Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau, nên A và C sai. Mệnh đề B sai vì hai đường thẳng không song song, không cắt nhau còn có thể trùng nhau (trường hợp hai đường trùng nhau không phải chéo nhau). Mệnh đề D đúng vì đó chính là định nghĩa: hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Khớp với đáp án đề 201 câu 17 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Tương tự, trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel CD\parallel IJ$. Vậy $AB$, $DC$, $EF$ đều song song với $IJ$; chỉ có $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ chứa $IJ$ tại $A\notin IJ$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $DC\parallel IJ$ (loại A, C). Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, $EF\parallel CD\parallel IJ$ (loại D). Đường thẳng $AD$ không song song với $AB$ (vì $ABCD$ là hình bình hành, $AD\parallel BC$), nên $AD$ không song song với $IJ$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tứ diện $ABCD$ với $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng $AJ$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, đường thẳng $BI$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Mặt phẳng $(ABC)\cap (ABD)=AB$. Nếu $AJ$ và $BI$ cắt nhau thì điểm chung của chúng phải thuộc giao tuyến $AB$. Nhưng $AJ$ chỉ cắt đường thẳng $AB$ tại $A$, còn $BI$ chỉ cắt đường thẳng $AB$ tại $B$, mà $A\ne B$, nên $AJ$ và $BI$ không có điểm chung, tức không cắt nhau. Chúng cũng không song song vì nằm trong hai mặt phẳng phân biệt và không cùng phương với $AB$. Vậy $AJ$ và $BI$ chéo nhau. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}}{3}$; K là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $\vec{K}=\frac{\vec{S}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{GK}=\vec{K}-\vec{G}=\frac{\vec{C}-\vec{A}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $GK\parallel AC$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABD, M là trung điểm AB, N là trung điểm AD nên MN là đường trung bình: MN∥BD và MN=½BD (B đúng). Trong tam giác CBD, Q là trung điểm BC, P là trung điểm CD nên PQ∥BD và PQ=½BD. Do đó MN∥PQ và MN=PQ (A đúng), suy ra tứ giác MNPQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành (D đúng). Khi đó MP và NQ là hai đường chéo của hình bình hành MNPQ, chúng cắt nhau tại một điểm (không chéo nhau), nên phát biểu C là sai. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, xét tam giác $ABD$: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN//BD$ và $MN=½BD$ (đúng, ý C đúng). Tương tự trong tam giác $CBD$: $Q$ trung điểm $BC$, $P$ trung điểm $CD$ nên $QP//BD$ và $QP=½BD$. Suy ra $MN//PQ$ và $MN=PQ$, do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành (ý B, D đúng). Xét $MP$ và $NQ$: gọi $I$ là trung điểm $MP$, ta có $I$ cũng là trung điểm $NQ$ (các đoạn nối trung điểm hai cặp cạnh đối của tứ diện cùng đi qua một điểm và chia đôi nhau - điểm này là 'tâm' của tứ diện, có thể kiểm chứng bằng tọa độ: với $A,B,C,D$ tùy ý, trung điểm của $MP$ là $(A+B+C+D)/4$ và trung điểm của $NQ$ cũng là $(A+D+C+B)/4$). Vậy $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại $I$ chứ không chéo nhau. Do đó phát biểu A là phát biểu SAI, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong không gian: (1) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng — đúng, theo định nghĩa hai đường thẳng song song nằm cùng một mặt phẳng. (2) Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau — sai, vì chúng có thể chéo nhau. (3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung — đúng, theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau không nằm trong cùng một mặt phẳng nên không có điểm chung. (4) Hai đường thẳng cắt nhau thì không đồng phẳng — sai, vì hai đường thẳng cắt nhau luôn đồng phẳng (qua giao điểm và hai điểm phân biệt khác). Vậy có 2 mệnh đề đúng là (1) và (3), chọn đáp án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 6789, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (1) Hai đường thẳng cắt nhau có chung một điểm, qua hai đường thẳng cắt nhau luôn có đúng một mặt phẳng nên chúng đồng phẳng — Đúng. (2) Hai đường thẳng không song song trong không gian có thể cắt nhau hoặc chéo nhau, nên không chắc chéo nhau — Sai. (3) Hai đường thẳng chéo nhau không có điểm chung — Đúng. (4) Hai đường thẳng chéo nhau không nằm trong cùng một mặt phẳng (nếu đồng phẳng và không có điểm chung thì chúng song song, mâu thuẫn) — Đúng. Vậy có 3 mệnh đề đúng là (1), (3), (4), khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong không gian: (1) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng — đúng, vì qua hai đường thẳng phân biệt song song luôn có đúng một mặt phẳng chứa cả hai. (2) Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau — sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau (không song song và không có điểm chung), ví dụ $AD$ và $B{C}^{\prime }$ trong hình hộp. (3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung — đúng, theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó không có điểm chung. (4) Hai đường thẳng cắt nhau thì không đồng phẳng — sai, vì hai đường thẳng cắt nhau luôn đồng phẳng (qua giao điểm và hai điểm phân biệt khác xác định một mặt phẳng). Vậy có đúng 2 mệnh đề đúng là (1) và (3), chọn đáp án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 2345: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong không gian: (1) Hai đường thẳng cắt nhau có một điểm chung, qua hai đường thẳng cắt nhau luôn có duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai, nên chúng đồng phẳng — ĐÚNG. (2) Hai đường thẳng không song song có thể cắt nhau hoặc chéo nhau, nên mệnh đề 'không song song thì chéo nhau' — SAI. (3) Hai đường thẳng chéo nhau không nằm trong cùng một mặt phẳng nên không thể có điểm chung — ĐÚNG. (4) Hai đường thẳng chéo nhau không nằm trong cùng một mặt phẳng, tức không đồng phẳng — ĐÚNG. Vậy có 3 mệnh đề đúng là (1), (3), (4), chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 0123: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel DC\parallel IJ$. Vậy $DC$, $EF$, $AB$ đều song song với $IJ$. Còn $AD$ chỉ song song với $BC$ trong hình bình hành, không song song với $AB$ nên không song song với $IJ$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
N, Q là trung điểm OA, OB nên NQ là đường trung bình của tam giác OAB, suy ra $NQ\parallel AB$ (không song song với OB). Vậy khẳng định B sai. Kiểm tra các ý khác: SQ nằm trong (SOB), BN cắt mặt (SOB) tại B không thuộc SQ nên SQ và BN chéo nhau (A đúng). Với H, I là trọng tâm: $\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OB}}{3}-\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OA}}{3}=\frac{\overrightarrow{AB}}{3}$, nên $HI\parallel AB\parallel NQ$ (C đúng). SA nằm trong (SOA), OB cắt (SOA) tại O không thuộc SA nên SA và OB chéo nhau (D đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),E(0;0;1),F(1;0;1),G(1;1;1),H(0;1;1)$. Khi đó $M(0,5;0;0),N(0;0,5;0),P(0,5;1;0)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{BF}=(0;0;1)$, $\overrightarrow{HM}=(0,5;-1;-1)$ không cùng phương. $\overrightarrow{GP}=(-0,5;0;-1)$, $\overrightarrow{EN}=(0;0,5;-1)$ không cùng phương. $\overrightarrow{EB}=(1;0;-1)$, $\overrightarrow{GD}=(-1;0;-1)$ không cùng phương. $\overrightarrow{EM}=(0,5;0;-1)$ và $\overrightarrow{HP}=(0,5;0;-1)$ bằng nhau nên $EM\parallel HP$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
M là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB})$; N là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC})$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $MN\parallel BC$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Tương tự, trong tam giác $SCD$, $E$, $F$ là trung điểm $SC$, $SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel CD\parallel IJ$. Vậy các đường $AB$, $DC$, $EF$ đều song song với $IJ$. Còn $AD$ không song song với $AB$ (chúng cắt nhau tại $A$) nên $AD$ không song song với $IJ$. Đáp án: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không có điểm chung. Xét các mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt vẫn có thể cắt nhau hoặc song song (ví dụ hai đường thẳng cùng nằm trong giao tuyến... hoặc cắt nhau tại một điểm thuộc mặt phẳng thứ ba). B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song (đồng phẳng). D sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song trong cùng một mặt phẳng thì cắt nhau chứ không chéo nhau. C đúng: hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng nên không thể có điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, $AB\parallel CD$, và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại tâm $O$ của hình bình hành (nên C và D đúng). Xét $SB$ và $CD$: $CD\subset (ABCD)$, $B\in (ABCD)$ nhưng $B\notin CD$, còn $S\notin (ABCD)$, nên $SB$ và $CD$ chéo nhau (B đúng). Xét $AD$ và $SC$: $AD\subset (ABCD)$, $C\in (ABCD)$ nhưng $C\notin AD$, còn $S\notin (ABCD)$, nên $AD$ và $SC$ cũng chéo nhau chứ không cắt nhau. Vậy khẳng định A là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (E, F, G, H lần lượt dưới A, B, C, D):
- A đúng: $BF$ nằm trong mặt $(BFG)$ còn $AD$ nằm trong mặt $(ADH)$, không song song và không cắt nhau nên chéo nhau.
- B sai: $CG\parallel BF\parallel AE$ và $HE\parallel AD$; thực tế $CG\parallel EH$ (cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AD}$), hai đường thẳng này song song nên không thể cắt nhau. Mệnh đề 'CG cắt HE' sai.
- C đúng: $AB\parallel DC\parallel HG$ (tính chất hình hộp).
- D đúng: $BG$ và $HD$ không nằm cùng một mặt phẳng, không song song và không cắt nhau nên chéo nhau.
Vậy mệnh đề sai là B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 112, câu 2: B).