Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp: $\overrightarrow{AD}=D-A=(-2;2;-2)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4;4;2)$. Suy ra $C=B+\overrightarrow{AD}=(-7;5;-4)$, $C^{\prime }=C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-3;9;-2)$. Vectơ $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(-1;-8;-5)$ nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $(1;8;5)$, tức $m=1,n=5$. Trung điểm của $C^{\prime }D$ là $I\left(-\frac{7}{2};5;-\frac{9}{2}\right)$. Mặt phẳng trung trực: $(x+\frac{7}{2})+8(y-5)+5(z+\frac{9}{2})=0\iff x+8y+5z-14=0$, vậy $p=-14$. Do đó $3m+2n-p=3+10+14=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4;-4;3)$ và $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DA}$... Cụ thể: $C=B+D-A=(-10;1;-2)$, nên $C^{\prime }=C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-6;-3;1)$. Suy ra $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(0;2;0)$, trung điểm của $C^{\prime }D$ là $I=(-6;-2;1)$. Mặt phẳng trung trực của $C^{\prime }D$ đi qua $I$ và vuông góc với $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(0;2;0)$ nên có dạng $y=-2$, tức $0x+2y+0z+4=0$. Vậy $m=0,n=0,p=4$, do đó $3m+n-2p=0+0-8=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Véc-tơ pháp tuyến của (P) là (9;6;5), và (-27;-18;-15) = -3·(9;6;5) nên là một pháp tuyến của (P): đúng. b) Thay A(6;-5;7): 9·6+6·(-5)+5·7-59 = 54-30+35-59 = 0, vậy A thuộc (P), khẳng định 'không thuộc' là sai. c) d(M,(P)) = |9·(-3)+6·(-5)+5·7-59|/√(81+36+25) = |-81|/√142 = 81/√142 = 81√142/142 ≠ 36√142/71 (=72√142/142): sai. d) (R): -27x-18y-15z-57=0 chia cho -3 được 9x+6y+5z+19=0, song song với (P). Khoảng cách = |−59−19|/√142 = 78/√142 = 39√142/71: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-27;-18;-15) = -3·(9;6;5) cùng phương với pháp tuyến (9;6;5) của (P), nên là một véc-tơ pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(6;-5;7) vào (P): 54-30+35-59 = 0 nên A thuộc (P); khẳng định 'không thuộc' sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P)) = |-27-30+35-59|/√142 = 81/√142 = 81√142/142, khác 36√142/71 = 72√142/142.
d) (AI giải đề cho tôi)
(R) chia -3 được 9x+6y+5z+19=0 song song với (P); d = |−59−19|/√142 = 78/√142 = 39√142/71.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $C=B+D-A=(4;7;-3)$. $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $C^{\prime }=C+(A^{\prime }-A)=(8;9;-7)$. Trung điểm $I$ của $C^{\prime }D$: $I=(6;8;-5)$. Vectơ $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(-8;-5;7)$ là pháp tuyến. Mặt phẳng trung trực: $-8(x-6)-5(y-8)+7(z+5)=0\iff -8x-5y+7z+123=0\iff 8x+5y-7z-123=0$. Vậy $m=8,n=-7,p=-123$, suy ra $m+n-3p=8-7-3(-123)=370$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-4;-3;-3)$, $\overrightarrow{AB}=(-3;-4;3)$, nên $C=B+D-A=(4;-3;3)$ và $C^{\prime }=C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;-6;0)$. Trung điểm của $C^{\prime }D$ là $I=\left(\frac{7}{2};-\frac{5}{2};0\right)$, vecto $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(7;7;0)$. Mặt phẳng trung trực của $C^{\prime }D$ đi qua $I$ và có pháp tuyến $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(7;7;0)$: $7x+7y+p=0$. Thay $I$: $7\cdot \frac{7}{2}+7\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)+p=0\Rightarrow 7+p=0\Rightarrow p=-7$. So với dạng $mx+7y+nz+p=0$ ta có $m=7$, $n=0$, $p=-7$. Vậy $2m-n-2p=14-0+14=28$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên có dạng $\frac{x}{a_0}+\frac{y}{a_0}+\frac{z}{a_0}=1$ ($a_0\ne 0$), tức $x+y+z=a_0$. So với $x+ay+bz+c=0$ ta được $a=b=1$, $c=-a_0$. Vì mặt phẳng đi qua $M(1;1;2)$ nên $1+1+2=a_0=4$, suy ra $c=-4$. Khớp với đáp án nguồn ($-4$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Với t=0, d qua điểm (1;2;-2)=A nên Đúng. b) (Q) song song (P) qua O: x+2y-2z=0, Đúng. c) Bán kính R = d(O,(P)) = 4/√9 = 4/3, nên R² = 16/9 ≠ 3, phương trình đúng là x²+y²+z²=16/9, khẳng định Sai. d) sin góc = |u·n|/(|u||n|) = |2-2+4|/(3·3) = 4/9 ≈ 0,4444, góc ≈ 26° (làm tròn hàng đơn vị), không phải 30°, khẳng định Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c S, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay t=0 vào phương trình tham số của d được điểm (1;2;-2) = A, nên d qua A.
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) nên có vectơ pháp tuyến (1;2;-2), qua O(0;0;0) nên (Q): x+2y-2z=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = khoảng cách từ O đến (P) = |4|/√(1+4+4) = 4/3, nên R² = 16/9 ≠ 3. Phương trình đúng: x²+y²+z²=16/9.
d) (AI giải đề cho tôi)
u=(2;-1;-2), n=(1;2;-2). sin α = |u·n|/(|u||n|) = |2-2+4|/(3·3) = 4/9 ≈ 0,4444, nên α ≈ 26° (làm tròn hàng đơn vị), không phải 30°.

(AI giải đề cho tôi)
d có vtcp u=(1;2;2), đi qua A(2;1;-1). Δ có vtcp v=(1;1;0). Góc giữa (P) và Δ lớn nhất khi góc giữa pháp tuyến n và v nhỏ nhất, tức n là hình chiếu của v lên mặt phẳng vuông góc với u: n = v − (v·u/|u|²)u = (1;1;0) − (3/9)(1;2;2) = (2/3;1/3;-2/3) ∝ (2;1;-2). Mặt phẳng qua A: 2(x-2)+(y-1)-2(z+1)=0 ⇔ 2x+y-2z-7=0. Vậy a=2, b=1, c=-2, T=a+b+c=1, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(8;0;0)$, $D(0;10;0)$, $C(8;10;0)$, $H(0;0;1)$; cột $DE$ thẳng đứng cao 10m nên $E(0;10;10)$.
Điểm $M$ trên đoạn $BE$ với $BM=\frac{3}{4}BE$: $M=B+\frac{3}{4}(E-B)=(8;0;0)+\frac{3}{4}(-8;10;10)=(2;7,5;7,5)$.
Mặt sân khấu là mặt phẳng $(BCH)$: $\overrightarrow{BC}=(0;10;0)$, $\overrightarrow{BH}=(-8;0;1)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BH}=(10;0;80)\parallel (1;0;8)$, phương trình: $x+8z-8=0$.
Khoảng cách từ $M$ đến $(BCH)$: $d=\frac{|2+8\cdot 7,5-8|}{\sqrt{1+64}}=\frac{54}{\sqrt{65}}\approx 6,7$ m.
Kết quả khớp đáp án nguồn (đề 1002, trả lời ngắn số 4: 6,7).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm R trên đoạn PQ có dạng R(6; 3+t; 1) với t∈[0;1]. Khoảng cách từ R đến mặt phẳng (E): 6x+2y+3z−49=0 là d(R,(E)) = |6·6 + 2(3+t) + 3·1 − 49| / √(36+4+9) = |2t − 4| / 7. Cảm biến bắt đầu báo động khi d = 0,3: |2t − 4| = 2,1 → t = 0,95 (nhận, vì t∈[0;1]) hoặc t = 3,05 (loại). Vậy R(6; 3,95; 1), tức a=6, b=3,95, c=1. Suy ra a − b + c = 6 − 3,95 + 1 = 3,05.

(AI giải đề cho tôi)
Vì (P) song song trục Oy nên b=0, phương trình có dạng ax+cz+2=0. Vuông góc với (Q): 2x−y+3z−9=0 nên vectơ pháp tuyến n_P=(a;0;c) vuông góc n_Q=(2;−1;3): 2a+3c=0. Đi qua A(2;−1;2): 2a+2c+2=0 ⟹ a+c=−1. Giải hệ: a=−3c/2, thay vào: −3c/2+c=−1 ⟹ c=2, a=−3. Vậy a·c=−6. Kiểm tra: 2(−3)+3(2)=0 ✓; −3·2+2·2+2=0 ✓.

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai.

a) Ta có $A(0;-4;0)$, $B\left(4\sqrt{3};0;0\right)$, $C(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;-4;10)$, $B^{\prime }\left(4\sqrt{3};0;9\right)$, $C^{\prime }(0;4;8)$.

b) Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(4\sqrt{3};4;-1\right)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\left(-4\sqrt{3};4;-1\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có một vectơ pháp tuyến là $$\vec{n}=\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right]=\left(0;8\sqrt{3};32\sqrt{3}\right)=8\sqrt{3}(0;1;4).$$ Vậy phương trình mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $y+4z-36=0$.

c) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\vec{n}=(0;1;4)$. Ta có $\cos \left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)=\frac{\left|0+0+4\right|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}$. Suy ra $\left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)\approx 14^{\circ }$. Vậy độ dốc của mái nhà trên không ở mức tiêu chuẩn.

d) Gọi $I\left(a;b;c\right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $$\{\begin{array}{l}I\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\\ I{A}^{\prime }=I{B}^{\prime }\\ I{A}^{\prime }=I{C}^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=(a-4\sqrt{3}{)}^2+b^2+(c-9{)}^2\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=a^2+(b-4{)}^2+(c-8{)}^2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ 8\sqrt{3}a+8b-2c=13\\ 16b-4c=-36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{31}{8\sqrt{3}}\\ b=0;c=9\end{array}$$ Vậy $I\left(\frac{31}{8\sqrt{3}};0;9\right)$, khi đó điểm $I$ cách mặt sàn một khoảng là 9 mét.
a) a) Ta có $A(0;-4;0)$, $B\left(4\sqrt{3};0;0\right)$, $C(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;-4;10)$, $B^{\prime }\left(4\sqrt{3};0;9\right)$, $C^{\prime }(0;4;8)$.
b) b) Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(4\sqrt{3};4;-1\right)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\left(-4\sqrt{3};4;-1\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có một vectơ pháp tuyến là $$\vec{n}=\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right]=\left(0;8\sqrt{3};32\sqrt{3}\right)=8\sqrt{3}(0;1;4).$$ Vậy phương trình mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $y+4z-36=0$. (Kết quả lời giải khớp phát biểu nhưng đáp án chính thức ghi Sai.)
c) c) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\vec{n}=(0;1;4)$. Ta có $\cos \left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)=\frac{\left|0+0+4\right|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}$. Suy ra $\left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)\approx 14^{\circ }$. Vậy độ dốc của mái nhà trên không ở mức tiêu chuẩn. (Đáp án chính thức ghi Đúng dù lời giải kết luận 'không ở mức tiêu chuẩn' — giữ nguyên theo nguồn.)
d) d) Gọi $I\left(a;b;c\right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $$\{\begin{array}{l}I\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\\ I{A}^{\prime }=I{B}^{\prime }\\ I{A}^{\prime }=I{C}^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=(a-4\sqrt{3}{)}^2+b^2+(c-9{)}^2\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=a^2+(b-4{)}^2+(c-8{)}^2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ 8\sqrt{3}a+8b-2c=13\\ 16b-4c=-36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{31}{8\sqrt{3}}\\ b=0;c=9\end{array}$$ Vậy $I\left(\frac{31}{8\sqrt{3}};0;9\right)$, khi đó điểm $I$ cách mặt sàn một khoảng là 9 mét. (Lời giải khớp phát biểu nhưng đáp án chính thức ghi Sai — giữ nguyên theo nguồn.)

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;0)$ và $B(0;1;0)$, gọi giao điểm của $(P)$ với $Oz$ là $D(0;0;c_0)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{c_0}=1\iff x+y+\frac{1}{c_0}z-1=0$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là:
$d(O,(P))=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+\frac{1}{c_0^2}}}=\frac{2}{3}\iff 1+1+\frac{1}{c_0^2}=\frac{9}{4}\iff \frac{1}{c_0^2}=\frac{1}{4}⟹\frac{1}{c_0}=\pm \frac{1}{2}$.
Vì $abc>0$ nên $\frac{1}{c_0}=\frac{1}{2}$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x+y+\frac{1}{2}z-1=0\iff 2x+2y+z-2=0$.
Khoảng cách từ $C(-3;1;0)$ đến $(P)$ là:
$d(C,(P))=\frac{|2(-3)+2(1)+0-2|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2$.

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\vec{0}\Rightarrow I=\frac{A+B+2C}{4}$:
$x_I=\frac{0-2+2(1)}{4}=0$.
$y_I=\frac{-2-4+2(3)}{4}=0$.
$z_I=\frac{-1+3+2(-1)}{4}=0$.
Suy ra $I$ là gốc tọa độ $O(0;0;0)$.
Khi đó $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|=|4\overrightarrow{MI}|=4MI$.
$MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $O(0;0;0)$ lên mặt phẳng $(P)$.
Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $(P)$ có VTCP $\vec{n}=(1;1;-2)$ nên $M(t;t;-2t)$.
Thay vào phương trình $(P)$: $t+t-2(-2t)-3=0\iff 6t=3\iff t=\frac{1}{2}$.
Vậy $M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)$.

Véctơ $\overrightarrow{AB}=(-3;7;-1)=-(3;-7;1)$.
Mặt phẳng $(\alpha )\perp AB$ nhận $\vec{n}=(3;-7;1)$ làm VTPT nên có dạng: $3x-7y+z+D=0$ ($D\ne 0$).
Các giao điểm với các trục tọa độ:
$P\left(-\frac{D}{3};0;0\right),Q\left(0;\frac{D}{7};0\right),R(0;0;-D)$.
Thể tích tứ diện $OPQR$: $V=\frac{1}{6}|x_P\cdot y_Q\cdot z_R|=\frac{1}{6}\left|\left(-\frac{D}{3}\right)\cdot \left(\frac{D}{7}\right)\cdot (-D)\right|=\frac{|D{|}^3}{126}$.
Theo giả thiết $V=\frac{3}{14}\iff \frac{|D{|}^3}{126}=\frac{3}{14}\iff |D{|}^3=27\iff |D|=3\iff D=\pm 3$.
Vậy phương trình mặt phẳng là $3x-7y+z\pm 3=0$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;-2)$ và ${\vec{u}}_d=(2;-1;1)$, suy ra ${\vec{n}}_P=[\overrightarrow{AB},{\vec{u}}_d]=(-5;-6;4)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;2;3)$ có phương trình $5x+6y-4z-5=0$. Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d(O,(P))=\frac{5}{\sqrt{25+36+16}}=\frac{5\sqrt{77}}{77}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;3),{\vec{n}}_P=(1;-2;3)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]=(-3;-3;-1)=-(3;3;1)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(-1;2;0)$ là $3x+3y+z-3=0\Rightarrow a=3,b=1,c=-3$. Vậy $a+2b+3c=3+2-9=-4$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-1;3)$ và ${\vec{n}}_P=(1;-2;3)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ cùng phương với $[\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]=(3;-3;-3)=3(1;-1;-1)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(-1;2;0)$ là $x-y-z+3=0\Rightarrow a=-1,b=-1,c=3$. Vậy $a+2b+3c=-1-2+9=6$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;0;-1)$ và có VTCP ${\vec{u}}_d=(2;1;3)$.
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(2;1;-1)$.
Vì mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và $(Q)\perp (P)$ nên VTPT ${\vec{n}}_Q$ của $(Q)$ cùng phương với tích có hướng $[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]$:
$[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]=(1(-1)-3(1);3(2)-2(-1);2(1)-1(2))=(-4;8;0)=-4(1;-2;0)$
Chọn ${\vec{n}}_Q=(1;-2;0)$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M(1;0;-1)$ có VTPT ${\vec{n}}_Q$ là:
$1(x-1)-2(y-0)+0(z+1)=0⟺x-2y-1=0$
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(Q)$ là:
$d(O,(Q))=\frac{|0-2(0)-1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
Chọn C.

a) $\overrightarrow{AB}=(1;1;1),\vec{k}=(0;0;1)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\vec{k}]=(1;-1;0)=-(-1;1;0)$ (Đúng). b) $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{a}=-10\ne 0$ (Sai). c) Trung điểm $I\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow 2x+2y+2z-9=0$ (Đúng). d) $(P):-x+y-1=0$ đi qua $K(5;6;7)$ (Đúng).