Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục sao cho parabol ngoài có đỉnh cao 10 m và bề ngang đáy 8 m; parabol trong có đỉnh cao 10 − 2 = 8 m và bề ngang đáy 8 − 2 − 2 = 4 m (theo các số liệu 2 m, 2 m, 2 m, 8 m, 10 m trên hình).

Di diện tích hình parabol với bề ngang $w$ và chiều cao $h$ là $\frac{2}{3}wh$.

- Diện tích cổng ngoài: $S_{ngo\grave{a}i}=\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 10=\frac{160}{3}$ m².
- Diện tích cổng trong: $S_{trong}=\frac{2}{3}\cdot 4\cdot 8=\frac{64}{3}$ m².
- Diện tích phần tô đậm: $S=\frac{160}{3}-\frac{64}{3}=\frac{96}{3}=32$ m².

Chi phí nhân công: $32\cdot 30000=960000$ đồng $=960$ nghìn đồng.

Cổng dạng Parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai: $y=a{x}^2+bx+c$ $(P)$.

Suy ra ta có hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{l}c=0\\ 0,25a+0,5b+c=1,75\\ 16a+4b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=0\\ a=-1\\ b=4\end{array}$.

Vậy Parabol $(P)$ có phương trình là: $y=-x^2+4x$. Parabol $(P)$ có đỉnh là $D(2;4)$.

Chiều cao của cổng là tung độ đỉnh của Parabol $(P)$: $y=-x^2+4x$.

Vậy chiều cao của cổng là 4 mét.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (nghìn đồng) là mức tăng giá, $0\le x\le 40$ (vì số khách không âm). Khi đó giá bán mỗi ly là $30+x$ nghìn đồng và số lượt khách mỗi tháng là $4000-100x$.
Doanh thu: $T(x)=(30+x)(4000-100x)=-100x^2+1000x+120000$.
Hàm bậc hai với $a=-100<0$ đạt max tại $x=-\frac{1000}{2(-100)}=5$.
Vậy giá bán để doanh thu cao nhất là $30+5=35$ nghìn đồng/ly (doanh thu $T(5)=122500$ nghìn đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 35.

Gọi $(p):y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$
$(p)$ có đỉnh $(2;4)$ và qua điểm $(0;\frac{20}{9})$
Nên ta có hệ $\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=2\\ 4=a.2^2+b.2+c\\ \frac{20}{9}=c\end{array}$ (0,25)
$\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-4}{9}\\ b=\frac{16}{9}\\ c=\frac{20}{9}\end{array}$
$\Rightarrow (p):y=-\frac{4}{9}{x}^2+\frac{16}{9}x+\frac{20}{9}$ (0,25)
Hoành độ E là nghiệm pt:
$-\frac{4}{9}{x}^2+\frac{16}{9}x+\frac{20}{9}=0$
$\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=5\end{array}$, (0.25)
( loại x=-1)
Vậy khoảng cách từ O đến E bằng 5. (0.25)
Chú ý: Học sinh giải cách khác thì giám khảo tự chia điểm và chấm.

Gọi $(p):y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$
$(p)$ có đỉnh $(1;3)$ và qua điểm $(0;\frac{9}{4})$
Nên ta có hệ $\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=1\\ 3=a.1^2+b.1+c\\ \frac{9}{4}=c\end{array}$ (0,25)
$\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-3}{4}\\ b=\frac{3}{2}\\ c=\frac{9}{4}\end{array}$
$\Rightarrow (p):y=-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$ (0,25)
Hoành độ E là nghiệm pt:
$-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}=0$
$\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$, (0.25)
( loại x=-1)
Vậy khoảng cách từ O đến E bằng 3. (0.25)
Chú ý: Học sinh giải cách khác thì giám khảo tự chia điểm và chấm.

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 1201, dòng 13: DSSD)

$-\frac{b}{2a}=40\iff b=-80a$ (1)

$P(60)=5,25\iff a.60^2+b.60-7,5=52,5$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a=-0,05$, $b=4$. $$P(x)=-0,05x^2+4x-7,5$$

Giá trị lớn nhất của $P(x)$ là $P(40)=72,5$. Doanh thu lớn nhất là 72500 đô la.

$-\frac{b}{2a}=40\iff b=-80a$ (1)

$P(60)=5,25\iff a.60^2+b.60-7,5=52,5$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a=-0,05$, $b=4$. $$P(x)=-0,05x^2+4x-7,5$$

Giá trị lớn nhất của $P(x)$ là $P(40)=72,5$. Doanh thu lớn nhất là 72500 đô la.

Giống mã đề 101, 103.
a) Parabol $(P)$ biểu thị vòm dưới của cầu cảng Sydney có đỉnh $B(251,5;118)$ nên có phương trình $y=a(x-251,5{)}^2+118$.
Vì parabol $(P)$ đi qua điểm $O(0;0)$ nên $a=\frac{-118}{251,5^2}$.
Vậy phương trình của parabol cần tìm là $y=\frac{-118}{251,5^2}(x-251,5{)}^2+118$
Cách 2: Gọi hàm số bậc hai cần tìm là $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. $(P)$
Vì parabol $(P)$ đi qua điểm $O(0;0)$ nên $c=0$.
Parabol $(P)$ có đỉnh $B(251,5;118)$ nên $-\frac{b}{2a}=251,5\iff 503a+b=0$ (1)
và $251,5^{2}a+251,5b=118$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $a=\frac{-472}{253009};b=\frac{472}{503}$.
Vậy hàm số bậc hai cần tìm là $y=\frac{-472}{253009}{x}^2+\frac{472}{503}x$.
b) Độ cao của điểm $M$ là
$MH=y(180)=\frac{-118}{251,5^2}{\left(180-251,5\right)}^2+118\approx 108,46$ (m)

a) Cách 1: Parabol $(P)$ biểu thị vòm dưới của cầu cảng Sydney có đỉnh $B(251,5;118)$ nên có phương trình $y=a(x-251,5{)}^2+118$.
Vì parabol $(P)$ đi qua điểm $O(0;0)$ nên $a=\frac{-118}{251,5^2}$.
Vậy phương trình của parabol cần tìm là $y=\frac{-118}{251,5^2}(x-251,5{)}^2+118$
Cách 2: Gọi hàm số bậc hai cần tìm là $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. $(P)$
Vì parabol $(P)$ đi qua điểm $O(0;0)$ nên $c=0$.
Parabol $(P)$ có đỉnh $B(251,5;118)$ nên $-\frac{b}{2a}=251,5\iff 503a+b=0$ (1)
và $251,5^{2}a+251,5b=118$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $a=\frac{-472}{253009};b=\frac{472}{503}$.
Vậy hàm số bậc hai cần tìm là $y=\frac{-472}{253009}{x}^2+\frac{472}{503}x$.
b) Độ cao của điểm $M$ là
$MH=y(180)=\frac{-118}{251,5^2}{\left(180-251,5\right)}^2+118\approx 108,46$ (m)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi phương trình quỹ đạo của quả bóng sau khi Đình Bắc thực hiện cú sút phạt là: $(P):y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$.
Theo giả thiết bài toán ta có $(P)$ qua điểm $O(0;0)$ và có đỉnh $(14;4)$. Suy ra ta có hpt:
$$\{\begin{array}{l}c=0\\ -\frac{b}{2a}=14\\ 196a+14b=4\end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}c=0\\ 28a+b=0\\ 196a+14b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=0\\ a=-\frac{1}{49}\\ b=\frac{4}{7}\end{array}$$
$\Rightarrow$ Quỹ đạo của quả bóng có phương trình $y=-\frac{1}{49}{x}^2+\frac{4}{7}x$.
Vị trí của hàng rào cách vị trí sút phạt $9m$ nên $f(9)=\frac{171}{49}\approx 3,49$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc O(0;0), trục Ox là mặt đất, A(10;0) vì OA = 10 m. Parabol đi qua O và A nên có dạng y = ax(x - 10). Điểm M nằm trên cổng, MH = 27/5 m và H cách O một khoảng 1 m nên M(1; 27/5). Thay tọa độ M vào phương trình: a·1·(1 - 10) = 27/5 ⟹ -9a = 27/5 ⟹ a = -3/5. Vậy y = -3/5·x(x - 10) = -3/5 x² + 6x. Chiều cao cổng là giá trị lớn nhất của y trên [0;10], đạt tại x = -b/(2a) = -6/(2·(-3/5)) = 5: y_max = -3/5·25 + 6·5 = -15 + 30 = 15 (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 15.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ $\Rightarrow A(0;0);B(162;0);M(10;43)$
Giả sử phương trình của parabol $(P)$ là $y=a{x}^2+bx+c$.
Do $A,B,M\in (P)$ nên tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình $(P)$:
$$\{\begin{array}{l}c=0\\ a.162^2+b.162+c=0\\ a.10^2+b.10+c=43\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-\frac{43}{1520}\\ b=\frac{3483}{760}\\ c=0\end{array}$$
Chiều cao của cổng Arch là $h=-\frac{\Delta }{4a}\approx 185,6(m)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ $\Rightarrow A(0;0);B(162;0);M(10;43)$
Giả sử phương trình của parabol $(P)$ là $y=a{x}^2+bx+c$.
Do $A,B,M\in (P)$ nên tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình $(P)$:
$$\{\begin{array}{l}c=0\\ a.162^2+b.162+c=0\\ a.10^2+b.10+c=43\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-\frac{43}{1520}\\ b=\frac{3483}{760}\\ c=0\end{array}$$
Chiều cao của cổng Arch là $h=-\frac{\Delta }{4a}\approx 185,6(m)$.

Hướng dẫn chấm: Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: Trục hoành Ox nằm trên mặt đất. Gốc tọa độ $O(0;0)$ trùng với chân cổng bên trái. Vì cổng rộng 6m, nên chân cổng bên phải sẽ nằm trên trục Ox tại điểm $A(6;0)$. Trục đối xứng của cổng Parabol sẽ đi qua điểm chính giữa của hai chân cổng, tức là đường thẳng $x=3$. Vì chiều cao của cổng là 4,5m, nên đỉnh của Parabol có tọa độ là $I(3;4,5)$. (P): $y=-0,5x(x-6)=-0,5x^2+3x$. Bước 3: Tính chiều cao tại điểm cách chân cổng 1m: Ta thay $x=1$ vào phương trình hàm số để tính tung độ $y$ (chính là chiều cao cần tìm): $y=-0,5\cdot (1{)}^2+3\cdot 1$; $y=-0,5+3=2,5$. Kết luận: Chiều cao của cổng tại điểm cách chân cổng 1m là 2,5m.

Trả lời: 2,58. Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là $h=a{t}^2+bt+c$. Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm $(0;1,2)$, $(1;8,5)$ và $(2;6)$.



Từ đó ta có $$\{\begin{array}{l}c=1,2\\ a+b+c=8,5\\ 4a+2b+c=6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-4,9\\ b=12,2\\ c=1,2\end{array}.$$ Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là $h=-4,9t^2+12,2t+1,2$. Giải phương trình $h=0\iff -4,9t^2+12,2t+1,2=0$ ta tìm được một nghiệm dương là $t\approx 2,58$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền giảm giá mỗi chiếc ($0\le x\le 4$). Khi đó giá bán mới là $31-x$ và số xe bán được trong năm là $300+100x$ chiếc. Lợi nhuận trên mỗi chiếc là $(31-x)-27=4-x$ triệu đồng. Tổng lợi nhuận: $P(x)=(4-x)(300+100x)=1200+100x-100x^2$. Đây là hàm bậc hai với $a=-100<0$, đạt cực đại tại $x=\frac{-100}{2(-100)}=0,5$. Vậy giá bán mới là $31-0,5=30,5$ triệu đồng, khi đó lợi nhuận $P(0,5)=1200+50-25=1225$ triệu đồng là cao nhất. Kết quả khớp với đáp án nguồn 30,5.

a) Tập xác định của hàm số là $D=(-\infty ;1)\cup (6;+\infty )\setminus \{2026\}$.

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và $(P)$ là nghiệm của phương trình:
$x^2-3x+4=2x-m$
$\iff x^2-5x+m+4=0$ (1)
$\Delta =25-\mathrm{4.1.}(m+4)=9-4m$
Đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta >0\iff 9-4m>0\iff m<\frac{9}{4}$ (*).

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm của $d$ và $(P)$ là $A(x_1;2x_1-m),B(x_2;2x_2-m)$, trong đó $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình (1).
Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=5,x_1{x}_2=m+4$.
(Học sinh có thể không có bước này, các bước sau đúng vẫn được điểm tối đa)
Ta có: $O{A}^2+O{B}^2=57\iff x_1^2+(2x_1-m{)}^2+x_2^2+(2x_2-m{)}^2=57$
$\iff 5\left(x_1^2+x_2^2\right)-4m\left(x_1+x_2\right)+2m^2=57\iff 5{\left(x_1+x_2\right)}^2-10x_1{x}_2-4m\left(x_1+x_2\right)+2m^2=57$
$\iff 5.5^2-10(m+4)-4m.5+2m^2=57$
$\iff 2m^2-30m+28=0$
$\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=14\end{array}\right]$.
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy $m=14$ bị loại, $m=1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: mỗi lượt nhảy là một parabol có hai nghiệm liên tiếp trên trục hoành, khoảng cách (theo phương ngang) từ điểm nhảy đến điểm tiếp đất bằng $m$, đỉnh parabol có độ cao không đổi $h$ (Mario được chọn $h$). Nhảy thứ nhất xuất phát từ $O(0;0)$ nên lượt nhảy thứ $k$ trải trên đoạn $[(k-1)m;km]$ trên trục hoành.

Để Mario ăn quả tại $(30;4)$ ở lượt nhảy thứ 5, điểm $x=30$ phải nằm trong khoảng nhảy thứ 5, tức $(4m;5m)$ (lấy nghiệm trong vì tại hai đầu mút $y=0\ne 4$):
$$4m<30<5m⟺6<m<7,5.$$
Vì $m$ nguyên dương nên $m=7$ (kiểm tra: $m=6$ cho $30=5m$ là điểm tiếp đất, $y=0$, loại).

Với $m=7$: lượt nhảy thứ 5 đi từ $x=28$ đến $x=35$, parabol có dạng $y=a(x-28)(x-35)$. Tại $x=30$, $y=4$:
$$a(30-28)(30-35)=-10a=4⟺a=-\frac{2}{5}.$$
Đỉnh parabol tại $x=31,5$ có độ cao $y=-\frac{2}{5}(31,5-28)(31,5-35)=\frac{2}{5}\cdot 12,25=4,9$, đúng là hằng số với mọi lượt nhảy.

Lượt nhảy đầu tiên đi từ $x=0$ đến $x=7$, cùng hệ số $a=-\frac{2}{5}$ (cùng độ cao đỉnh):
$$y=-\frac{2}{5}x(x-7)=-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{14}{5}x,0\le x\le 7.$$
Kiểm tra: $y(0)=y(7)=0$; đỉnh tại $x=3,5$, $y=4,9$ trùng độ cao đỉnh của lượt nhảy thứ 5. Vậy $m=7$ và quỹ đạo lượt nhảy đầu tiên là $y=-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{14}{5}x$ với $0\le x\le 7$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc O tại chân cổng bên trái, trục Ox dọc mặt đất. Hai chân cổng cách nhau 16 m nên chân phải có hoành độ 16. Parabol có dạng $y=a(x-8{)}^2+h$ với $h$ là chiều cao đỉnh (đỉnh ở giữa, $x=8$).

- Cổng chạm đất tại $x=0$: $a(0-8{)}^2+h=0\Rightarrow 64a+h=0$.
- Tại $x=1$ (cách chân cổng 1 m), độ cao 1,5 m: $a(1-8{)}^2+h=1,5\Rightarrow 49a+h=1,5$.

Trừ hai phương trình: $15a=-1,5\Rightarrow a=-0,1$. Suy ra $h=-64a=6,4$.

Vậy đỉnh cổng chào cao $6,4$ m, khớp với đáp án nguồn 6,4 (m).