Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $5x+y-z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(5;1;-1)$. Hai mặt phẳng vuông góc khi $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$. Kiểm tra: A: $(3;-1;2)$ cho $15-1-2=12\ne 0$; B: $(2;-1;3)$ cho $10-1-3=6\ne 0$; C: $(1;-3;2)$ cho $5-3-2=0$; D: $(1;3;-1)$ cho $5+3+1=9\ne 0$. Vậy mặt phẳng $x-3y+2z-7=0$ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $x-y+2z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét đáp án C: $-2x+2y-4z-7=0$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_C=(-2;2;-4)=-2(1;-1;2)$, cùng phương với $\vec{n}$, và hai mặt phẳng không trùng nhau (vì $-7\ne -2\cdot (-1)$). Các đáp án A, B, D có pháp tuyến không cùng phương với $\vec{n}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z+3=0$ và $(\beta ):x+2y+2z-3=0$ song song với nhau (cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$). Chiều cao tối đa của căn phòng (và của chiếc tủ) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng này: $$d(\alpha ,\beta )=\frac{|3-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2\text{ (m)}.$$ Vậy chiều cao của chiếc tủ không được vượt quá $2$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)$ song song với $(P):6x+5y+z+2=0$ nên $(Q)$ có dạng $6x+5y+z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $M(1;1;1)$ nên $6(1)+5(1)+1+d=0\Rightarrow d=-12$. Vậy $(Q):6x+5y+z-12=0$, suy ra $a=6,b=5,c=1$ và $a+b+c=6+5+1=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):6x+8y+10z-4=0$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(6;8;10)$, cùng phương với $(3;4;5)$. Xét các phương án: A có ${\vec{n}}_A=(3;4;5)$ cùng phương với $\vec{n}$ và $\frac{-4}{2}=-2\ne -1$ nên A song song với $(P)$. Phương án C: $3x+4y+5z-2=0$ chính là $(P)$ sau khi chia hai vế cho 2, nên C trùng với $(P)$ chứ không song song. B và D có vecto pháp tuyến không cùng phương với $\vec{n}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_R}=(7;7;-1)$ và $\overrightarrow{n_{\beta }}=(14;14;-2)=2\overrightarrow{n_R}$, nên chúng song song hoặc trùng nhau. Thử điểm thuộc $(R)$, ví dụ $O$ không thuộc $(R)$ vì $-5\ne 0$; lấy điểm $M(0;0;-5)\in (R)$, thay vào $(\beta )$: $0+0+10-6=4\ne 0$, nên $M\notin (\beta )$. Vậy $(R)$ và $(\beta )$ song song, không trùng nhau. Đáp án D, khớp với bảng đáp án (Câu 17: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và $(Q):-4x+2y-4z+14=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(2;-1;2)$, ${\vec{n}}_Q=(-4;2;-4)=-2{\vec{n}}_P$, nên $(P)\parallel (Q)$. Chia phương trình $(Q)$ cho $-2$ được $2x-y+2z-7=0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: $d((P),(Q))=\frac{|-1-(-7)|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc với trục $Oz$ nên có dạng $z=c$. Mặt dưới đi qua $A(3;6;18)$ nên là $z=18$; mặt trên đi qua $D(6;9;22)$ nên là $z=22$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $|22-18|=4$ decimet. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 3 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-3y+2z-15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(2;-3;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.
- A: $\vec{n}=(6;9;-6)$, không cùng phương với $\overrightarrow{n_P}$ (tỉ số $6/2=3$ nhưng $9/(-3)=-3$) → không song song.
- B: $\vec{n}=(4;-6;4)=2\overrightarrow{n_P}$, cùng phương; nhưng $4x-6y+4z-30=0\iff 2x-3y+2z-15=0$, tức $(Q)$ trùng với $(P)$ → không song song.
- C: $\vec{n}=(1;2;-3)$, không cùng phương với $\overrightarrow{n_P}$ → không song song.
- D: $\vec{n}=(4;-6;4)=2\overrightarrow{n_P}$, cùng phương; và $4x-6y+4z+30=0\iff 2x-3y+2z+15=0\ne (P)$ → hai mặt phẳng song song.
Vậy đáp án đúng là D, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục $Oz$ nên chúng có dạng $z=h\grave{\stackrel{˘}{a}}ngs\acute{\hat{o}}$. Mặt dưới đi qua $A(3;6;18)$ nên là mặt phẳng $z=18$; mặt trên đi qua $D(6;9;20)$ nên là mặt phẳng $z=20$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $z=18$ và $z=20$ là $|20-18|=2$ (decimet). Vậy độ dày mái nhà là $2$ decimet, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-1;4)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;0;-2)$. Tính $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2+0-8|}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{8}}=\frac{6}{\sqrt{144}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng là $\theta =60^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Oy$ có pháp tuyến vuông góc với $\vec{j}=(0;1;0)$, nên có dạng $\vec{n}=(a;0;c)$, tức phương trình dạng $ax+cz=0$. Mặt phẳng $(\alpha ):x-z+5=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;0;-1)$. Điều kiện vuông góc: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=0\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c$. Chọn $a=c=1$ ta được $x+z=0$. Kiểm tra: mặt phẳng $x+z=0$ chứa trục $Oy$ (điểm $(0;y;0)$ thỏa mãn) và vuông góc với $(\alpha )$ vì tích vô hướng hai pháp tuyến $1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-1)=0$. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-z+2=0$ và $(Q):2x-y-z+4=0$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(2;-1;-1)$. Góc giữa hai mặt phẳng: $$\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{n_P}||\overrightarrow{n_Q}|}=\frac{|1\cdot 2+2\cdot (-1)+(-1)(-1)|}{\sqrt{1+4+1}\cdot \sqrt{4+1+1}}=\frac{|2-2+1|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{1}{6}.$$ Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0;1;0)$, mặt phẳng $(P):x-y+1=0$ có $\overrightarrow{n_2}=(1;-1;0)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0-1+0|}{1\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-z+2=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-1)$ và $(Q):2x-y-z+4=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(2;-1;-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng được tính bởi:
$$\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{n_P}||\overrightarrow{n_Q}|}=\frac{|1\cdot 2+2\cdot (-1)+(-1)(-1)|}{\sqrt{1+4+1}\cdot \sqrt{4+1+1}}=\frac{|2-2+1|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{1}{6}.$$

Vậy $\cos \alpha =\frac{1}{6}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ có VTPT $\overrightarrow{n_1}=(0;1;0)$, mặt phẳng $(P):x-y+1=0$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}=(1;-1;0)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0-1+0|}{1\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\alpha =45^0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song: (Q): 2x+2y-2z+3=0 chia 2 được x+y-z+3/2=0, cùng pháp tuyến với (P): x+y-z+5=0. Khoảng cách d = |5 - 3/2| / √(1²+1²+(-1)²) = (7/2)/√3 = 7/(2√3). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng (P): $2x-3y+z-1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-3;1)$ và (Q): $x+y+z+7=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;1;1)$. Ta có $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+(-3)\cdot 1+1\cdot 1=2-3+1=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $(P)\perp (Q)$. Hai mặt phẳng không song song vì các pháp tuyến không cùng phương, và không trùng nhau. Vậy kết luận đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song khi vecto pháp tuyến tỷ lệ nhưng hằng số không tỷ lệ. (P): $2x+2y-2z-3=0$ có $\overrightarrow{n_P}=(2;2;-2)$; (Q): $mx+y-z+1=0$ có $\overrightarrow{n_Q}=(m;1;-1)$. Điều kiện: $\frac{m}{2}=\frac{1}{2}=\frac{-1}{-2}\ne \frac{1}{-3}$. Từ đó $m=1$, và vì $\frac{1}{-3}\ne \frac{1}{2}$ nên hai mặt phẳng thực sự song song (không trùng nhau). Vậy $m=1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $\overrightarrow{n_P}=(2m-1;-3m;2)$, $\overrightarrow{n_Q}=(m;m-1;4)$. Điều kiện: $(2m-1)m+(-3m)(m-1)+2\cdot 4=0\iff 2m^2-m-3m^2+3m+8=0\iff -m^2+2m+8=0\iff m^2-2m-8=0\iff m=4$ hoặc $m=-2$. Vậy chọn A.