Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB=BC=a\sqrt{3}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$:


Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Rađa của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi $300\text{ km}$. Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay từ vị trí $A(200;-300;11)$ và bay thẳng đều đến vị trí $B(150;-200;10)$ với vận tốc không đổi $500\text{ km/h}$.
[IMAGE_1]

Một tiểu hành tinh nhỏ (coi như một hạt) được phát hiện đang bay theo chuyển động thẳng đều trong không gian $Oxyz$ với $O$ là tâm Trái Đất. Tại thời điểm $t=0$, tiểu hành tinh ở vị trí $A(10000;5000;8000)\text{ km}$, tiểu hành tinh bay theo hướng véc tơ $\vec{v}=(-200;-100;-160)\text{ km/h}$. Coi bề mặt Trái Đất là mặt cầu với bán kính $6371\text{ km}$.
[IMAGE_1]

Một tiểu hành tinh nhỏ (coi như một hạt) được phát hiện đang bay theo chuyển động thẳng đều trong không gian $Oxyz$ với $O$ là tâm Trái Đất. Tại thời điểm $t=0$, tiểu hành tinh ở vị trí $A(10000;5000;8000)\text{ km}$, tiểu hành tinh bay theo hướng véc tơ $\vec{v}=(-300;-100;-160)\text{ km/h}$. Coi bề mặt Trái Đất là mặt cầu với bán kính $6371\text{ km}$.
[IMAGE_1]

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), mặt sân quảng trường trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. Một tác phẩm nghệ thuật hình cầu $(S)$ có phương trình
$(x+10\sqrt{3}{)}^2+y^2+(z-30{)}^2=100$.
Xét tại thời điểm 14h, lúc này phương của các tia nắng mặt trời được xác định bởi vectơ $\vec{u}=(1;0;-\sqrt{3})$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ có tâm lần lượt là $I(-4;-5;0)$ và $J(6;8;3)$. Mặt cầu $(S_2)$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ theo thiết diện là một đường tròn có bán kính $r_2=4$. Mặt cầu $(S_1)$ có bán kính $R_1=4$. Một điểm $M$ có tọa độ cố định $M(1;0;10)$. Một điểm $C$ di chuyển từ $M$ đến một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $(S_1)$ hoặc $(S_2)$. Năng lượng tiêu hao khi di chuyển của điểm $C$ được xác định bởi hàm số $E(s)=\frac{1}{12}{s}^2$ (đơn vị năng lượng), trong đó $s$ là độ dài quãng đường di chuyển. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-5{)}^2=25$ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(7;8;5),B(8;7;5)$. Giả sử mặt cầu $(S)$ được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục $Oz$) với phương vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+12{)}^2+(z-5{)}^2=100$ và mặt phẳng $(P):z=-5$. Từ một điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(P)$ kẻ các tiếp tuyến $MA$ đến mặt cầu $(S)$ ($A$ là các tiếp điểm). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Tòa nhà Ericsson Globe (nay còn được gọi là Avicii Arena) là công trình rất nổi tiếng ở Stockholm, Thụy Điển, tòa nhà này có dạng là một phần của mặt cầu với đường kính $110\text{ m}$ và chiều cao bên trong $85\text{ m}$. Nó có đủ chỗ ngồi cho $16000$ khán giả của các buổi biểu diễn hòa nhạc hoặc $13850$ khán giả của các trận đấu khúc côn cầu trên băng. Giả sử tòa nhà được mô phỏng bởi một mặt cầu $(S)$ đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ có tâm $I$, đường kính $110\text{ m}$ và $OA=85\text{ m}$ như hình vẽ dưới. Biết rằng mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, đơn vị trên trục là mét.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;1;-1)$, $B(3;0;1)$, $C(2;-1;3)$ và mặt cầu $(S):(x+2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=36$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1)$, $B(-2;2;-3)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$.

Câu 3. Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng hình cầu $(S)$, một lớp đá móng ngăn cách các địa tầng $(P)$. Với hệ trục $Oxyz$ phù hợp, đơn vị trên mỗi trục là chục mét. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+7{)}^2=16$. Lớp đá móng là mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z-15=0$. Để thực hiện việc khai thác, các nhà khoa học đặt mũi khoan được định hướng bắt đầu từ vị trí $A(1;2;1)$ và tiến tới liên tục theo phương của vectơ $\vec{u}=(1;1;-8)$. Ngoài ra, một trạm quan trắc địa chấn được đặt cố định tại vị trí $K(2;3;5)$ để theo dõi các biến động cơ học trong quá trình khoan.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-3;5;2)$ được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4\text{ km}$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$.

Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $1\text{ km}$. Radar có bán kính phủ sóng $250\text{ km}$, tức là các mục tiêu bay cách radar không quá $250\text{ km}$ sẽ bị theo dõi và xuất hiện trên màn hình radar. Một máy bay không người lái (UAV) xuất phát từ vị trí điểm $A(1000;-450;0)$, bay theo đường thẳng và đi qua vị trí điểm $B(968;-435;1)$ với tốc độ không đổi bằng $800\text{ km/h}$. UAV mang thiết bị gây nhiễu có tầm hoạt động hiệu quả $50\text{ km}$, tức là nếu UAV bay cách radar không quá $50\text{ km}$ thì sẽ gây nhiễu được radar (không bị theo dõi bởi radar), trong trường hợp không gây nhiễu được thì UAV vẫn bị theo dõi nếu nằm trong tầm phủ sóng của radar.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+y^2+z^2=9$; $(S^{\prime }):x^2+y^2+z^2-12y+12=0$ và mặt phẳng $(P):z-m=0$.

Tại một khu nông trường công nghệ cao, người ta lắp đặt một bồn chứa dung dịch thủy canh có dạng hình cầu $(S)$. Để kiểm tra bề mặt của bồn chứa, một thiết bị bay không người lái (flycam) được lập trình để bay đến lơ lửng tại vị trí $A$. Từ $A$, flycam phát ra các tia quét laser để dò tìm lỗi bề mặt. Các tia quét này chạm (tiếp xúc) với bề mặt bồn chứa tại các điểm $M$. Sau khi hoàn thành thao tác quét tại $A$, flycam được lập trình bay thẳng về trạm sạc theo một quỹ đạo là đường thẳng $d$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị tính bằng mét), giả sử bồn chứa hình cầu có phương trình $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=9$, vị trí lơ lửng ban đầu của flycam là $A(2;-2;3)$ và quỹ đạo bay về trạm sạc nằm trên đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-3}{3}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=48$ và hai điểm $A(-1;6;4),B(0;1;-1)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài $10\text{ km}$. Một trạm radar cố định được đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và có thể phát hiện được các vật thể trong phạm vi bán kính không quá $50\text{ km}$. Một tàu cứu hộ di chuyển theo đường thẳng từ vị trí $M(4;6;-1)$ đến vị trí $N(-1;-4;4)$ với vận tốc không đổi là $60\text{ km/h}$. Hỏi tàu cứu hộ nằm trong vùng phủ sóng của trạm radar trong khoảng thời gian bao nhiêu phút? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)

Trong không gian $Oxyz$ thuộc hệ thống định vị GPS, bề mặt Trái Đất được mô hình hoá bởi mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Hai vệ tinh truyền tín hiệu ở vị trí có tọa độ $M(4;-4;2),N(6;0;6)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm ra đa được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với tầm quan sát là $3\text{ km}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: