Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi vòng theo đường gấp khúc $ACDB$ như hình vẽ. Biết rằng $AC=400m$, $CD=500m$, $DB=400m$ và $\widehat{ACD}=138^{\circ }$, $\widehat{CDB}=122^{\circ }$. Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị)?

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $AB\cdot AC=24$ và $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\sin A$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Diện tích tam giác $BMG$ bằng ?

Cho tam giác cân $ABC$ có $\hat{A}=120^{\circ }$ và $AB=AC=a$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $BM=\frac{2BC}{5}$. Tính độ dài $AM$.

Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi vòng theo đường gấp khúc $ACDB$ như hình vẽ. Biết rằng $AC=300m$, $CD=500m$, $DB=300m$ và $\widehat{ACD}=138^{\circ }$, $\widehat{CDB}=122^{\circ }$. Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $AB\cdot AC=12$ và $$\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\sin A$$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Diện tích tam giác $BMG$ bằng ?

Bác An có một mảnh đất có hình tứ giác, khi đo đạc thì được số đo các cạnh lần lượt là $20m$, $7m$, $13m$, $4m$. Biết rằng trước đây, mảnh đất có hình tam giác vuông, nhưng do ở gần sông nên đã bị sạt lở mất một phần đất (tham khảo hình vẽ minh họa). Tính diện tích phần đất bác An hiện có.

1. Tại một vị trí A trên bờ biển, Nam quan sát một hòn đảo nhỏ để xác định bề rộng của nó theo chiều quan sát được (là khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng bên trái và bên phải của đảo mà Nam quan sát được, gọi hai điểm đó là B, C (Hình 2)).

Để tính độ dài đoạn BC, Nam chọn một vị trí M trên đất liền sao cho A nằm trong góc $\widehat{BMC}$, rồi tiến hành đo đạc và thu được các thông số sau: $AM=0,2$ km, $\widehat{BAC}=113^{\circ }$, $\widehat{MAC}=103^{\circ }$, $\widehat{AMB}=31^{\circ }$ và $\widehat{AMC}=69^{\circ }$ (Hình 3).

Em hãy giúp Nam tính bề rộng của hòn đảo (theo đơn vị km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $AD=2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng $SD$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\phi$ thỏa mãn $\tan \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$. Gọi $M,H$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $SB$; $N$ là giao điểm của $DM$ và $AC$.

a. Tính thể tích của khối chóp $S.MNC$.

b. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SMN)$.

a) Tam giác $ABC$ có $BC=\sqrt{8}$ ; $AC=2$ ; $\hat{C}=45^{\circ }$ . Tính độ dài cạnh $AB$ .

b) Hai tàu du lịch xuất phát từ hai thành phố cảng $A$ và $B$ cách nhau 200 $(km)$ đến đảo $C$ như hình minh họa.



Biết hai tàu cùng chuyển động đều với vận tốc 80 $(km/h)$ và $\widehat{CAB}=30^{\circ }$ ; $\widehat{CBA}=45^{\circ }$ . Tàu 1 ở thành phố $A$ khởi hành lúc 8h , tàu 2 ở thành phố $B$ muốn đến đảo $C$ cùng lúc với tàu 1 thì phải khởi hành sau tàu 1 bao nhiêu phút ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của phút ).

Anh Hải có một mảnh đất hình chữ nhật như hình dưới. Anh Hải muốn rào một phần để trồng rau có dạng hình tứ giác $ABCD$ với độ dài các cạnh là $AB=15m;BC=17m;CD=12m$ và $DA=20m$ . Hãy tính diện tích phần mảnh đất trồng rau của anh Hải ? (đơn vị: mét vuông)

Một chiếc bình nước hình trụ được đặt trên bàn, lượng nước trong bình bằng đúng một phần ba dung tích của bình. An đặt một chiếc ống hút dài 21 cm vào trong bình. Khi đó một đầu của ống hút chạm vào đáy bình, đầu còn lại chạm vào miệng bình. Hỏi độ dài của phần ống hút bị ướt bằng bao nhiêu?

Cô Lan dự định trồng khóm hoa hồng bên trong đường tròn nội tiếp trong một mảnh đất hình tam giác ABC trước sân nhà. Biết chiều dài cạnh BC là 8 m và chiều dài tổng hai cạnh AB+AC là 12m. Góc giữa hai cạnh BA và BC là $60^0$. Hỏi a) Chu vi mảnh đất hình tam giác ABC là bao nhiêu mét ? b) Bán kính đường tròn dùng để trồng hoa hồng nội tiếp bên trong tam giác ABC là bao nhiêu mét ? ( Kết quả câu b làm tròn đến hàng phần mười )

Cho 12 đường tròn có cùng bán kính bằng 13 đặt tiếp xúc nhau như hình vẽ. Các điểm $A$, $B$ và $C$ là tâm của các đường tròn. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một bóng đèn có khối lượng $m=0,4$ kg được treo cân bằng bởi hai sợi dây. Hai sợi dây này có chiều dài bằng nhau, được gắn vào cùng một điểm trên bóng đèn và hai đầu còn lại được gắn lên trần nhà. Biết rằng hai sợi dây hợp với nhau một góc $46^{\circ }$. Tính lực căng của mỗi sợi dây, đơn vị N. Cho biết trọng lực tác dụng lên bóng đèn là $\vec{P}=m\vec{g}$, với $g=10$ m/s${}^2$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Ở một giải đua ô tô địa hình, một vận động cần hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$ gồm 3 đoạn: đường bằng, leo dốc và xuống dốc như hình vẽ bên dưới. Trên đoạn đường bằng $AC$ dài $10km$, xe chạy với vận tốc $100km/h$. Xe leo dốc $CD$ với vận tốc là $10km/h$ và xe xuống dốc $DB$ với vận tốc là $50km/h$. Biết rằng: $BC=20km$, $\widehat{DCB}=45^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=30^{\circ }$. Hỏi vận động viên mất bao nhiêu giờ để hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$?

Ở một giải đua ô tô địa hình, một vận động cần hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$ gồm 3 đoạn: đường bằng, leo dốc và xuống dốc như hình vẽ bên dưới. Trên đoạn đường bằng $AC$ dài $10km$, xe chạy với vận tốc $100km/h$. Xe leo dốc $CD$ với vận tốc là $10km/h$ và xe xuống dốc $DB$ với vận tốc là $50km/h$. Biết rằng: $BC=20km$, $\widehat{DCB}=45^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=30^{\circ }$. Hỏi vận động viên mất bao nhiêu giờ để hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$?

Ở một giải đua ô tô địa hình, một vận động cần hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$ gồm 3 đoạn: đường bằng, leo dốc và xuống dốc như hình vẽ bên dưới. Trên đoạn đường bằng $AC$ dài $10km$, xe chạy với vận tốc $100km/h$. Xe leo dốc $CD$ với vận tốc là $10km/h$ và xe xuống dốc $DB$ với vận tốc là $50km/h$. Biết rằng: $BC=20km$, $\widehat{DCB}=45^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=30^{\circ }$. Hỏi vận động viên mất bao nhiêu giờ để hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$?

Ở một giải đua ô tô địa hình, một vận động viên cần hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$ gồm 3 đoạn: đường bằng, leo dốc và xuống dốc như hình vẽ bên dưới. Trên đoạn đường bằng $AC$ dài $10km$, xe chạy với vận tốc $100km/h$. Xe leo dốc $CD$ với vận tốc là $10km/h$ và xe xuống dốc $DB$ với vận tốc là $50km/h$. Biết rằng: $BC=20km$, $\widehat{DCB}=45^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=30^{\circ }$. Hỏi vận động viên mất bao nhiêu giờ để hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$?

Cho tam giác ABC vuông tại A có $BC=6cm$. Điểm D nằm trên tia AB sao cho $DB=3cm,DC=8cm$ (xem hình vẽ). Đặt $AC=x$. Tính diện tích tam giác BCD (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí A, cách cửa hang của mình tại vị trí B là 370 m để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí C cách vị trí A là 120 m để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí C như mọi ngày mà chạy đến vị trí D để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí A đến vị trí D rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn AD chú thỏ chạy với vận tốc là 13 m/s, trên đoạn BD chú thỏ chạy với vận tốc là 15 m/s. Vị trí C cách vị trí D bao nhiêu mét?

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5m$. Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7m$ so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^{\circ }$ và $40^{\circ }$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

[Hình cần kiểm tra lại: p19_f1]

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.