Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

Chọn B
Từ hình vẽ ta thấy $H=EG\cap AF\Rightarrow H=EG\cap (ACD)$

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, nên $O$ thuộc cả $(SAC)$ (vì $O\in AC$) và $(SBD)$ (vì $O\in BD$). Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $S$ và $O$, do đó giao tuyến là đường thẳng $SO$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$M\in SA$ và $N\in SB$ nên $MN\subset (SAB)$. Mặt phẳng $(SAB)$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$. Vì $M$ là trung điểm $SA$ còn $N$ không phải trung điểm $SB$, đường thẳng $MN$ không song song với $AB$, nên $MN$ cắt $AB$ tại một điểm $Q$. Điểm $Q$ thuộc $MN$ và thuộc $AB\subset (ABC)$, do đó $Q$ chính là giao điểm của $MN$ với $(ABC)$. Vậy giao điểm của $MN$ với $(ABC)$ là giao điểm của $MN$ với $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Mặt phẳng $(SAD)$ chứa đường thẳng $AD$, mặt phẳng $(SBC)$ chứa đường thẳng $BC$, và hai mặt phẳng này có điểm chung $S$. Theo tính chất: nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó. Do đó giao tuyến $d=(SAD)\cap (SBC)$ đi qua $S$ và song song với $AD$ (cũng song song với $BC$). Vậy mệnh đề đúng là $d$ qua $S$ và song song với $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa điểm $S$. Ngoài ra $I$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, nên $I\in AB\subset (SAB)$ và $I\in CD\subset (SCD)$. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung $S$ và $I$, tức là $SI$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $AD\subset (SAD)$ và $BC\subset (SBC)$, $BC\parallel (SAD)$ (vì $BC$ song song với $AD$ nằm trong $(SAD)$). Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung $S$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua $S$ và song song với $BC$, tức song song với $AD$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (mã đề 104, đáp án bảng là A):
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vế phải $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AD}$ nên hai vế không bằng nhau → đẳng thức SAI.
- B: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp) → đúng.
- C: $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ → đúng.
- D: Vế trái $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; vế phải $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → đúng.
Vậy đẳng thức sai là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 104, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại $A$. Vì $I$ là giao hai đường chéo $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ của hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ nên $I$ là trung điểm của $A^{\prime }B$, do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}}{2}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$. Trọng tâm tam giác $ABC$ cho $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}=\frac{3\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{b}-2\vec{c}}{6}=\frac{1}{6}\left(3\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}\right)$. Vậy đáp án C (độc lập kiểm tra lại, khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I$ là trung điểm của $AD$ nên $I\in (JAD)$; đồng thời $I\in (IBC)$ vì mặt phẳng $(IBC)$ chứa đường thẳng $IB$ và điểm $C$... thực chất $(IBC)$ là mặt phẳng $(IBC)$ chứa $I,B,C$. Tương tự $J$ là trung điểm của $BC$ nên $J\in (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy cả hai điểm $I,J$ đều chung của hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD)$, do đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $IJ$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
4 điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, mỗi bộ 3 điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Các mặt phẳng là: $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$. Không có mặt phẳng nào trùng nhau: nếu chẳng hạn $(ABC)=(ABD)$ thì $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc một mặt phẳng, mâu thuẫn với giả thiết không đồng phẳng. Vậy có đúng 4 mặt phẳng phân biệt. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và song song với $(BCD)$ cắt các cạnh $AC,AD$ tại $N,P$ (tương ứng). Vì $(MNP)\parallel (BCD)$ nên $MN\parallel BC$, $MP\parallel BD$, $NP\parallel CD$. Do đó tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $ABC$ với tỉ số $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$, suy ra thiết diện $MNP$ đồng dạng với tam giác $BCD$ với tỉ số $k=\frac{1}{2}$. Vậy diện tích thiết diện bằng $k^2\cdot S_{BCD}=\frac{1}{4}\cdot 16=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $BC\parallel AD\subset (SAD)$, do đó $BC\parallel (SAD)$. Mặt phẳng $(SBC)$ đi qua $BC$ và cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $d$, nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $d\parallel BC$. Giao tuyến chứa điểm chung $S$ của hai mặt phẳng, vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $BC$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng chứa điểm $S$ nên giao tuyến đi qua $S$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $AD\subset (SAD)$, do đó giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$ (cũng song song với $BC$). Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $M,N$ là trung điểm của $SA,SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD$. Vì $AD\parallel BC$ (đáy hình thang) nên $MN\parallel BC$, mà $BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$, do đó $MN\parallel (SBC)$.

b) Đúng. $O=AC\cap BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$; cũng có $S\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

c) Sai. $CD$ không song song với $AB$ (vì $ABCD$ là hình thang với $AD\parallel BC$, $AB$ cắt $CD$ khi kéo dài). Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $I=AB\cap CD$ (kéo dài), thì $I\in AB\subset (SAB)$ và $I\in CD$, nên đường thẳng $CD$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại $I$. Do đó khẳng định '$CD$ không cắt $(SAB)$' là sai.

d) Sai. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AB$ cắt $CD$ tại $I$ (kéo dài), khi đó $I\in (SAB)\cap (SCD)$, nên giao tuyến là đường thẳng $SI$, không song song với $AB$ (vì $AB$ cắt $CD$). Khẳng định là sai.

Khớp với đáp án nguồn: Câu 2. a)Đ, b)Đ, c)S, d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC\subset (SBC)$, mà $MN\not\subset (SBC)$, suy ra $MN\parallel (SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$, và $S$ cũng thuộc cả hai, nên giao tuyến là đường thẳng $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang ($AD\parallel BC$, $AD>BC$) nên $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $I$ khi kéo dài. Điểm $I\in AB\subset (SAB)$ và $I\in CD$, nên $CD$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại $I$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ đi qua $S$ và điểm $I=AB\cap CD$ (kéo dài trong mặt phẳng đáy), tức là đường thẳng $SI$, không song song với $AB$ vì $AB$ cắt $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $AD\subset (SAD)$, do đó $AD\parallel (SBC)$. Mặt phẳng $(SAD)$ chứa $AD$ và cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $d$, nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $d\parallel AD$. Hai mặt phẳng đều chứa điểm $S$ chung, nên giao tuyến đi qua $S$. Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ đều chứa điểm $A$ (vì $A\in AC\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $A\in A{B}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$). Điểm $O^{\prime }$ là giao điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$, nên $O^{\prime }\in A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $O^{\prime }\in B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt là $A$ và $O^{\prime }$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $A{O}^{\prime }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ACD$, $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel CD$. Vì $CD\subset (BCD)$ nên $IJ\parallel (BCD)$. Mặt phẳng $(GIJ)$ chứa $IJ$ và cắt $(BCD)$ theo giao tuyến đi qua $G$ (vì $G\in (BCD)$) và song song với $IJ$, tức song song với $CD$. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $O$ thuộc $BD$ nên $O\in (BED)$; $O$ cũng thuộc $AC$ nên $O\in (SAC)$. Điểm $E$ là trung điểm $SC$ nên $E\in (SC)\subset (SAC)$ và $E\in (BED)$. Vậy hai mặt phẳng $(BED)$ và $(SAC)$ cùng chứa hai điểm phân biệt $O$ và $E$, do đó giao tuyến là đường thẳng $OE$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa điểm $S$ nên giao tuyến của chúng đi qua $S$. Trong $(SAB)$ có đường thẳng $AB$, trong $(SCD)$ có đường thẳng $CD$, với $AB\parallel CD$. Theo tính chất giao tuyến: nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$), tức là $Sx$ với $Sx\parallel AB\parallel CD$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $AC$, $J$ là trung điểm $AD$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, do đó $IJ\parallel CD$. Mà $CD\subset (BCD)$ và $IJ\subset (GIJ)$, $IJ\not\subset (BCD)$, nên giao tuyến của $(GIJ)$ và $(BCD)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$ (vì $G$ là điểm chung của hai mặt phẳng). Vậy chọn C.