Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) f(1)=1-6+5=0 nên Đúng. b) f(2)=-3, g(2)=6, 2f(2)-g(2)=-6-6=-12≠12 nên Sai. c) Tại x=5: f(5)=0, g(5)=0 (dạng 0/0); f(x)=(x-1)(x-5), g(x)=2(5-x) nên f/g=-(x-1)/2 → lim=-2≠3, Sai. d) [f(x)]²/g(x)=-(x-1)²(x-5)/2 → lim=0, Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x) liên tục, f(1)=1-6+5=0 nên lim=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(2)=-3, g(2)=6, 2f(2)-g(2)=-12≠12.
c) (AI giải đề cho tôi)
f/g=-(x-1)/2 khi x→5, giới hạn bằng -2≠3.
d) (AI giải đề cho tôi)
[f(x)]²/g(x)=-(x-1)²(x-5)/2 → 0 khi x→5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ${\lim }_{x\to a}f(x)=F$, ${\lim }_{x\to a}g(x)=G$ (cả hai hữu hạn). Theo đề: $2F-3G=3$ và $F+G=4$. Từ phương trình thứ hai $F=4-G$, thay vào: $2(4-G)-3G=3\Rightarrow 8-5G=3\Rightarrow G=1$, suy ra $F=3$. Vậy $L={\lim }_{x\to a}\left(f(x)g(x)\right)=F\cdot G=3\cdot 1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $T(x)=50000+5x$. Chi phí trung bình: $M(x)=\frac{50000+5x}{x}=\frac{50000}{x}+5$. Khi $x\to +\infty$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }M(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{50000}{x}+5\right)=5$. Vậy chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm khi $x$ đủ lớn là 5 USD.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 10^{-}$ thì $x-10\to 0^{-}$ (âm) và $x+3\to 13>0$. Do đó $\underset{x\to 10^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x-10}=-\infty$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 5^{-}$ thì $g(x)\to 2025>0$ và $x-5\to 0^{-}$ (giá trị âm, tiến về 0). Tử số dương, mẫu số âm có độ lớn tiến về 0 nên thương $\frac{g(x)}{x-5}$ tiến về $-\infty$. Vậy $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{g(x)}{x-5}=-\infty$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{2x^2+x+1}=|x|\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\to -x\sqrt{2}$. Do đó $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2x^2+x+1}+5x}{3x+2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+5x}{x\left(3+\frac{2}{x}\right)}=\frac{-\sqrt{2}+5}{3}=\frac{5-\sqrt{2}}{3}.$$ Suy ra $a\sqrt{2}+b=5-\sqrt{2}$, tức $a=-1$, $b=5$, vậy $a+b=-1+5=4$. (Lưu ý: đề nói $a,b$ nguyên dương nhưng hệ số của $\sqrt{2}$ thực tế là $-1$; theo kết quả giới hạn thì $a+b=4$.) Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia tử và mẫu cho $11^n$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(3/11{)}^n+4}{11-3/11^n}=\frac{0+4}{11-0}=\frac{4}{11}$.

b) Tại $x=7$ cả tử và mẫu bằng 0 nên phân tích nhân tử: $49-x^2=(7-x)(7+x)$ và $4x^2-31x+21=(x-7)(4x-3)$. Do đó $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{(7-x)(7+x)}{(x-7)(4x-3)}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{-(7+x)}{4x-3}=\frac{-14}{25}$.

c) Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{5x^2+4}=|x|\sqrt{5+4/x^2}=-x\sqrt{5+4/x^2}$ và $\sqrt{x^2+x}=|x|\sqrt{1+1/x}=-x\sqrt{1+1/x}$. Chia tử và mẫu cho $x$ (lấy $-x$ ra khỏi căn):
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3+\sqrt{5+4/x^2}}{-\sqrt{1+1/x}}=\frac{3+\sqrt{5}}{-1}=-(3+\sqrt{5}).$$

Vậy: a) $\frac{4}{11}$; b) $-\frac{14}{25}$; c) $-(3+\sqrt{5})$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=2025>0$ nên với $x$ gần đủ sát bên phải $3$, ta có $2f(x)>0$. Khi đó $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2f(x)}{x-3}=\frac{2\cdot 2025}{0^{+}}=+\infty$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: i) Khi $x\to -2$ thì $x<-1$ nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$ → mệnh đề SAI. ii) Khi $x\to -1^{-}$ thì $x<-1$ nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-1-2=-3$ → mệnh đề ĐÚNG. iii) Khi $x\to -1^{+}$ thì $x\ge -1$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → mệnh đề ĐÚNG. iv) Vì ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-3\ne \sqrt{2}={\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)$ nên hàm số KHÔNG tồn tại giới hạn khi $x\to -1$ → mệnh đề SAI. Vậy có 2 mệnh đề sai (i và iv), chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{\sqrt{4}}{2}=1\ne 2$; ${\lim }_{x\to -2}g(x)=\frac{-4}{-1}=4\ne -2$. b) Đúng: ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\lim \frac{x\sqrt{3+1/x^2}}{x+1}=\sqrt{3}$. c) Sai: khi $x\to -\infty$, $\sqrt{3x^2+1}=|x|\sqrt{3+1/x^2}\approx -x\sqrt{3}$, nên $\lim f(x)=-\sqrt{3}$, do đó $\lim [f(x)-g(x)]=-\sqrt{3}-2\ne \sqrt{3}-2$. d) Sai: $f(x)-g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2x}{x+1}$; tại $x=-1$ tử số bằng $2+2=4\ne 0$ nên giới hạn bằng $\infty$ (không tồn tại hữu hạn), không thể bằng $\frac{1}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{\sqrt{4}}{2}=1\ne 2$ và ${\lim }_{x\to -2}g(x)=\frac{-4}{-1}=4\ne -2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\sqrt{3}$ vì $\sqrt{3x^2+1}\approx x\sqrt{3}$ khi $x\to +\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{3x^2+1}=|x|\sqrt{3+1/x^2}\approx -x\sqrt{3}$ nên $\lim f(x)=-\sqrt{3}$, suy ra $\lim [f(x)-g(x)]=-\sqrt{3}-2\ne \sqrt{3}-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)-g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2x}{x+1}$; tại $x=-1$ tử số bằng $4\ne 0$ nên giới hạn vô cực, không bằng $\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+5x}-x\right)$. Nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2+5x}-x=\frac{(x^2+5x)-x^2}{\sqrt{x^2+5x}+x}=\frac{5x}{\sqrt{x^2+5x}+x}=\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+1}$$
Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{5}{x}\to 0$, nên giới hạn bằng $\frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}$.

b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2+9n}{n^3-2n-2025}$. Chia tử và mẫu cho $n^3$:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{5}{n}+\frac{9}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}-\frac{2025}{n^3}}=\frac{0+0}{1-0-0}=0.$$

Vậy a) $\frac{5}{2}$; b) $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) Chia tử và mẫu cho $n^2$:
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+5}{9n^2+n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{n^2}}{9+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{2}{9}.$$

b) Đặt $x=-t$ với $t\to +\infty$ (do $x\to -\infty$):
$$\sqrt{x^2+7x+5}+2x=\sqrt{t^2-7t+5}-2t=t\left(\sqrt{1-\frac{7}{t}+\frac{5}{t^2}}-2\right).$$
Khi $t\to +\infty$ thì $\sqrt{1-\frac{7}{t}+\frac{5}{t^2}}\to 1$, nên biểu thức trong ngoặc tiến về $1-2=-1$, do đó:
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+7x+5}+2x\right)=-\infty .$$

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{x^2+3x}=|x|\sqrt{1+3/x}=-x\sqrt{1+3/x}$ (vì $x<0$ nên $|x|=-x$). Do đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{1+3/x}}{2024x+1}=\frac{-1}{2024}$. Vậy $\underset{x\to -\infty }{\lim }[g(x)-1]=-\frac{1}{2024}-1=-\frac{2025}{2024}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x$: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{16x}{15+2x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{16}{\frac{15}{x}+2}=\frac{16}{2}=8$. Vậy đáp án D.

Từ đề bài, có: $\overline{C}(x)=\frac{100+30x}{x}=30+\frac{100}{x}$. Khi đó ta được:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(30+\frac{100}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }30+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{100}{x}=30.$$
Chọn đáp án B

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. $f(x)=2x^2-3x+1$ là hàm đa thức nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=2-3+1=0\ne -1$. b) Sai. $f(x)=(x-1)(2x-1)$ nên $\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-1}{x-1}$. Khi $x\to 1^{+}$ thì biểu thức $\to +\infty$, khi $x\to 1^{-}$ thì $\to -\infty$, nên giới hạn không tồn tại (không bằng $+\infty$). c) Đúng. Chia tử và mẫu cho $x^2$: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-2x}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}=2$. d) Đúng. Hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Đối chiếu bảng đáp án mã đề 112, Phần II Câu 1: S S Đ Đ — khớp với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=0\ne -1$, nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-1}{x-1}$; giới hạn trái $-\infty$, giới hạn phải $+\infty$, nên giới hạn không tồn tại, không bằng $+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^2$, giới hạn bằng $2/1=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục trên mọi $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $f(x)=2x^2-3x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. b) Sai: $f(x)=(2x-1)(x-1)$ nên $\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-1}{x-1}$; khi $x\to 1^{-}$, tử $\to 1>0$, mẫu $x-1\to 0^{-}$, do đó giới hạn bằng $-\infty$, không phải $+\infty$. c) Đúng: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-2x}=\frac{2}{1}=2$. d) Sai: $f$ liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=2-3+1=0\ne -1$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, S, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên liên tục trên R.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)/(x-1)^2=(2x-1)/(x-1) → -∞ khi x→1⁻ vì tử dương, mẫu âm nhỏ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số hai đa thức cùng bậc 2, giới hạn bằng 2/1=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
lim f(x) khi x→1 bằng f(1)=0, không phải -1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ với $t\ge 0$.
a) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=26$. Hơn nữa $f^{\prime }(t)=\frac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5{)}^2}=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ nên $f$ tăng dần và $f(t)<26$ với mọi $t\ge 0$. Vậy về lâu dài số dân không vượt quá 26 nghìn người → Đúng.
b) $\underset{t\to 5}{\lim }f(t)=f(5)=\frac{26\cdot 5+10}{10}=\frac{140}{10}=14\ne 20$ → Sai.
c) $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=f(0)=\frac{10}{5}=2\ne +\infty$ → Sai.
d) Ngày 1/7/2035 cách 1/7/2025 đúng 10 năm, tức $t=10$: $f(10)=\frac{260+10}{15}=\frac{270}{15}=18$ nghìn người → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=26$ và $f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ nên $f(t)<26$ với mọi $t\ge 0$: số dân về lâu dài không vượt quá 26 nghìn người.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 5}{\lim }f(t)=f(5)=\frac{140}{10}=14\ne 20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=f(0)=2\ne +\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$t=10$: $f(10)=\frac{270}{15}=18$ nghìn người.