Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tại $x=1$, mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó hàm số gián đoạn tại $x=1$. Tại $x=3,2,-1$ hàm số xác định và liên tục (hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định). Vậy kết luận đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x+2}$ xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$. Tại $x=-2$ hàm số không xác định nên gián đoạn tại đó. Các điểm $x=1,0,2$ đều thuộc tập xác định và hàm số liên tục tại các điểm này (hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó). Vậy hàm số gián đoạn tại $x=-2$, đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. $y=\sqrt{x-3}$ chỉ xác định với $x\ge 3$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. $y=\cos x$ xác định và liên tục trên toàn tập $\mathbb{R}$. $y=\frac{x-1}{x+2}$ không xác định tại $x=-2$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là $y=\cos x$, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x-2}$ xác định khi $x-2\ne 0$, tức $x\ne 2$. Tại $x=2$, mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó hàm số gián đoạn tại $x=2$. Khớp với đáp án đề 101: Câu 11 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\tan x$ gián đoạn tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $y=\sqrt{x-1}$ chỉ xác định với $x\ge 1$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x-1}{x-3}$ gián đoạn tại $x=3$. Hàm $y=\sin x$ xác định và liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên không xác định tại $x_0=-1$, tức gián đoạn tại đó. Các hàm còn lại: A và D là đa thức/phân thức với mẫu $x^2+1\ne 0$ luôn xác định tại $x=-1$; C có mẫu $x-1\ne 0$ tại $x=-1$ nên liên tục. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x}{x+2}$ có mẫu số $x+2=0$ tại $x=-2$, nên không xác định tại $x=-2$ và do đó không liên tục trên $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y=x^2-3x+2$ là đa thức (liên tục trên $\mathbb{R}$), $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, và $y=\frac{2x}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ có mẫu bằng 0 tại $x=1$ nên không xác định (không liên tục) tại $x=1$. Các hàm còn lại: $y=\frac{-x^2+x+2}{x-2}$ xác định tại $x=1$ (mẫu $=-1\ne 0$); $y=\sqrt{x+1}$ xác định và liên tục tại $x=1$; $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (MD 1112, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục tại $x=2$ của từng hàm số:
- A: $y=\sqrt{x+2}$ liên tục trên $[-2;+\infty )$, do đó liên tục tại $x=2$.
- B: $y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}$, hàm số xác định tại $x=2$ (mẫu khác 0) và bằng $x-2$ tại đó, nên liên tục tại $x=2$.
- C: $y=\frac{x^2}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0), nên không liên tục tại $x=2$.
- D: $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x=2$.
Vậy hàm số không liên tục tại $x=2$ là $y=\frac{x^2}{x-2}$, đáp án C, trùng với đáp án nguồn (MD 1111, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=2$: A) $y=x-2$ là hàm đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{x-2}{x}$ xác định tại $x=2$ (mẫu $x\ne 0$), nên liên tục tại $x=2$. C) $y=\frac{x-3}{x^2+2}$ có mẫu $x^2+2>0$ với mọi $x$, xác định và liên tục tại $x=2$. D) $y=\frac{x-3}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ vì mẫu bằng $0$, nên gián đoạn tại $x=2$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 212, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0), nên gián đoạn tại $x=2$. Các hàm còn lại: $y=x-2$ liên tục; $y=\frac{x-2}{x}$ xác định tại $x=2$; $y=\frac{x-3}{x^2+2}$ xác định tại $x=2$ vì $x^2+2=6\ne 0$. Khớp đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{2x+1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3+x$ là đa thức, xác định và liên tục trên mọi $\mathbb{R}$. D) $y=\sqrt{x^2-4}$ chỉ xác định khi $x^2-4\ge 0$, tức $|x|\ge 2$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là $y=x^3+x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=1$:
- A: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ (mẫu bằng 0) nên gián đoạn tại $x=1$.
- B: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}$ không xác định tại $x=1$ (mẫu $x^2-1=0$) nên gián đoạn tại $x=1$.
- C: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}$ xác định tại $x=1$ với $f(1)=\frac{1+1+1}{1}=3$, và là hàm phân số hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó (mẫu $x\ne 0$). Vậy $f$ liên tục tại $x=1$.
- D: $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ nên gián đoạn tại $x=1$.

Vậy chỉ có hàm ở phương án C liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=2$: (A) $y=\frac{3x-4}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0) nên gián đoạn tại $x=2$. (B) $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. (C) $y=x^4-2x^2+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. (D) $y=\tan x$ gián đoạn tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, mà $2\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ nên hàm liên tục tại $x=2$. Vậy hàm gián đoạn tại $x=2$ là hàm ở phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ xác định khi $x+1\ne 0$, tức $x\ne -1$. Tại $x_0=-1$ hàm số không xác định nên gián đoạn tại đó. Vậy $x_0=-1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{x^2-1}$ xác định khi $x^2-1\ne 0$, tức $x\ne \pm 1$. Tại $x=1$ và $x=-1$ hàm số không xác định nên không liên tục tại hai điểm đó. Do đó hàm số không liên tục tại các điểm $x=\pm 1$ (đáp án A). Các phương án B, C, D đều sai vì hàm số không liên tục tại $x=1$ lẫn $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=1$:
- A: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ (mẫu bằng 0) nên không liên tục tại $x=1$.
- B: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ không xác định tại $x=1$ nên không liên tục tại $x=1$.
- C: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}$ xác định tại $x=1$ với $f(1)=3$, và là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó (mẫu $x\ne 0$). Vậy $f$ liên tục tại $x=1$.
- D: $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ nên không liên tục tại $x=1$.

Vậy hàm số liên tục tại $x=1$ là hàm ở phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên không xác định (không liên tục) tại $x_0=-1$. Các hàm còn lại: $y=(x+1)(x^2+2)$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x}{x-1}$ liên tục tại $x=-1$ (mẫu $=-2\ne 0$); $y=\frac{x+1}{x^2+1}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ vì $x^2+1>0$. Vậy hàm gián đoạn tại $x_0=-1$ là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=2$:
- $y=\frac{3x-4}{x-2}$: mẫu số bằng $0$ tại $x=2$, hàm không xác định tại $x=2$ nên gián đoạn tại $x=2$.
- $y=\sin x$: hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x=2$.
- $y=x^4-2x^2+1$: đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, liên tục tại $x=2$.
- $y=\tan x$: liên tục tại $x=2$ vì $2\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.
Vậy hàm số gián đoạn tại $x=2$ là $y=\frac{3x-4}{x-2}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x_0=-1$, mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó hàm số gián đoạn tại $x_0=-1$. Vậy chọn đáp án D.