Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \iff 2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \iff x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$.

Vậy $\{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$, khớp với phương án A. Kiểm tra: tại $x=-\frac{\pi }{4}$, $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng; tại $x=\frac{5\pi }{12}$, $\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin x=-\frac{1}{2}$. Vì $-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, họ nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$ nên mệnh đề sai. b) Cả hai họ nghiệm đều thỏa, đúng. c) Các nghiệm âm: $-\frac{\pi }{6}$, $-\frac{5\pi }{6}$, ... nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{6}\ne -\frac{\pi }{3}$, sai. d) Trong $(-\pi ;\pi )$ chỉ có hai nghiệm $-\frac{5\pi }{6}$ và $-\frac{\pi }{6}$, không phải ba nghiệm, sai.
a) Vì $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$, nên phương trình không tương đương $\sin x=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$; đúng ra phải là $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
b) Vì $-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, ta có $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra lại cả hai họ đều thỏa.
c) Các nghiệm âm là $-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $-\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$.
d) Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$, các nghiệm là $-\frac{5\pi }{6}$ và $-\frac{\pi }{6}$: chỉ có 2 nghiệm, không phải 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $8,6\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=4,3$ với $0\le t\le 2$, tức $\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$.

Đặt $X=8t+\frac{\pi }{2}$. Khi đó $\sin X=\frac{1}{2}\iff X=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $X=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

TH1: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow 8t=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$.
Với $0\le t\le 2$: $k=1\Rightarrow t=\frac{5\pi }{24}\approx 0,654$; $k=2\Rightarrow t=\frac{11\pi }{24}\approx 1,440$; $k=3\Rightarrow t=\frac{17\pi }{24}\approx 2,225>2$ (loại).

TH2: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow 8t=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$.
Với $0\le t\le 2$: $k=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{24}\approx 0,131$; $k=1\Rightarrow t=\frac{7\pi }{24}\approx 0,916$; $k=2\Rightarrow t=\frac{13\pi }{24}\approx 1,702$; $k=3\Rightarrow t=\frac{19\pi }{24}\approx 2,487>2$ (loại).

Vậy trong khoảng 2 giây đầu tiên, $s=4,3cm$ tại các thời điểm $t=\frac{\pi }{24}\approx 0,13s$; $t=\frac{5\pi }{24}\approx 0,65s$; $t=\frac{7\pi }{24}\approx 0,92s$; $t=\frac{11\pi }{24}\approx 1,44s$; $t=\frac{13\pi }{24}\approx 1,70s$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$, nên $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là phương án A. Kiểm tra: $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)=1\iff \frac{\pi }{3}-2x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ (điều kiện: $\frac{\pi }{3}-2x\ne k\pi$, luôn thỏa với nghiệm tìm được). Suy ra $2x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}-k\pi =\frac{\pi }{12}-k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{24}-\frac{k\pi }{2}=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ (do $k$ chạy hết các số nguyên nên $-k$ thay bằng $k$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin (x+40^{\circ })=\sqrt{3}$ ta có $\sin (x+40^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $x+40^{\circ }=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x+40^{\circ }=120^{\circ }+k360^{\circ }$. Với $x\in (-180^{\circ };180^{\circ })$: từ họ thứ nhất lấy $k=0$ được $x=20^{\circ }$; từ họ thứ hai lấy $k=0$ được $x=80^{\circ }$ (các giá trị khác $k$ cho nghiệm ngoài khoảng). Tổng các nghiệm: $20^{\circ }+80^{\circ }=100^{\circ }$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ và hàm số $\cos x$ có chu kỳ $2\pi$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan (3x-15^{\circ })=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ }$, nên $3x-15^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }$, suy ra $3x=75^{\circ }+k180^{\circ }$, tức $x=25^{\circ }+k60^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 2x-\sqrt{3}\sin x=0$. Dùng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$, ta được $2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$, tức $\sin x(2\cos x-\sqrt{3})=0$. Trường hợp 1: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$. Trường hợp 2: $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$. Vậy họ nghiệm là $\{\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$, khớp với đáp án C. Kiểm tra: với $x=\pi /6$: $\sin (\pi /3)-\sqrt{3}\cdot 1/2=\sqrt{3}/2-\sqrt{3}/2=0$ đúng; với $x=\pi$: $0-0=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải sin 2x = -1/2: 2x = -π/6 + 2kπ hoặc 2x = π + π/6 + 2kπ = 7π/6 + 2kπ, nên x = -π/12 + kπ hoặc x = 7π/12 + kπ (k∈ℤ).
a) sin(π/6) = 1/2 ≠ -1/2 nên phương trình không tương đương sin 2x = sin(π/6) → Sai.
b) Trong (0;π): x = 7π/12 và x = -π/12 + π = 11π/12 → chỉ có 2 nghiệm, không phải 3 → Sai.
c) Tổng các nghiệm: 7π/12 + 11π/12 = 18π/12 = 3π/2 → Đúng.
d) Nghiệm lớn nhất trong (0;π) là 11π/12 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin(π/6) = 1/2 ≠ -1/2, nên phương trình không tương đương sin 2x = sin(π/6).
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát: x = -π/12 + kπ hoặc x = 7π/12 + kπ. Trong (0;π) chỉ có x = 7π/12 và x = 11π/12, tức 2 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trong (0;π) là 7π/12 và 11π/12, tổng bằng 18π/12 = 3π/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong (0;π) là 11π/12.

(AI giải đề cho tôi)
Giải tan(2x−15°)=1: 2x−15°=45°+k180° ⟹ x=30°+k90°, k∈ℤ. a) Đúng, nghiệm tổng quát đúng là x=30°+k90°. b) Sai, nghiệm âm lớn nhất ứng với k=−1 là x=−60°, không phải −30°. c) Sai, trong (−180°;90°) có các nghiệm −150°, −60°, 30°, tổng bằng −180°. d) Sai, nghiệm lớn nhất trong khoảng này là 30°, không phải 60°.
a) (AI giải đề cho tôi)
2x−15°=45°+k180° ⟹ x=30°+k90°, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất: k=−1 ⟹ x=−60°, không phải −30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong (−180°;90°): −150°, −60°, 30°; tổng = −180° ≠ 180°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong (−180°;90°) là 30°, không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, nên $3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng: vì $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\tan (\pi /6)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

b) Sai: nghiệm tổng quát là $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, không viết được dưới dạng $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ (vì $-\frac{\pi }{18}\ne \frac{\pi }{9}+n\frac{\pi }{3}$ với mọi $n$ nguyên).

c) Sai: với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$: $k=0$ cho $x=-\frac{\pi }{18}$; $k=-1$ cho $x=-\frac{7\pi }{18}$; $k=-2$ cho $x=-\frac{13\pi }{18}<-\frac{\pi }{2}$ (loại). Tổng $=-\frac{8\pi }{18}=-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$.

d) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}\ne \frac{2\pi }{9}=\frac{4\pi }{18}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-{\sqrt{3}}^{-1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên phương trình tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ ta được $3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, khác họ $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có hai nghiệm $-\frac{\pi }{18}$ và $-\frac{7\pi }{18}$, tổng bằng $-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{5\pi }{18}$ (khi $k=1$), không phải $\frac{2\pi }{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=\sqrt{3}$ ta có $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ → mệnh đề a đúng.

Trong đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$: họ $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ cho $\frac{\pi }{3}$; họ $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ cho $\frac{5\pi }{3}$ và $\frac{7\pi }{3}$ (vì $-\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{11\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$). Vậy chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$ → b sai.

Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$ → c sai.

Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=\sqrt{3}$ ta có $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{3}$. Vậy mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$. Vậy mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$. Vậy mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$:
• Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi }{4}=x+\frac{3\pi }{4}+2k\pi ⟹x=\pi +2k\pi$.
• Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi }{4}=\pi -\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)+2k\pi ⟹3x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟹x=\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$.
Vậy họ nghiệm đúng như mệnh đề a) → a đúng.
Trong khoảng $(0;\pi )$: họ $x=\pi +2k\pi$ không cho nghiệm ($x=\pi$ không thuộc khoảng mở); họ $x=\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$ cho $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$. Vậy có đúng 2 nghiệm → b đúng; tổng $=\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi \ne \frac{7\pi }{6}$ → c sai; nghiệm lớn nhất $=\frac{5\pi }{6}$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Hai trường hợp của phương trình $\sin A=\sin B$ cho $x=\pi +2k\pi$ và $x=\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Trong $(0;\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Tổng hai nghiệm là $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi$, không bằng $\frac{7\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{5\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải sin(3x+π/3) = -√3/2: 3x+π/3 = -π/3+2kπ hoặc 3x+π/3 = -2π/3+2kπ, suy ra x = -2π/9 + 2kπ/3 hoặc x = -π/3 + 2kπ/3 (k∈Z).
a) Sai: họ nghiệm đúng là x = -2π/9 + 2kπ/3 và x = -π/3 + 2kπ/3, không phải x = -π/9 + 2kπ/3 và x = π/3 + 2kπ/3 (thử x = -π/9: sin(0)=0 ≠ -√3/2).
b) Đúng: nghiệm âm thuộc họ thứ nhất: -2π/9 (k=0); họ thứ hai: -π/3 (k=0). Nghiệm âm lớn nhất là max(-2π/9, -π/3) = -2π/9.
c) Sai: trên (0; π/2) chỉ có 2 nghiệm: π/3 (họ hai, k=1) và 4π/9 (họ một, k=1).
d) Đúng: tổng = π/3 + 4π/9 = 7π/9.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là x = -2π/9 + 2kπ/3 hoặc x = -π/3 + 2kπ/3; thay x = -π/9 vào phương trình được sin(0) = 0 ≠ -√3/2 nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm âm: -2π/9 và -π/3 = -3π/9; nghiệm âm lớn nhất là -2π/9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0; π/2) có đúng 2 nghiệm: x = π/3 và x = 4π/9, không phải 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm π/3 + 4π/9 = 7π/9.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình: $3-\sqrt{3}\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện $2x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$ luôn thỏa).
a) Sai: họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$; thử $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$.
b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $x=-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$ (và $-\frac{\pi }{3}$ không là nghiệm).
c) Sai: trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$ chỉ có hai nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}$ ($k=-1$) và $x=\frac{\pi }{3}$ ($k=0$); với $k=1$ ta được $\frac{5\pi }{6}>\frac{2\pi }{3}$.
d) Đúng: tổng hai nghiệm là $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$; thử $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$, nên không thỏa mãn.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $x=-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$ chỉ có hai nghiệm: $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{\pi }{3}$; $k=1$ cho $\frac{5\pi }{6}$ ngoài khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6. Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

a) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$

Suy ra $3x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

• Với dấu $+$: $3x=\frac{\pi }{6}+\frac{3\pi }{4}+2k\pi =\frac{11\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

• Với dấu $-$: $3x=\frac{\pi }{6}-\frac{3\pi }{4}+2k\pi =-\frac{7\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Vậy $x=\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $2\sin \left(x-60^{\circ }\right)+\sqrt{2}=0\iff \sin \left(x-60^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ta có $\sin \left(x-60^{\circ }\right)=\sin \left(-45^{\circ }\right)$, nên:

• $x-60^{\circ }=-45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=15^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$;

• $x-60^{\circ }=180^{\circ }-\left(-45^{\circ }\right)+k\cdot 360^{\circ }=225^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=285^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$.

Vậy $x=15^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$ hoặc $x=285^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $\tan \left(3x-30^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \left(-30^{\circ }\right)$

Suy ra $3x-30^{\circ }=-30^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow 3x=k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow x=k\cdot 60^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy $x=k\cdot 60^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. (Điều kiện: $3x-30^{\circ }\ne 90^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$ được thỏa mãn với nghiệm này.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h=250$ với $0\le t\le 60$:
$$550+450\cos \frac{\pi }{50}t=250\iff \cos \frac{\pi }{50}t=-\frac{2}{3}.$$
Đặt $\alpha =\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\approx 2,3005$ rad. Khi đó
$$\frac{\pi }{50}t=\pm \alpha +2k\pi \iff t=\frac{50}{\pi }(\alpha +2k\pi )\text{ hoặc }t=\frac{50}{\pi }(-\alpha +2k\pi ).$$
Với $k=0$: $t_1=\frac{50}{\pi }\cdot 2,3005\approx 36,62$ phút (thỏa mãn $0\le t\le 60$) và $t_2=\frac{50}{\pi }(2\pi -\alpha )\approx 63,36$ phút (vượt quá 60 phút, loại). Với $k=1$ hoặc $k=-1$, các nghiệm đều nằm ngoài khoảng $[0;60]$. Vậy trong khoảng 60 phút đầu, thí nghiệm chỉ có thể thực hiện tại thời điểm $t\approx 36,62$ phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x+1=0\iff \sin x=-1$. Theo công thức nghiệm của phương trình $\sin x=\sin \alpha$, với $\alpha =-\frac{\pi }{2}$ (vì $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$), ta có: $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $S=\left\{-\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}$ $(k\in \mathbb{Z})$, tương ứng với phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)-1=0\iff \cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=1\iff \frac{\pi }{4}-x=2k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}-2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=1$: $x=\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}$. Vậy $a=7$, $b=4$ (phân số tối giản), $T=a+b=11$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (11).