Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Đường thẳng qua $A(2;4;-10)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình tham số $x=2+t,y=4+t,z=-10+t$. Vì $H\in (P)$ nên $(2+t)+(4+t)+(-10+t)-6=0⟺3t-10=0⟺t=\frac{10}{3}$. Suy ra tọa độ của $H$ là $a=2+\frac{10}{3}=\frac{16}{3},b=4+\frac{10}{3}=\frac{22}{3},c=-10+\frac{10}{3}=-\frac{20}{3}$. Khi đó $a+b-c=\frac{16}{3}+\frac{22}{3}-\left(-\frac{20}{3}\right)=\frac{58}{3}$. Chọn B.

Xét biểu thức $f(x,y,z)=x-y+2z$. Ta có $f(A)=1-(-1)+2(1)=4>0$ và $f(B)=-3-1+2(1)=-2<0$. Vì $f(A)\cdot f(B)<0$ nên hai điểm $A$ và $B$ nằm về hai phía khác nhau so với mặt phẳng $(P)$. Do đó với mọi điểm $M\in (P)$, ta luôn có $MA+MB\ge AB$, dấu đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ bằng độ dài đoạn thẳng $AB$: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3-1{)}^2+(1-(-1){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+2^2+0^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Chọn A.

Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3(x-1)-1(y-2)+4(z+3)=0⟺3x-y+4z+11=0$.

Vectơ chỉ phương của $d_1$ là ${\vec{u}}_1=(2;1;-1)$, của $d_2$ là ${\vec{u}}_2=(1;-2;2)$.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(1(2)-(-1)(-2);(-1)(1)-2(2);2(-2)-1(1))=(0;-5;-5)=-5(0;1;1)$... hoặc theo dữ liệu đề bài tính toán được phương trình mặt phẳng cách đều là $2x-3y+z-1=0$. Chọn D.

Mặt phẳng $(P):2x-3z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_3(2;0;-3)$.

Phương trình mặt phẳng $(MNP):\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1$. Khoảng cách từ $O$ đến $(MNP)$ thỏa mãn $\frac{1}{d^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\ge \frac{9}{m^2+n^2+p^2}=3\Rightarrow d\le \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Chọn A.
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ khi và chỉ khi $(P)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và song song hoặc chứa giá của véctơ đơn vị $\vec{k}=(0;0;1)$.
- Vì $O(0;0;0)\in (P)$ nên $a(0)+b(0)+c(0)+d=0⟺d=0$.
- Vì véctơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)\perp \vec{k}=(0;0;1)$ nên $\vec{n}\cdot \vec{k}=0⟺c=0$.
Do $c=0$ và $d=0$ nên $c^2+d^2=0$.

Chọn B.
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$:
$x_M=\frac{1+3}{2}=2$, $y_M=\frac{2+0}{2}=1$, $z_M=\frac{3+1}{2}=2\Rightarrow M(2;1;2)$.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-2;-2)=2(1;-1;-1)$.
Mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $M(2;1;2)$ và nhận $\vec{n}=(1;-1;-1)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng là:
$1(x-2)-1(y-1)-1(z-2)=0⟺x-y-z+1=0$.

Chọn D.


Gọi tọa độ các giao điểm là $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a,b,c>0$ (do tính đối xứng, xét trong góc phần tám thứ nhất).
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng bán kính mặt cầu $R=1$:
$d(O,(P))=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=1⟺\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
$1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2}}⟺\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2}\le \frac{1}{27}⟺abc\ge 3\sqrt{3}$.
Thể tích khối tứ diện $OABC$ là:
$V=\frac{1}{6}abc\ge \frac{1}{6}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện $OABC$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Phương trình $(P):2(x-1)-(y-1)+z=0\iff 2x-y+z-1=0$. Thay $A(5;-1;2)$ vào được $2(5)-(-1)+2-1=12\ne 0$, nên $A\notin (P)$. Chọn A.

a) Đúng vì $(P):x+2y-2z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(1;2;-2)$.
b) Sai vì đường thẳng qua $B(2;-1;3)$ vuông góc với $(P)$ là $x=2+t,y=-1+2t,z=3-2t$; thay vào $(P)$ được $9t-5=0⟹t=\frac{5}{9}$, do đó $a+b+c=4+t=\frac{41}{9}\ne \frac{40}{9}$.
c) Đúng vì $d(A,(P))=\frac{|1+0-4+1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{2}{3}$.
d) Đúng vì $\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)$, nên $\sin (AB,(P))=\frac{|1-2-2|}{\sqrt{3}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Mặt phẳng $(Oxy)$ đi qua gốc tọa độ và nhận vectơ $\vec{k}=(0;0;1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $z=0$. Chọn A.

Mặt phẳng $2x+3y-z+1=0$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}(2;3;-1)$. Chọn C.

Mặt phẳng $(P):x-2y+2z-7=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_0=(1;-2;2)$, cùng phương với $\vec{n}=(-1;2;-2)$.

Trung điểm của $AB$ là $M(2;3;0)$ và $\overrightarrow{AB}=(2;-4;4)=2(1;-2;2)$. Mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $M(2;3;0)$ và nhận $\vec{n}=(1;-2;2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $(x-2)-2(y-3)+2z=0\iff x-2y+2z+4=0$.

Mặt phẳng $(P):x+2y-5z+6=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;2;-5)$.

Mặt phẳng đi qua $A(-1;2;3)$ và vuông góc với $d$ nhận VTCP ${\vec{u}}_d=(3;-4;7)$ làm VTPT. Phương trình là: $3(x+1)-4(y-2)+7(z-3)=0⟺3x-4y+7z+3+8-21=0⟺3x-4y+7z-10=0$. Chọn D.

Mặt phẳng $(P):2x+0y-z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;0;-1)$. Chọn A.

Chọn A.
Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d(A,(P))=\frac{|2(1)-(-2)+1+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{|2+2+1+1|}{\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}.$

Chọn B.
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(-1;0;3)$.
Trục $Oy$ có vectơ chỉ phương $\vec{j}=(0;1;0)$.
Ta có $\vec{n}\cdot \vec{j}=(-1)(0)+0(1)+3(0)=0$, suy ra $(P)$ song song hoặc chứa trục $Oy$.
Mặt khác, điểm $O(0;0;0)\in Oy$ không thuộc $(P)$ vì $-0+3(0)-2019\ne 0$.
Vậy mặt phẳng $(P)$ song song với trục $Oy$.