Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn A

Theo giả thiết: d ( O; ( P ) ) = d = 3 ( cm ) , r = 4 ( cm ) .

Bán kính mặt cầu là: R = d 2 + r 2 = 32 + 42 = 5 ( cm ) .
4 4 500$\pi$
Thể tích của mặt cầu là: V = $\pi$ R 3 = $\pi$ .53 =
3 3 3
cm3 . ( )
e
ln x
$\int$ x 1 + ln x dx = a + b 2

Phương trình có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=1,b=2,c=-2,d=-7$. Suy ra tâm $I(1;2;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{1+4+4-(-7)}=\sqrt{16}=4$.

Tâm $I\in Ox\Rightarrow I(a;0;0)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A,B$ nên $I{A}^2=I{B}^2\iff (1-a{)}^2+1^2+2^2=(3-a{)}^2+0^2+1^2\iff a^2-2a+6=a^2-6a+10\iff 4a=4\iff a=1$. Suy ra tâm $I(1;0;0)$ và bán kính $R^2=I{A}^2=(1-1{)}^2+1+4=5$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là: $(x-1{)}^2+y^2+z^2=5$.

Mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=0,b=-1,c=1,d=-7$.

Bán kính của $(S)$ là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+1^2-(-7)}=\sqrt{9}=3$.

Hình chiếu vuông góc của $I(3;1;-2)$ trên trục $Oy$ là $H(0;1;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến trục $Oy$ chính là bán kính mặt cầu: $R=IH=\sqrt{(0-3{)}^2+(1-1{)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{9+0+4}=\sqrt{13}$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=13$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Mặt cầu $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+5=0$ có tâm $I(1;-2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-3{)}^2-5}=3$.

Chọn C.
Điều kiện tiếp xúc là:
$R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 1+1-2\cdot 0+3|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2.$
Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=4$.

Chọn B.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;1;-2)$ và hệ số $d=-7$.
Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là:
$R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{(-2{)}^2+1^2+(-2{)}^2-(-7)}=\sqrt{4+1+4+7}=\sqrt{16}=4.$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A(1;3;-1)$ nên nhận $\overrightarrow{IA}=(2;1;-2)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình của $(P)$ là: $2(x-1)+1(y-3)-2(z+1)=0\iff 2x+y-2z-7=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Thể tích khối cầu $V=\frac{4}{3}\pi r^3=36\pi \iff r^3=27\iff r=3$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi r^2=4\pi \cdot 3^2=36\pi$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Thể tích khối cầu được tính theo công thức $V=\frac{4}{3}\pi R^3$. Theo bài ra: $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi a^3}{3}\Rightarrow 4R^3=32a^3\Rightarrow R^3=8a^3\Rightarrow R=2a$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+3^2-(-11)}=\sqrt{25}=5$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-1;2)$ và $d=-4$. Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+2^2-(-4)}=\sqrt{9}=3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn D.

Bán kính mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ được tính theo công thức khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của trường (trang 8), đáp án đúng là C ($3$).

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Ta có $-2a=-2\Rightarrow a=1$; $-2b=-4\Rightarrow b=2$; $-2c=4\Rightarrow c=-2$. Vậy tâm $I(1;2;-2)$. Chọn đáp án A.

**Chọn A**

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(5;1;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{5^2+1^2+(-2{)}^2-21}=\sqrt{30-21}=\sqrt{9}=3$.

[IMAGE_1]

Vì là lăng trụ tứ giác đều nên tâm $O$ của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ tứ giác đều là giao điểm của $4$ đường chéo $AH,DE,CF,BG$.
Ta có $EG=EF=a\Rightarrow EH=a\sqrt{2}\Rightarrow AH=\sqrt{E{A}^2+E{H}^2}=\sqrt{(3a{)}^2+2a^2}=a\sqrt{11}$.
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tứ giác đều là $R=\frac{AH}{2}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$.

Điều kiện cần để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác đáy phải nội tiếp được trong một đường tròn. Đáy là hình thoi (không phải hình vuông) thì không nội tiếp được đường tròn, do đó hình chóp có đáy là hình thoi nói chung không có mặt cầu ngoại tiếp. Mệnh đề A sai. Chọn A.

Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn (như hình thang cân) luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

**Chọn B**

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu, $r=3\text{ cm}$ là bán kính thiết diện, $d=4\text{ cm}$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.
Ta có: $R=\sqrt{r^2+d^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}$.