Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc nhị diện (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$; mà $AB\perp BC$ (hình chữ nhật) nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SB$ và $AB$ (hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến $BC$), tức là góc $\widehat{SBA}$. Trong tam giác vuông $SAB$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}/3}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, nên $\widehat{SBA}=30^{\circ }$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $30^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi mặt bàn là $(P)$. Bàn phím nghiêng một góc $30^{\circ }$ so với mặt bàn, màn hình vuông góc với mặt bàn. Góc nhị diện giữa màn hình và bàn phím được tính qua giao tuyến (bản lề máy). Vì màn hình vuông góc với $(P)$ còn bàn phím tạo với $(P)$ góc $30^{\circ }$, hai mặt phẳng này nằm cùng phía nên góc giữa chúng bằng $90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }$. Vậy $a=120$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1014, Phần III câu 1: 120).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Khi đó $SM\perp BC$ (vì tam giác $SBC$ cân tại $S$) và $AM\perp BC$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$). Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa $SM$ và $AM$, tức là $\widehat{SMA}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Lại có $AH\perp BD$ (H là hình chiếu của A lên BD). Suy ra $BD\perp (SAH)$, do đó $BD\perp SH$. Trong mặt phẳng $(SAH)$, ta có $AH\perp BD$ và $SH\perp BD$, đồng thời $SA\perp AH$ nên góc giữa mặt phẳng nhị diện $[S,BD,A]$ (cạnh BD) là góc giữa hai đường thẳng SH và AH, tức là $\widehat{SHA}$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 0004: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SCB)$ và $(ABCD)$ cắt nhau theo giao tuyến $BC$. Ta có $AB\perp BC$ (vì $ABCD$ là hình vuông) và $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SCB)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SB$ và $BA$, tức là $\widehat{SBA}$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tứ diện đều là $a$. Lấy $M$ là trung điểm $BC$, khi đó $AM\perp BC$, $DM\perp BC$ nên góc nhị diện $[A,BC,D]$ là $\widehat{AMD}=\alpha$. Trong tam giác đều $ABC$: $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; tương tự $DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tam giác $AMD$ cân tại $M$ với $AD=a$, áp dụng định lí cosin: $\cos \alpha =\frac{A{M}^2+D{M}^2-A{D}^2}{2\cdot AM\cdot DM}=\frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-a^2}{2\cdot \frac{3a^2}{4}}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{3a^2}{2}}=\frac{1}{3}$. Vậy $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhị diện $[S,CD,A]$ có cạnh $CD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; lại $AD\perp CD$ ($ABCD$ là hình chữ nhật). Do đó $CD\perp (SAD)$, suy ra $SD\perp CD$. Góc phẳng nhị diện là góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $\widehat{SDA}$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 0103, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Lại có $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD\perp CD$. Từ đó $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp SD$. Trong mặt phẳng $(SAD)$, $DA\perp CD$ và $DS\perp CD$, do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $DS$ và $DA$, tức $\widehat{SDA}$. Vậy góc phẳng nhị diện $[S,CD,A]$ là $\widehat{SDA}$, khớp với đáp án nguồn (đề 0101, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$. Góc phẳng nhị diện $[B,SA,C]$ có cạnh là đường thẳng $SA$, hai nửa mặt phẳng lần lượt chứa $AB$ và $AC$. Góc nhị diện bằng góc giữa $AB$ và $AC$ vuông góc chung với $SA$. Do $ABCD$ là hình vuông, $AB\perp AC$ (góc giữa cạnh và đường chéo... thực chất $\widehat{BAC}=45°$). Xét lại: cạnh nhị diện là $SA$, các đường vuông góc với $SA$ trong hai nửa mặt phẳng là $AB$ và $AC$, nên góc nhị diện $=\widehat{BAC}=45°$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhị diện $[B,SA,C]$ có cạnh $SA$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$. Góc phẳng nhị diện là góc $\widehat{BAC}$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Vậy đáp án C.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$ và $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $CD$. Khi đó $OI\perp CD$ và $OI=\frac{a}{2}$.
Do $SO\perp CD$ và $OI\perp CD⟹CD\perp (SOI)⟹SI\perp CD$.
Do đó góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy $(ABCD)$ là góc $\widehat{SIO}=\alpha$.
Xét $\Delta SOI$ vuông tại $O$:
$\tan \alpha =\frac{SO}{OI}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}⟹\alpha =60^{\circ }$. Chọn A.

Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điểm một cạnh đáy, ta có $OM=a$ và trung đoạn $SM=\sqrt{(3a{)}^2-a^2}=2a\sqrt{2}$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{OM}{SM}=\frac{a}{2a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và $M$ là trung điểm $AB$. Ta có $OA=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=a\sqrt{3}$ và $OM=\frac{AB}{2}=a$. Góc giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SMO}$ với $\tan \widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SMO}=60^{\circ }$. Chọn đáp án A.

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BC$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$ có $AB\perp BC$. Trong mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ có $A^{\prime }B\perp BC$ (vì $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$). Do đó góc giữa hai mặt phẳng chính là góc $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$ (vì hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông).

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Khi đó $OM\perp CD$, $SM\perp CD$ và $OM=\frac{BC}{2}=a$. Góc giữa mặt bên $(SCD)$ và mặt đáy $(ABCD)$ là $\widehat{SMO}$. Trong tam giác vuông $SOM$ tại $O$: $\tan \widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\frac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SMO}=60^{\circ }$.

Ta có $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$), suy ra $BC\perp (SAB)⟹BC\perp SB$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 32 chọn đáp án D.

Ta có $(SCD)\cap (ABCD)=CD$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$.
Mặt khác $SA\perp (ABCD)⟹SA\perp CD$.
Suy ra $CD\perp (SAD)⟹CD\perp SD$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SD$ và $AD$, tức góc $\widehat{SDA}$.
Tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$ ($SA=AD=a$) nên $\widehat{SDA}=45^{\circ }$.

Chọn đáp án D.

[IMAGE_1]

Ta có $(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)\cap (ABCD)=CD$, $BC\perp CD$ và $B^{\prime }C\perp CD$, suy ra $((A^{\prime }{B}^{\prime }CD),(ABCD))=(BC,B^{\prime }C)=\widehat{B^{\prime }CB}=45^{\circ }$.

**Chọn A**

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM\perp BC$ và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)$ nên $A^{\prime }M\perp BC$, suy ra góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{A^{\prime }MA}$.
Xét tam giác $A^{\prime }AM$ vuông tại $A$:
$\tan \widehat{A^{\prime }MA}=\frac{A^{\prime }A}{AM}=\frac{\frac{3a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{A^{\prime }MA}=60^{\circ }$.

Ta có $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)⟹BC\perp SB$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$. Trong tam giác vuông $SAB$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}⟹\widehat{SBA}=60^{\circ }$.