Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{4x^2-8x+5}-2x=\frac{(4x^2-8x+5)-4x^2}{\sqrt{4x^2-8x+5}+2x}=\frac{-8x+5}{\sqrt{4x^2-8x+5}+2x}$. Chia tử và mẫu cho $x>0$: $\frac{-8+\frac{5}{x}}{\sqrt{4-\frac{8}{x}+\frac{5}{x^2}}+2}\to \frac{-8}{2+2}=-2$. Vậy ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{4x^2-8x+5}-2x+2025\right)=-2+2025=2023$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì giới hạn hữu hạn bằng 8 nên tử số phải triệt tiêu tại $x=3$: $9+3b+c=0$, tức $c=-9-3b$. Khi đó $x^2+bx+c=(x-3)(x+3+b)$, nên $\lim =3+3+b=6+b=8$, suy ra $b=2$, $c=-15$. Vậy $P=b+c=2-15=-13$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-16}{x-1}=24$ tồn tại (hữu hạn) nên $f(1)=16$ (nếu $f(1)\ne 16$ thì mẫu dương vô hạn nhỏ, giới hạn sẽ vô hạn, mâu thuẫn). Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\sqrt{2f(x)+4}+6\right)=\sqrt{2\cdot 16+4}+6=\sqrt{36}+6=12$. Khi đó $$I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-16}{(x-1)\left(\sqrt{2f(x)+4}+6\right)}=\frac{24}{12}=2.$$ Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tử và mẫu cùng triệt tiêu tại $x=1$ nên dùng đạo hàm: tử $f(x)=\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x+7{)}^{-2/3}-\frac{1}{2}(x+3{)}^{-1/2}$, $f^{\prime }(1)=\frac{1}{12}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{6}$. Mẫu $g(x)=x^2-3x+2$, $g^{\prime }(1)=-1$. Vậy giới hạn $=\frac{-1/6}{-1}=\frac{1}{6}$, tức $a=1,b=6$, nên $-106a+b=-106+6=-100$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)-4}{x-1}=2$ tồn tại (hữu hạn) mà mẫu số $x-1\to 0$, nên tử số phải tiến về 0, tức ${\lim }_{x\to 1}(f(x)-4)=0$, suy ra ${\lim }_{x\to 1}f(x)=4$.

b) Theo tính chất của giới hạn: ${\lim }_{x\to 1}3f(x)=3\cdot {\lim }_{x\to 1}f(x)=3\cdot 4=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Để giới hạn ${\lim }_{x\to 6}\frac{x^2+ax+b}{x-6}=-5$ tồn tại (mẫu số tiến tới 0), tử số phải triệt tiêu tại $x=6$: $36+6a+b=0$. Khi đó giới hạn bằng đạo hàm của tử tại $x=6$: $2\cdot 6+a=12+a=-5$, suy ra $a=-17$. Do đó $b=-36-6a=-36+102=66$. Kiểm tra: $x^2-17x+66=(x-6)(x-11)$, nên giới hạn bằng $6-11=-5$. Vậy $-2a-b=-2(-17)-66=34-66=-32$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 128:

a) Phân tích mẫu: $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ (vì $x=1$ là nghiệm kép) và $x^3-x^2-x+1=(x-1{)}^2(x+1)$. Do đó
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1{)}^2(x+2)}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{1+2}{1+1}=\frac{3}{2}.$$

b) Tại $x=-1$: tử $=-1-1-2+4=0$, mẫu $=1+3-4=0$ (dạng $\frac{0}{0}$). Phân tích: $x^3-x^2+2x+4=(x+1)(x^2-2x+4)$ và $x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$. Vậy
$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-2x+4}{x-4}=\frac{1+2+4}{-5}=-\frac{7}{5}.$$

c) Tại $x=-3$: tử $=81-54-27=0$, mẫu $=-27+27-3+3=0$ (dạng $\frac{0}{0}$). Phân tích: $x^4-6x^2-27=(x^2-9)(x^2+3)=(x-3)(x+3)(x^2+3)$ và $x^3+3x^2+x+3=(x+3)(x^2+1)$. Vậy
$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x-3)(x^2+3)}{x^2+1}=\frac{(-6)(12)}{10}=-\frac{36}{5}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{17x^2+12x+2025}\sim \sqrt{17}|x|=-\sqrt{17}x$. Để giới hạn tồn tại (bằng 0), cần $a=\sqrt{17}$. Khi đó:
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{17x^2+12x+2025}-\sqrt{17}x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{17x^2+12x+2025-17x^2}{\sqrt{17x^2+12x+2025}+\sqrt{17}|x|}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{12x+2025}{-2\sqrt{17}x}=\frac{12}{-2\sqrt{17}}=-\frac{6}{\sqrt{17}}.$$
Vậy $b=-\frac{6}{\sqrt{17}}$ và $a+b=\sqrt{17}-\frac{6}{\sqrt{17}}=\frac{11}{\sqrt{17}}\approx \frac{11}{4.1231}\approx 2.67$.

a) hàm số ${\lim }_{x\to 2}\left(3x^3-2x+1\right)=3.2^3-2.2+1=21\Rightarrow$ ĐÚNG

b) Hàm số xác định khi $2x-3\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{3}{2}\Rightarrow$ hàm số không liên tục tại $x_0=1\Rightarrow$ SAI

c) ${\lim }_{x\to 1}\left[3f(x)-2g(x)+2025\right]=3{\lim }_{x\to 1}f(x)-2{\lim }_{x\to 1}g(x)+{\lim }_{x\to 1}2025=2009\Rightarrow$ ĐÚNG

d) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(\sqrt{2025x^2+bx+1}+ax\right)=-\frac{1}{90}\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left(\frac{2025x^2+bx+1-(ax{)}^2}{\sqrt{2025x^2+bx+1}-ax}\right)=-\frac{1}{90}$

$\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left[\frac{(2025-a^2)x^2+x\left(b+\frac{1}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{2025+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}+a\right)}\right]=-\frac{1}{90}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2025-a^2=0\\ \frac{b}{-(45+a)}=-\frac{1}{90}\end{array}(a\ne -45)\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=45\\ b=1\end{array}$

$\Rightarrow a+b=46\Rightarrow$ SAI
a) a) hàm số ${\lim }_{x\to 2}\left(3x^3-2x+1\right)=3.2^3-2.2+1=21\Rightarrow$ ĐÚNG
b) b) Hàm số xác định khi $2x-3\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{3}{2}\Rightarrow$ hàm số không liên tục tại $x_0=1\Rightarrow$ SAI
c) c) ${\lim }_{x\to 1}\left[3f(x)-2g(x)+2025\right]=3{\lim }_{x\to 1}f(x)-2{\lim }_{x\to 1}g(x)+{\lim }_{x\to 1}2025=2009\Rightarrow$ ĐÚNG
d) d) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(\sqrt{2025x^2+bx+1}+ax\right)=-\frac{1}{90}\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left(\frac{2025x^2+bx+1-(ax{)}^2}{\sqrt{2025x^2+bx+1}-ax}\right)=-\frac{1}{90}$

$\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left[\frac{(2025-a^2)x^2+x\left(b+\frac{1}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{2025+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}+a\right)}\right]=-\frac{1}{90}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2025-a^2=0\\ \frac{b}{-(45+a)}=-\frac{1}{90}\end{array}(a\ne -45)\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=45\\ b=1\end{array}$

$\Rightarrow a+b=46\Rightarrow$ SAI

(AI giải đề cho tôi)
Nhân hóa: $\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}-7}{x}=\frac{(\sqrt{x+9}-3)+(\sqrt{x+16}-4)}{x}=\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}+\frac{x}{x(\sqrt{x+16}+4)}=\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+16}+4}$. Vậy $a=b=c=d=1$, tổng $a+b+c+d=4$. Kiểm tra: giới hạn bằng $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$, đúng bằng giá trị giới hạn gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$. Xét $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{|2-x|}{2x^2-5x+2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{|2-x|}{(2x-1)(x-2)}$.
- Với $x\to 2^{+}$ thì $x>2$ nên $|2-x|=x-2$, do đó $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{(2x-1)(x-2)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{2x-1}=\frac{1}{3}$.
- Với $x\to 2^{-}$ thì $x<2$ nên $|2-x|=2-x=-(x-2)$, do đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-(x-2)}{(2x-1)(x-2)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-1}{2x-1}=-\frac{1}{3}$.
Vì giới hạn trái $-\frac{1}{3}$ khác giới hạn phải $\frac{1}{3}$ nên giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{|2-x|}{2x^2-5x+2}$ không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Đặt $t=\sqrt{x+2}$, khi $x\to -2^{+}$ thì $t\to 0^{+}$ và $x+2=t^2$. Khi đó $2+x-\sqrt{x+2}=t^2-t=t(t-1)$, nên $\frac{2+x-\sqrt{x+2}}{x+2}=\frac{t(t-1)}{t^2}=\frac{t-1}{t}$. Do đó $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{t-1}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\left(1-\frac{1}{t}\right)=-1$. Vậy giới hạn bằng $-1$.

Câu b) Ta có $\sqrt{n^2+2n+5}=\sqrt{(n+1{)}^2+4}\ge n+1$ với mọi $n$. Suy ra $\sqrt{n^2+2n+5}+n-1\ge (n+1)+n-1=2n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$. Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n+5}+n-1\right)=+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\lim u_n=\lim (1+n-2n^2)=-\infty$ (bậc cao nhất $-2n^2$ trội), nên dãy không có giới hạn hữu hạn bằng 1 → Sai.
b) Với $x\to -2$ ($x\ne -2$): $\lim \frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{(-2{)}^2-(-2)-6}{-2-3}=\frac{0}{-5}=0$ → Đúng.
c) Với $x\to 3$ ($x\ne 3$): $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, nên $\lim \frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=\lim (x+2)=5$ → Đúng.
d) Hàm liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Liên tục tại $x=3$ yêu cầu $m^2+1={\lim }_{x\to 3}f(x)=5\Rightarrow m^2=4\Rightarrow m=\pm 2$: có 2 giá trị thực của $m$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\lim (1+n-2n^2)=-\infty$, không bằng 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{0}{-5}=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ nên giới hạn bằng $3+2=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=3$: $m^2+1=5\Rightarrow m=\pm 2$, đúng 2 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+ax+4}+x=\frac{ax+4}{\sqrt{x^2+ax+4}-x}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu số $\sqrt{x^2+ax+4}-x\approx |x|-x=-2x$, nên giới hạn bằng $\frac{a}{-2}=4\Rightarrow a=-8$. Vì $-12<-8<-6$ nên $a\in (-12;-6)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)=x+5\to -\infty$, nên khẳng định Đúng.
b) Với $a=1$: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2-5}+x\right)={\lim }_{x\to +\infty }\left(x\sqrt{1-\frac{5}{x^2}}+x\right)=+\infty \ne 0$, nên Sai.
c) Với $a=-1$: $\sqrt{x^2-5}-x=\frac{-5}{\sqrt{x^2-5}+x}\to 0$ khi $x\to +\infty$, không phải $+\infty$, nên Sai.
d) Liên tục tại $x=3$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 3^{-}}(x+5)=8$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to 3^{+}}(\sqrt{x^2-5}+ax)=\sqrt{4}+3a=2+3a$. Liên tục khi $2+3a=8⟺a=2$, nên Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 3$, $f(x)=x+5\to -\infty$ khi $x\to -\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1$, $\sqrt{x^2-5}+x\approx 2x\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, không bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-1$, $\sqrt{x^2-5}-x=\frac{-5}{\sqrt{x^2-5}+x}\to 0$, không phải $+\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái tại $x=3$ bằng 8, giới hạn phải bằng $2+3a$; liên tục khi $2+3a=8⟺a=2$.

a) Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{5}{x}}{1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}=\frac{0-0+0}{1+0-0}=0$.

b) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-2x-8}{\sqrt{3x+10}-2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x+2)(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{\left(\sqrt{3x+10}-2\right)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x+2)(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{3x+10-4}$

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x+2)(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{3(x+2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(\frac{(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{3}\right)=\frac{(-2-4)\left(\sqrt{-6+10}+2\right)}{3}=-8$.

a) Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{5}{x}}{1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}=\frac{0-0+0}{1+0-0}=0$.

b) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-2x-8}{\sqrt{3x+10}-2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x+2)(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{\left(\sqrt{3x+10}-2\right)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x+2)(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{3x+10-4}$

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x+2)(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{3(x+2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(\frac{(x-4)\left(\sqrt{3x+10}+2\right)}{3}\right)=\frac{(-2-4)\left(\sqrt{-6+10}+2\right)}{3}=-8$.

Ta có: ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)-1}{x-4}=1\Rightarrow {\lim }_{x\to 4}f(x)=x-3\Rightarrow {\lim }_{t\to 4}f(t)=t-3\Rightarrow {\lim }_{x\to 1}f\left(x^2+3\right)=x^2$. Vậy: ${\lim }_{x\to 1}\frac{f\left(x^2+3\right)+x^2-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x^2-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\left(2x+2\right)=4$.

TH1: Xét: $a^2-4=0$. Khi đó: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(-2x^2+2025x+2026\right)=-\infty$ nên $a\in \{2,-2\}$ thỏa mãn. TH2: Xét: $a^2-4\ne 0$. Khi đó: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\left(a^2-4\right)x^3-2x^2+2025x+2026\right)=-\infty \Rightarrow a^2-4<0\Rightarrow -2<a<2$. Với $a\in \mathbb{Z}$ suy ra $a\in \{-1,0,1\}$. Kết luận: Có 5 giá trị $a$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{\sqrt{7\cdot 4+1006}}{2-1}=\sqrt{1034}$. Vì $1034=2\cdot 11\cdot 47$ không phải số nguyên tố nên ý a) SAI.
b) Khi $x\to 1^{-}$ thì $x-1\to 0^{-}$ nên $g(x)=\frac{\sqrt{2026}}{x-1}\to -\infty$. Ý b) ĐÚNG.
c) $2f(x)+xg(x)=\frac{2\sqrt{7x^2+1006}+x\sqrt{2026}}{x-1}$. Chia tử và mẫu cho $x$ với $x\to +\infty$: tử $\to 2\sqrt{7}+\sqrt{2026}$, mẫu $\to 1$, nên giới hạn bằng $2\sqrt{7}+\sqrt{2026}$. Khi đó $a=2,b=2026$ nên $a+b=2028\ne 2024$. Ý c) SAI.
d) Với $x\to -\infty$: $f(x)+g(x)=\frac{\sqrt{7x^2+1006}+\sqrt{2026}}{x-1}$, chia tử và mẫu cho $x$ (chú ý $x<0$ nên $\frac{\sqrt{7x^2+1006}}{x}\to -\sqrt{7}$) được giới hạn bằng $-\sqrt{7}$. Với $x\to 1^{-}$: $\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{\sqrt{2026}}{\sqrt{7x^2+1006}}\to \frac{\sqrt{2026}}{\sqrt{1013}}=\sqrt{2}$. Tổng bằng $-\sqrt{7}+\sqrt{2}$, chọn $m=-1,n=0,p=1\in \mathbb{Z}$ và $m+n+p=0$. Ý d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2}f(x)=\sqrt{1034}$ với $1034=2\cdot 11\cdot 47$ không phải số nguyên tố.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x-1\to 0^{-}$ nên $g(x)\to -\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bằng $2\sqrt{7}+\sqrt{2026}$, khi đó $a+b=2+2026=2028\ne 2024$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai giới hạn bằng $-\sqrt{7}+\sqrt{2}$, với $m=-1,n=0,p=1$ thì $m+n+p=0$.