Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n$: nếu $q>1$ thì $q^n\to +\infty$; nếu $0<q<1$ thì $q^n\to 0$. - A: $\frac{2026}{2025}>1$ nên ${\left(\frac{2026}{2025}\right)}^n\to +\infty$, không phải $0$, do đó A sai. - B: $\frac{5}{3}>1$ nên ${\left(\frac{5}{3}\right)}^n\to +\infty$, đúng. - C: $\sqrt{3}>1$ nên ${\left(\sqrt{3}\right)}^n\to +\infty$, đúng. - D: $0<\frac{1}{3}<1$ nên ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$, đúng. Vậy mệnh đề sai là A, khớp đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n+1}{3-n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}-1}=\frac{3+0}{0-1}=-3$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $
\lim_{n\to+\infty}q^n$:n\acute{\hat{e}}u$q>1$th\grave{ı}$
\lim q^n=+\infty$;n\acute{\hat{e}}u$|q|<1$th\grave{ı}$
\lim q^n=0$.
- A: $
\dfrac{2026}{2025}>1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\dfrac{2026}{2025}
\right)^n=+\infty$, mệnh đề đúng.
- B: $
\sqrt{3}>1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\sqrt{3}
\right)^n=+\infty$, mệnh đề đúng.
- C: $
\left|
\dfrac{1}{3}
\right|<1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\dfrac{1}{3}
\right)^n=0$, mệnh đề đúng.
- D: $
\dfrac{5}{3}>1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\dfrac{5}{3}
\right)^n=+\infty$,kh\hat{o}ngphải$0$; mệnh đề D sai.
Khớp với đáp án nguồn: D (Mã đề 1101, Câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2n+1}{2-n}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{2+\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}-1}=\frac{2+0}{0-1}=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 3: C).

Đáp án: 7. Giải thích: Ta có: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2+6n-2025}{7n^2+4}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2\left(1+\frac{6}{n}-\frac{2025}{n^2}\right)}{n^2\left(7+\frac{4}{n^2}\right)}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{\left(1+\frac{6}{n}-\frac{2025}{n^2}\right)}{\left(7+\frac{4}{n^2}\right)}=\frac{1}{7}$. Vậy a=7

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(q{)}^n$ có giới hạn bằng 0 khi $|q|<1$. Xét các phương án: A có $q=\frac{3}{2}>1$ nên $(\frac{3}{2}{)}^n\to +\infty$; C có $q=\frac{5}{4}>1$ nên $(\frac{5}{4}{)}^n\to +\infty$; D có $\frac{\pi }{3}\approx 1.047>1$ nên $(\frac{\pi }{3}{)}^n\to +\infty$. Riêng phương án B: $\frac{1}{2^n}=(\frac{1}{2}{)}^n$ với $q=\frac{1}{2}\in (-1;1)$, do đó $\lim \frac{1}{2^n}=0$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$, ${\left(\frac{5}{4}\right)}^n$, ${\left(\frac{\pi }{3}\right)}^n$ có công bội $q>1$ nên tiến ra $+\infty$. Dãy $\frac{1}{2^n}$ có $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2^n}=0$ vì $|q|=\frac{1}{2}<1$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng vì dãy không đổi $(c)$ có giới hạn bằng $c$. C đúng vì $\lim \frac{1}{n}=0$. D đúng vì với $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$. B sai vì $\lim q^n=+\infty$ chỉ đúng khi $q>1$; khi $q<-1$ thì dãy $q^n$ không có giới hạn (luân phiên dấu, không xác định). Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{3}{4}}=\frac{2}{\frac{1}{4}}=8$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $a=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$ (vì $|q|<1$ nên tổng tồn tại): $$S=\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$$ Vậy $S=2$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $a=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$ (vì $|q|<1$ nên tổng tồn tại). Theo công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $$S=\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$$ Vậy $S=2$, tương ứng với phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-2n+1}{4n^3+11n^2-5n-13}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{4+\frac{11}{n}-\frac{5}{n^2}-\frac{13}{n^3}}=\frac{0+0+0}{4+0-0-0}=0$. Vậy giới hạn bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\lim q^n$ khi $n\to \infty$: giới hạn bằng 0 khi và chỉ khi $|q|<1$.
- A: $q=-3,02$, $|q|>1$ nên dãy $(-3,02{)}^n$ không có giới hạn (lớn dần về $\pm \infty$ tùy tính chẵn lẻ của $n$).
- B: $q=-\frac{1}{3}$, $|q|=\frac{1}{3}<1$ nên $\lim {\left(-\frac{1}{3}\right)}^n=0$.
- C: $q=\sqrt{2}>1$ nên $(\sqrt{2}{)}^n\to +\infty$.
- D: $q=\frac{4}{3}>1$ nên ${\left(\frac{4}{3}\right)}^n\to +\infty$.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án B bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất của giới hạn dãy số: ${\lim }_{n\to +\infty }(u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n=-4+12=8$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì $1^n=1$ với mọi $n$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{1}^n=1\ne 0$. B sai vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0\ne 1$. C sai vì khi $q>1$ thì $q^n\to +\infty$, không tiến về 0. D đúng theo lý thuyết giới hạn dãy số: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ khi $|q|<1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 7115, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2+n+1}{3n^2-2n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{1+0+0}{3-0}=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^4$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^3-7n-4}{3n^4+4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2}{n}-\frac{7}{n^3}-\frac{4}{n^4}}{3+\frac{4}{n^4}}=\frac{0}{3}=0$. Bậc tử (4) lớn hơn bậc tử số (3) nên giới hạn bằng 0. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 316: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim (u_n+3)=0$ nên $\lim u_n+3=0$, suy ra $\lim u_n=-3$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (MD 1112, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim (u_n-2)=0$ nên $\lim u_n=\lim \left[(u_n-2)+2\right]=0+2=2$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (MD 1111, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $I=\lim \frac{7/n-2+1/n^3}{3+2/n+1/n^3}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 1: B).