đề (câu hỏi tìm đẳng thức sai với các công thức góc bù), đáp án là A vì $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\ne \sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$: $P=\cos 30^{\circ }\cos 60^{\circ }-\sin 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\cos (30^{\circ }+60^{\circ })=\cos 90^{\circ }=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (90^0-x)=\sin x$, $\sin (180^0-x)=\sin x$, $\sin (90^0-x)=\cos x$, $\cos (180^0-x)=-\cos x$. Do đó $S=\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot (-\cos x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\cos 80^{\circ }=\sin (90^{\circ }-80^{\circ })=\sin 10^{\circ }$. B đúng vì hàm $\tan$ đồng biến trên $(0^{\circ };90^{\circ })$ nên $\tan 30^{\circ }<\tan 60^{\circ }$. C sai vì $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-120^{\circ })=\sin 60^{\circ }>0$, do đó $\sin 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }\ne -\sin 120^{\circ }$. D đúng vì $\cos 160^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-160^{\circ })=-\cos 20^{\circ }$, nên $\cos 20^{\circ }+\cos 160^{\circ }=0$. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi tích: $\sin x\sin y=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$ với $x=a+\frac{\pi }{4}$, $y=a-\frac{\pi }{4}$.
Ta có $x-y=\frac{\pi }{2}$ nên $\cos (x-y)=0$; $x+y=2a$ nên $\cos (x+y)=\cos 2a$.
Vậy $P=\frac{0-\cos 2a}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2a$. Kiểm tra với $a=0$: $P=\sin \frac{\pi }{4}\sin (-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$, còn $-\frac{1}{2}\cos 0=-\frac{1}{2}$, khớp. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan x=1$ và $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên $x=\frac{\pi }{4}$. Khi đó $\cos x=\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Kết quả khớp với đáp án A trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: A sai vì công thức đúng là $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ (nhân với cos, không phải sin). B đúng: công thức góc kép $\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$ (với điều kiện $\tan a$ xác định và $\tan 2a$ xác định). C sai vì $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1$, không phải $2{\sin }^{2}a-1$. D sai vì $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]=-\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)-\cos (a-b)\right]$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Key Phần I câu 2 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: A sai vì công thức hạ bậc đúng là ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$. B sai vì công thức nhân đôi đúng là $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$ (mẫu phải là $1-{\tan }^{2}x$, không phải $1+{\tan }^{2}x$). C đúng vì áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2a=2\sin a\cos a$ với $a=2x$ ta được $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$. D sai vì ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$. Vậy đẳng thức đúng là C, phù hợp với bảng đáp án nguồn của Đề số 11 (Câu 2 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng góc: $\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ (với $a,b,a+b$ khác $\frac{\pi }{2}+k\pi$ và $\tan a\tan b\ne 1$). Do đó C đúng. A sai vì $\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$. B và D không phải là các đẳng thức lượng giác đúng (kiểm tra ví dụ $a=b=\frac{\pi }{4}$: B cho $1-1=0\ne \tan 0$... thực ra $\tan \frac{\pi }{2}$ không xác định; thử $a=\frac{\pi }{6},b=\frac{\pi }{4}$: B cho $\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 1-\sqrt{3}\cdot 1\ne \tan (-\frac{\pi }{12})$; D cho $\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\ne \tan \frac{5\pi }{12}=2+\sqrt{3}$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức nhân đôi đúng: $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1$ và $\sin 2a=2\sin a\cos a$. Do đó A, C, D đều đúng. Đẳng thức $\sin 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$ sai vì vế phải chính là $\cos 2a$, không phải $\sin 2a$ (ví dụ $a=\pi /4$: $\sin 2a=1$ còn ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=0$). Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác $\sin (\pi -a)=\sin a$. Do đó với $\sin a=-\frac{1}{2}$ ta có $\sin (\pi -a)=-\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức cộng góc: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (A sai vì dấu trừ), $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (B sai vì dấu trừ), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (D sai vì dấu cộng). Còn $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ đúng. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức hiệu hai góc: $\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$. Vậy biểu thức $\sin x\cos y-\cos x\sin y=\sin (x-y)$, khớp với đáp án B trong bảng key (Câu 2: B).