Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(vẽ hình 0,25 điểm)

Xét $△AHB$ vuông tại H có:
$+)A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2$ (Pythagore)
$\Rightarrow A{B}^2=4^2+20^2$
$\Rightarrow AB=4\sqrt{26}$ — 0,25

$+)\tan \widehat{HBA}=\frac{AH}{HB}=\frac{4}{20}$
$\Rightarrow \widehat{HBA}=11^{\circ }19^{\prime }$
Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{HBC}-\widehat{HBA}=90^{\circ }-11^{\circ }19^{\prime }=78^{\circ }41^{\prime }$

Xét $△ABC$ có:
$+)\hat{C}=180^{\circ }-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180^{\circ }-78^{\circ }41^{\prime }-45^{\circ }=56^{\circ }19^{\prime }$ — 0,25

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\iff BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}=\frac{4\sqrt{26}\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 56^{\circ }}\approx 17$

Vậy cây cao gần 17 m — 0,25

Ta có: $\widehat{CBD}=\widehat{BAD}+\widehat{ADB}$ $\Rightarrow \widehat{ADB}=50^{\circ }-36^{\circ }=14^{\circ }$ (0,25 điểm).

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABD$ có $\frac{AB}{\sin ADB}=\frac{BD}{\sin BAD}$ (0,25 điểm).

$\Rightarrow BD=\frac{18.\sin 36^{\circ }}{\sin 14^{\circ }}\approx 43,73$ (0,25 điểm).

Trong tam giác vuông $CBD$ có $CD=BD.\sin CBD=43,73.\sin 50^{\circ }\approx 33(m)$. Vậy chiều cao của tháp chính ở Hồ Con Rùa là $33m$ (0,25 điểm).

Ta có: $\widehat{CBD}=\widehat{BAD}+\widehat{ADB}$ $\Rightarrow \widehat{ADB}=49^{\circ }-36^{\circ }=13^{\circ }$ (0,25 điểm).

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABD$ có $\frac{AB}{\sin ADB}=\frac{BD}{\sin BAD}$ (0,25 điểm).

$\Rightarrow BD=\frac{17.\sin 36^{\circ }}{\sin 13^{\circ }}\approx 44,42$ (0,25 điểm).

Trong tam giác vuông $CBD$ có $CD=BD.\sin CBD=44,42.\sin 49^{\circ }\approx 34(m)$. Vậy chiều cao của tháp chính ở Hồ Con Rùa là $34m$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ nên từ $10\sin A=12\sin B=6\sin C$ suy ra $a:b:c=\frac{1}{10}:\frac{1}{12}:\frac{1}{6}=6:5:10$. Cạnh $c=AB=80m$ ứng với 10 phần, mỗi phần bằng 8m, do đó $a=BC=48m$, $b=AC=40m$. Áp dụng định lý cosin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{48^2+40^2-80^2}{2\cdot 48\cdot 40}=\frac{-2496}{3840}=-0,65$, nên $\sin C=\sqrt{1-0,65^2}=\sqrt{0,5775}\approx 0,7599$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot 40\cdot 0,7599\approx 729,54\approx 730m^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 730.

Áp dụng công thức lượng giác, ta có: $\cos A+\cos B+\cos C=\frac{3}{2}$ $\iff 2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+1-2{\sin }^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}$ $\iff 4{\sin }^2\frac{C}{2}-4\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+1=0$ $\iff \left[4{\sin }^2\frac{C}{2}-4\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+{\cos }^2\frac{A-B}{2}\right]+{\sin }^2\frac{A-B}{2}=0$ $\iff {\left[2\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{A-B}{2}\right]}^2+{\sin }^2\frac{A-B}{2}=0$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $2\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{A-B}{2}=0$ và $\sin \frac{A-B}{2}=0$. Giải ra $A=B,C=\frac{\pi }{3}$. Vậy tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác so với hướng dẫn chấm mà đi đến kết quả đúng và cách giải hợp lý thì vẫn đạt điểm tối đa phần đó.

(AI giải đề cho tôi)
Thành phần phương thẳng đứng của mỗi lực căng dây là $500\cdot \sin 60^{\circ }=250\sqrt{3}\approx 433,0127$ (N). Bốn dây cho tổng lực thẳng đứng $4\cdot 250\sqrt{3}=1000\sqrt{3}\approx 1732,05$ (N). Vì hệ cân bằng khi nâng thẳng đứng: $1000\sqrt{3}=200+P$, suy ra trọng lượng xe $P=1000\sqrt{3}-200\approx 1532,05\approx 1532$ (N). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $b+2c=2a$ và định lý sin $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, ta có $2\sin A=\sin B+2\sin C$ (nhân $b+2c=2a$ với $\frac{1}{2R}$), nên a) Đúng. b) Vì $h_a=\frac{2S}{a},h_b=\frac{2S}{b},h_c=\frac{2S}{c}$ nên $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$ và $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$. Nếu đẳng thức đúng thì $2a=b+c$, mâu thuẫn với $2a=b+2c$ (vì $c>0$), nên b) Sai. c) $\frac{a}{\sin A}=2R$ là định lý sin, Đúng. d) Định lý cosin cho góc $A$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$, nên khẳng định với dấu $+$ là Sai. Kết quả Đ-S-Đ-S khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 14: ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhân $b+2c=2a$ với $\frac{1}{2R}$ và dùng định lý sin $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$ ta được $2\sin A=\sin B+2\sin C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $S$ là diện tích: $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$, $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$. Đẳng thức đòi hỏi $2a=b+c$, trái với $2a=b+2c$ do $c>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lý sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=2R$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$ (dấu trừ), nên khẳng định với dấu cộng là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{3}{5}=74-42=32$, nên $BC=4\sqrt{2}$. Vì $\cos A=\frac{3}{5}$ với $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$. Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{4}{5}=14$. Đường cao từ $A$: $h=\frac{2S}{BC}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx 4,95$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4.95.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là vị trí ngọn hải đăng. Theo hình vẽ, góc $45^{\circ }$ tại $A$ là góc trong tam giác $ABC$ (giữa $AC$ và $AB$). Góc $75^{\circ }$ tại $B$ là góc giữa $BC$ và tia kéo dài của đường đi phía ngoài đoạn $AB$, nên góc trong tam giác tại $B$ là $180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. Suy ra góc tại $C$: $180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{30}{0,5}=60$, nên $BC=60\sin 45^{\circ }=30\sqrt{2}$. Khoảng cách từ $C$ đến bờ biển (đường thẳng $AB$) là $h=BC\sin 105^{\circ }=30\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=15(\sqrt{3}+1)\approx 40,98\approx 41$ m. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 20: 41).

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 101 (trang 7), Câu 13: Đ - S - Đ - Đ. Nguồn đề không cung cấp lời giải chi tiết; lời giải các ý a, b, d do agent giải thích, ý c giữ đáp án nguồn kèm ghi chú mâu thuẫn toán học.
a) Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, suy ra $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$. Do $b+2c=2a$ nên $2\sin A=\frac{2a}{2R}=\frac{b+2c}{2R}=\sin B+2\sin C$. Đúng.
b) Định lí cosin cho $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$ (dấu trừ, không phải dấu cộng). Sai.
c) Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 101 (trang 7) là Đúng. Lưu ý: về mặt toán học, vì $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$ và $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$, đẳng thức tương đương $2a=b+c$, mâu thuẫn với giả thiết $b+2c=2a$ (trừ khi $c=0$); đáp án nguồn có vẻ sai về mặt toán học nhưng được giữ nguyên theo nguồn, cần người duyệt xem lại.
d) Đây là hệ quả của định lí sin trong tam giác. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao xuất phát từ đỉnh A là đoạn vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Tính $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{4}{5}=14$. Cạnh $BC$ theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{3}{5}=32$, nên $BC=4\sqrt{2}$. Đường cao từ A: $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\approx 4,9497\approx 4,95$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4.95.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là vị trí ngọn hải đăng. Trong tam giác ABC: góc A = 45°, góc ngoài tại B bằng 75° nên góc B = 105°, suy ra góc C = 30°. Theo định lý sin: AC = AB·sin B / sin C = 30·sin105°/sin30° = 60·sin105°. Khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ biển là đường cao h hạ từ C xuống AB: h = AC·sin45° = 60·sin105°·sin45° = 60·0,96593·0,70711 ≈ 40,98 ≈ 41 m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (41).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi AB = h. Tam giác ABN vuông tại A, góc ANB = 45° nên AN = AB = h. Tam giác ABM vuông tại A, góc AMB = 30° nên AM = AB / tan30° = h√3. Theo hình vẽ, thứ tự điểm trên mặt biển là M, N, A nên MN = AM − AN = h(√3 − 1) = 500. Suy ra h = 500/(√3 − 1) = 250(√3 + 1) ≈ 250 · 2,732 ≈ 683,01 m. Làm tròn đến hàng đơn vị: AB ≈ 683 m, khớp với đáp án nguồn 683 (bảng đáp án, Mã đề 1002, Phần III câu 4).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống đường bờ biển (đường thẳng $AB$). Theo hình vẽ, góc $79^{\circ }$ tại $B$ là góc ngoài (góc giữa $BC$ và phần kéo dài của $AB$), nên góc trong $\widehat{ABC}=180^{\circ }-79^{\circ }=101^{\circ }$. Khi đó góc tại $C$ trong tam giác $ABC$ là $\widehat{ACB}=180^{\circ }-48^{\circ }-101^{\circ }=31^{\circ }$.

Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin 48^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 31^{\circ }}$, suy ra $BC=\frac{125\cdot \sin 48^{\circ }}{\sin 31^{\circ }}\approx \frac{125\cdot 0,7431}{0,5150}\approx 180,4$ m.

Khoảng cách từ hải đăng đến bờ biển là $CH=BC\cdot \sin 79^{\circ }\approx 180,4\cdot 0,9816\approx 177,1$ m.

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng $177$ m, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bờ hồ là đường thẳng EF. Theo hình vẽ: AE = 20 m, BF = 50 m, AB = 50 m. Chênh lệch khoảng cách tới bờ hồ giữa A và B là 50 - 20 = 30 m, nên thành phần song song bờ hồ giữa A và B là $\sqrt{50^2-30^2}=40$ m. Lấy A' đối xứng của A qua bờ hồ (A' cách bờ 20 m về phía bên kia). Đường đi ngắn nhất từ A qua điểm lấy nước trên bờ hồ đến B có độ dài bằng A'B. Trong tam giác vuông với hai cạnh: chênh lệch khoảng cách tới bờ là 20 + 50 = 70 m và thành phần song song bờ là 40 m, ta có $$A^{\prime }B=\sqrt{40^2+70^2}=\sqrt{6500}\approx 80,62\approx 80,6\text{ m}.$$ Khớp với đáp án đề cho (mã 1702, Câu 3 = 80,6).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-76}{48}=-\frac{1}{2}\Rightarrow B=120^{\circ }$ (b đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ (c đúng). Đường cao từ $B$: $h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{57}}{19}$ (a đúng). Bán kính ngoại tiếp: $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{19}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{57}}{3}\ne \frac{3\sqrt{19}}{2}$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{57}}{19}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{16+36-76}{48}=-\frac{1}{2}\Rightarrow B=120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=6\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{57}}{3}\ne \frac{3\sqrt{19}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngôi sao 5 cánh có 10 đỉnh (5 đỉnh ngoài nằm trên đường tròn và 5 đỉnh trong), các đoạn thẳng nối tâm $A$ với tất cả các đỉnh này chia ngôi sao thành 10 tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có dạng $ABC$ với $A$ là tâm đường tròn, $B$ là đỉnh trong, $C$ là đỉnh ngoài của ngôi sao (đúng như hình vẽ).

Vì 10 tam giác bằng nhau bao quanh tâm $A$ nên góc ở tâm của mỗi tam giác là:
$$\widehat{BAC}=\frac{360^{\circ }}{10}=36^{\circ }.$$

Trong tam giác $ABC$: $AB=30cm$, $BC=40cm$, $\widehat{BAC}=36^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 36^{\circ }$$
$$1600=900+A{C}^2-60\cdot \cos 36^{\circ }\cdot AC$$
$$A{C}^2-48,541\cdot AC-700=0.$$
Giải phương trình (lấy nghiệm dương):
$$AC=\frac{48,541+\sqrt{48,541^2+2800}}{2}\approx 60,175(cm).$$
Vậy bán kính đường tròn là $R=AC\approx 60,175cm$ (vì $C$ nằm trên đường tròn).

Diện tích một tam giác $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 36^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 60,175\cdot \sin 36^{\circ }\approx 530,55(c{m}^2).$$

Diện tích ngôi sao (10 tam giác bằng nhau):
$$S_{sao}=10\cdot 530,55\approx 5305,5(c{m}^2).$$

Diện tích đường tròn:
$$S_{tr\hat{o}n}=\pi R^2=\pi \cdot (60,175{)}^2\approx 11375,3(c{m}^2).$$

Diện tích phần nền tô đậm:
$$S=S_{tr\hat{o}n}-S_{sao}\approx 11375,3-5305,5\approx 6069,8\approx \boxed{6070c{m}^2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: tam giác $ACD$ có $C$ là chân tháp (đỉnh đồi), $D$ là đỉnh tháp với $CD=30m$, $AC=120m$ (độ dài sườn đồi từ chân đồi $A$ đến đỉnh), và góc giữa hai hướng nhìn từ $A$ tới chân tháp và đỉnh tháp là $\widehat{CAD}=8^{\circ }$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ACD$:
$$\frac{\sin \widehat{ADC}}{AC}=\frac{\sin \widehat{CAD}}{CD}\Rightarrow \sin \widehat{ADC}=\frac{120\sin 8^{\circ }}{30}=4\sin 8^{\circ }\approx 4\cdot 0,13917=0,5567.$$
Suy ra $\widehat{ADC}\approx 33,84^{\circ }$, do đó $\widehat{ACD}=180^{\circ }-8^{\circ }-33,84^{\circ }\approx 138,16^{\circ }$.

Diện tích tam giác (tam giác $ABC$ trong đề, chính là tam giác $ACD$ theo hình vẽ):
$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CD\cdot \sin \widehat{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 120\cdot 30\cdot \sin 138,16^{\circ }=1800\sin 41,84^{\circ }\approx 1800\cdot 0,6672\approx 1201.$$

Giá trị gần nhất với kết quả tính toán trong các phương án là $1200$, tương ứng phương án A. (Kết quả tính xấp xỉ phụ thuộc vào độ chính xác của các giá trị lượng giác làm tròn; các phương án còn lại đều lệch xa hơn.)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cân tại A, góc A = 120° nên góc B = góc C = 30°. Theo định lý cosin: BC² = a² + a² − 2a²cos120° = 3a², suy ra BC = a√3, do đó BM = 3BC/5 = 3a√3/5. Trong tam giác ABM, cos B = cos30° = √3/2, áp dụng định lý cosin: AM² = AB² + BM² − 2·AB·BM·cos B = a² + 27a²/25 − 2·a·(3a√3/5)·(√3/2) = a² + 27a²/25 − 9a²/5 = 7a²/25. Vậy AM = a√7/5, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: H là gốc, $A=(0;4)$, $B=(20;0)$, $C=(20;h)$ với $h=CH$ là chiều cao cây.

a) $S_{AHB}=\frac{1}{2}AH\cdot HB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 20=40(m^2)\ne 80$ → Sai.

b) $\tan \widehat{ACB}=\frac{HB}{CH-AH}=\frac{20}{h-4}$. Nếu $\widehat{ACB}=45^{\circ }$ thì $h-4=20\Rightarrow h=24$, khi đó $AC=\sqrt{H{B}^2+(CH-AH{)}^2}=\sqrt{400+400}=20\sqrt{2}\approx 28,28(m)\ne 10$ → Sai.

c) Từ $\widehat{BAC}=45^{\circ }$: $\tan \widehat{BAC}=\frac{20h}{416-4h}=1\Rightarrow 20h=416-4h\Rightarrow h=\frac{52}{3}\approx 17,33(m)$.
$\widehat{ABC}=90^{\circ }-\arctan \frac{AH}{HB}=90^{\circ }-\arctan (0,2)\approx 90^{\circ }-11^{\circ }19^{\prime }=78^{\circ }41^{\prime }$ → Đúng.

d) Chiều cao cây $CH=\frac{52}{3}\approx 17,33(m)\ne 27,33$ → Sai.

Kết quả: a Sai, b Sai, c Đúng, d Sai — khớp đáp án chính thức mã 1012 (SSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 20=40(m^2)\ne 80$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $\widehat{ACB}=45^{\circ }$ thì $CH-AH=20\Rightarrow CH=24$, $AC=\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt{2}\approx 28,28(m)\ne 10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{BAC}=\frac{20h}{416-4h}=1\Rightarrow h=\frac{52}{3}$; $\widehat{ABC}=90^{\circ }-\arctan \frac{4}{20}\approx 78^{\circ }41^{\prime }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao cây $CH=\frac{52}{3}\approx 17,33(m)$, không phải $27,33(m)$.