Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ giảm, đi qua điểm $(0;1)$ và qua điểm $(-1;2)$. Vì hàm giảm nên cơ số $0<a<1$, loại A, B, C. Kiểm tra $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$: tại $x=0$, $y=1$; tại $x=-1$, $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$ khớp với đồ thị. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2035 cách năm 2020 là $t=15$ năm. Thay vào công thức: $A=18\cdot 2^{\frac{15}{30}}=18\cdot 2^{0.5}=18\sqrt{2}\approx 18\cdot 1,4142\approx 25,46$ triệu người. Làm tròn đến chữ số hàng triệu (hàng đơn vị triệu) ta được $25$ triệu người. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a>1,b>1$; $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Với $x>1$, đồ thị $y={\log }_{a}x$ nằm trên $y={\log }_{b}x$ tức ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x$, suy ra $a<b$ (vì với cơ số lớn hơn thì logarit nhỏ hơn tại $x>1$). Vậy $0<c<1<a<b$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ đi qua điểm $(2;1)$ vì tại $x=2$ ta có $y=1$, tức ${\log }_{a}2=1\Rightarrow a=2$. Đồng thời đồ thị tăng trên $(0;+\infty )$ nên cơ số $a>1$, phù hợp với $a=2$. Vậy hàm số là $y={\log }_{2}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét cơ số: $0<2-\sqrt{3}<1$ nên hàm mũ $a^x$ nghịch biến, do đó ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^{-5}<{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{-6}$, A sai. Với $1+\sqrt{3}>1$ hàm mũ đồng biến nên ${\left(1+\sqrt{3}\right)}^{-3}>{\left(1+\sqrt{3}\right)}^{-4}$, B sai. Với $0<\sqrt{2}-1<1$ hàm mũ nghịch biến nên ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^6<{\left(\sqrt{2}-1\right)}^5$, C đúng. Với $\sqrt{2}+2>1$ ta có ${\left(\sqrt{2}+2\right)}^3<{\left(\sqrt{2}+2\right)}^4$, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì khi $0<a<1$, cả $y=a^x$ (trên $\mathbb{R}$) và $y={\log }_{a}x$ (trên $(0;+\infty )$) đều nghịch biến. B đúng vì hàm logarit $y={\log }_{a}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$. C đúng vì $a^x>0$ với mọi $x$, nên đồ thị $y=a^x$ nằm hoàn toàn phía trên trục $Ox$. D sai vì ${\log }_{a}x$ nhận cả giá trị âm (khi $0<x<1$ với $a>1$, hoặc $x>1$ với $0<a<1$), nên đồ thị $y={\log }_{a}x$ nằm hai phía của trục $Ox$, không nằm hoàn toàn phía trên. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề, $f(x)=C{e}^{kx}$. Lúc đầu ($x=0$) có 45 vi khuẩn nên $f(0)=C=45$. Sau 1 giờ: $f(1)=45e^k=270\Rightarrow e^k=6$. Vậy $f(x)=45\cdot 6^x$. Sau 5 giờ: $f(5)=45\cdot 6^5=45\cdot 7776=349920$ (con vi khuẩn).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b.c>0$ nên $b,c$ cùng dấu, nhưng $b$ hoặc $c$ có thể âm, do đó các công thức ${\log }_a(b.c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ (B) và ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ (C) chỉ đúng khi $b>0,c>0$, không đảm bảo với dữ kiện. Xét A và D: với $0<a\ne 1$ thì $a^2>0$ và $a^2\ne 1$, và $b^2>0$ nên ${\log }_{a^2}{b}^2$ xác định. Ta có ${\log }_{a^2}{b}^2=\frac{\ln b^2}{\ln a^2}=\frac{2\ln |b|}{2\ln a}={\log }_a|b|$. Vậy khẳng định D đúng, còn A sai (A chỉ đúng khi $b>0$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=g(x)$ xác định với mọi $x$, tăng nhanh, đi qua điểm có tung độ dương khi $x=0$ (đi qua gần $(0;1)$) nên $g(x)$ là hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$. Còn $y=f(x)$ chỉ xác định khi $x>0$, có tiệm cận đứng $x=0$, đồng biến nên $f(x)$ là hàm lôgarit $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Vì hai đồ thị đối xứng qua $y=x$ nên chúng là hai hàm ngược nhau, do đó cùng cơ số $a>1$. Vậy: (1) sai vì $g$ là hàm mũ chứ không phải lôgarit; (2) sai vì $f$ là hàm lôgarit chứ không phải hàm mũ; (3) đúng vì hai hàm ngược nhau cùng cơ số. Có đúng 1 khẳng định đúng, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(0)={\log }_{3}9=2$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, tổng bằng $3$ → đúng. b) Điều kiện $9-2x>0\Rightarrow x<\frac{9}{2}$, nên $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$ → sai. c) $f(x)={\log }_3(9-2x)$ nghịch biến trên tập xác định vì hệ số của $x$ âm → sai. d) Xét $g(x)={\log }_3(9-2x)-{\log }_{\sqrt{5}}(x+1)$ trên $(-1;\frac{9}{2})$: ${\log }_3(9-2x)$ nghịch biến, ${\log }_{\sqrt{5}}(x+1)$ đồng biến nên $g$ nghịch biến, phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Mặt khác $g(0)=2>0$ và khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì ${\log }_{\sqrt{5}}(x+1)\to -\infty$ nên $g\to +\infty$... thực tế tại $x$ gần $-1$, $g>0$; tại $x=4$: ${\log }_{3}1=0<{\log }_{\sqrt{5}}5=2$ nên $g(4)<0$. Vậy $g$ đổi dấu, phương trình có nghiệm duy nhất → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)={\log }_{3}9=2$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, nên $f(0)+f(3)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cần $9-2x>0\Rightarrow x<\frac{9}{2}$, tập xác định $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên tập xác định $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$ vì $9-2x$ nghịch biến và ${\log }_{3}t$ đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;\frac{9}{2})$, vế trái nghịch biến, vế phải đồng biến nên có nhiều nhất một nghiệm; lại có $g(0)=2>0$, $g(4)=0-2=-2<0$ nên tồn tại nghiệm, vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{2}a=3$ và ${\log }_{2}b=-4$. Áp dụng tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_2\left(a^{-2}{b}^3\right)=-2{\log }_{2}a+3{\log }_{2}b=-2\cdot 3+3\cdot (-4)=-6-12=-18$. Vậy giá trị của biểu thức là $-18$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, nên mệnh đề A viết ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$ là sai (thương bị đảo ngược). Các mệnh đề B, C, D đều là các tính chất đúng của lôgarit: hiệu, lũy thừa, tổng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện x/(x-1)>0 ⟺ x<0 hoặc x>1, nên D=(-∞;0)∪(1;+∞): đúng. b) Điều kiện ln|x-1|≠0 ⟺ |x-1|≠1 và x≠1, tức x≠0, x≠2, x≠1, nên D=ℝ\{0;1;2}: đúng. c) Điều kiện 2x-1>0 ⟺ x>1/2, nên D=(1/2;+∞): đúng. d) Điều kiện 4x-x²>0 ⟺ x²-4x<0 ⟺ 0<x<4, nên D=(0;4), không phải (-∞;0)∪(4;+∞): sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
x/(x-1)>0 ⟺ x<0 hoặc x>1 nên D=(-∞;0)∪(1;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Cần |x-1|≠1 và x≠1, tức x≠0;1;2, nên D=ℝ\{0;1;2}.
c) (AI giải đề cho tôi)
2x-1>0 ⟺ x>1/2 nên D=(1/2;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
4x-x²>0 ⟺ 0<x<4, nên D=(0;4) chứ không phải (-∞;0)∪(4;+∞).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Vẽ đồ thị hai hàm số mũ và logarit.

a) $y=2^{x+1}$.
Đây là hàm số mũ $y=2^x$ được dịch trái theo phương ngang 1 đơn vị (vì $x+1=0\iff x=-1$).
- Tập xác định: $\mathbb{R}$; tiệm cận ngang: $y=0$ (trục hoành).
- Đồ thị luôn đi qua điểm có hoành độ $x=-1$: $y=2^0=1$, tức đi qua $(-1;1)$; cắt trục tung tại $x=0$: $y=2$, tức $(0;2)$.
- Bảng giá trị tham khảo:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>y</td><td>\frac{1}{4}</td><td>\frac{1}{2}</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td></tr></tbody></table>$$
Cách vẽ: lấy đồ thị $y=2^x$ (đi qua $(0;1)$, $(1;2)$, $(-1;\frac{1}{2})$) và dịch chuyển toàn bộ đồ thị sang trái 1 đơn vị. Đồ thị đi lên từ trái sang phải, nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, tiến gần trục hoành khi $x\to -\infty$ và tăng nhanh khi $x\to +\infty$.

b) $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$.
- Tập xác định: $(0;+\infty )$.
- Đồ thị đi qua điểm $(1;0)$ vì ${\log }_{\frac{1}{2}}1=0$; cắt điểm $(\frac{1}{2};1)$ vì ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$; điểm $(2;-1)$ vì ${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$; điểm $(4;-2)$.
- Tiệm cận đứng: trục $Oy$ (khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$); khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$.
- Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ vì cơ số $\frac{1}{2}<1$.
- Bảng giá trị tham khảo:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>\frac{1}{4}</td><td>\frac{1}{2}</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td></tr><tr><td>y</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>-1</td><td>-2</td></tr></tbody></table>$$
Cách vẽ: vẽ đường cong đi qua các điểm $(\frac{1}{4};2)$, $(\frac{1}{2};1)$, $(1;0)$, $(2;-1)$, $(4;-2)$, nằm bên phải trục $Oy$, tiến gần trục $Oy$ khi $x\to 0^{+}$ và đi xuống vô hạn khi $x$ tăng. Lưu ý đồ thị $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ đối xứng với đồ thị $y=2^x$ qua đường thẳng $y=x$.

(Mô tả hình vẽ: a) đường cong hàm mũ đi qua $(-1;1)$, $(0;2)$, $(1;4)$, tiệm cận ngang $y=0$; b) đường cong logarit đi qua $(1;0)$, $(2;-1)$, $(\frac{1}{2};1)$, tiệm cận đứng $x=0$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{2}-1<1$ nên hàm số $y=(\sqrt{2}-1{)}^x$ là hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1, do đó nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Từ ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^m<{\left(\sqrt{2}-1\right)}^n$ suy ra $m>n$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $A\left(\frac{1}{2};2\right)$ thuộc đồ thị $y=a^x$ nên $a^{1/2}=2\Rightarrow a=4$. Điểm $A$ cũng thuộc đồ thị $y={\log }_{b}x$ nên ${\log }_b\frac{1}{2}=2\Rightarrow b^2=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (thỏa $b>0,b\ne 1$). Khi đó $T=a^2+2b^2=16+2\cdot \frac{1}{2}=16+1=17$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y=\log (x-1)$ là $x>1$; tập xác định của $y=\log (-x+1)$ là $x<1$. Hai tập xác định này rời nhau, nên phương trình $\log (x-1)=\log (-x+1)$ vô nghiệm. Vậy hai đồ thị có 0 giao điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y=log_5 x có cơ số 5>1 nên đồng biến trên tập xác định D=(0;+∞). a) Sai vì tập xác định là (0;+∞) chứ không phải ℝ. b) Đúng, hàm số đồng biến trên toàn tập xác định, do đó đồng biến trên (1;+∞). c) Sai, vì với 0<x<1 thì log_5 x<0, đồ thị nằm dưới trục hoành trên khoảng (0;1). d) Đúng, log_5 x=0 ⟺ x=1, đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1;0).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của y=log_5 x là D=(0;+∞), không phải ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số 5>1 nên hàm số đồng biến trên (0;+∞), do đó đồng biến trên (1;+∞).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với 0<x<1, log_5 x<0 nên đồ thị nằm dưới trục hoành trên khoảng (0;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
log_5 x=0 ⟺ x=1, đồ thị cắt trục hoành tại (1;0).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{5}a$ (với $a>0$, $t$ xác định). Ta có ${\log }_5{a}^4=4{\log }_{5}a=4t$ và ${\log }_{5^2}a={\log }_{25}a=\frac{1}{2}{\log }_{5}a=\frac{t}{2}$. Do đó ${\log }_5{a}^4+{\log }_{5^2}a=4t+\frac{t}{2}=\frac{9t}{2}=x\cdot t$. Vì $a$ dương tùy ý nên $t$ có thể khác 0, suy ra $x=\frac{9}{2}=4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=a^x$ đi qua $N(2;2)$ nên $a^2=2$, suy ra $a=\sqrt{2}$ (thỏa $a>0$, $a\ne 1$). Đồ thị $y={\log }_{b}x$ đi qua $N(2;2)$ nên ${\log }_{b}2=2$, suy ra $b^2=2$, tức $b=\sqrt{2}$ (thỏa $b>0$, $b\ne 1$). Khi đó $T=a^2+2b^2=2+2\cdot 2=6$.