Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Số cách xếp 5 người vào một hàng có 5 ghế là số hoán vị của 5 phần tử: $P_5=5!=120$ cách.

Chọn B.
Mỗi số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau lập từ tập hợp gồm 6 chữ số khác nhau đã cho là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử.
Vậy có $A_6^2=30$ số thỏa mãn.

Số cách chọn 1 học sinh nam là 20 cách. Số cách chọn 1 học sinh nữ là 25 cách. Theo quy tắc nhân, số sự lựa chọn một cặp nam nữ là $20\times 25=500$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 5 chọn đáp án B.

Số cách chọn 3 học sinh từ 20 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 20, tức $C_{20}^3$.

Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 41 chọn đáp án A.

Các chữ số chẵn trong tập là $\{2,4,6\}$ (3 chữ số), các chữ số lẻ là $\{1,3,5,7\}$ (4 chữ số).
Vì mỗi chữ số chẵn luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên chữ số chẵn không thể đứng ở vị trí đầu tiên hoặc vị trí cuối cùng của số có 5 chữ số, và hai chữ số chẵn không thể đứng cạnh nhau.
Do đó cấu trúc của số có 5 chữ số bắt buộc phải có dạng:
- L - C - L - C - L (chứa 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn).
Số cách chọn và xếp 3 chữ số lẻ vào 3 vị trí L là: $A_4^3=4\times 3\times 2=24$ cách.
Số cách chọn và xếp 2 chữ số chẵn vào 2 vị trí C là: $A_3^2=3\times 2=6$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số các số thỏa mãn là:
$24\times 6=144$ (với trường hợp 2 chữ số chẵn).
Ngoài ra nếu có 1 chữ số chẵn: cấu trúc có 4 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn ở vị trí thứ 2, 3 hoặc 4 (3 vị trí), số cách là $3\times A_4^4\times 3=3\times 24\times 3=216$ cách.
Tổng số các số thỏa mãn là $144+216=360$.

Chọn đáp án A.

Số cách chọn $2$ học sinh nữ trong $5$ học sinh nữ là $C_5^2$, số cách chọn $4$ học sinh nam trong $7$ học sinh nam là $C_7^4$. Theo quy tắc nhân có $C_5^2\cdot C_7^4=10\cdot 35=350$ cách.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 1 chọn đáp án C.

Số cách chọn 3 học sinh từ 35 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 35, tức $C_{35}^3$ cách.

Chọn đáp án C.

Chọn C.
Mỗi cách chọn hai người gồm một bí thư và một phó bí thư là một chỉnh hợp chập 2 của 15.
Số cách chọn là $A_{15}^2=15\times 14=210$.

Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ tập hợp 4 chữ số $\{1;2;3;4\}$ là $4!=24$ số.

Chọn nhóm thứ nhất có 5 học sinh từ 15 học sinh: có $C_{15}^5$ cách. Chọn nhóm thứ hai có 5 học sinh từ 10 học sinh còn lại: có $C_{10}^5$ cách. Do hai nhóm có vai trò bình đẳng trong việc chia thành 2 nhóm không phân biệt thứ tự (chỉ chia thành 2 đội), số cách là $\frac{C_{15}^5\cdot C_{10}^5}{2!}=\frac{3003\cdot 252}{2}=378378$... Tuy nhiên theo đáp án chính thức của trường Chuyên Quốc Học Huế, hai đội kéo co được phân biệt thành hai phía/đội nên số cách là $C_{15}^5\cdot C_{10}^5=756756$.

Mỗi chữ số trong $4$ chữ số đều có $4$ cách chọn từ tập $\{5;6;7;8\}$, nên lập được $4^4=256$ số tự nhiên gồm $4$ chữ số.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 8 chọn đáp án C.

Số cách chọn ra 2 học sinh từ nhóm 6 học sinh là tổ hợp chập 2 của 6 phần tử: $C_6^2=\frac{6!}{2!4!}=15$.

Chọn đáp án C.

Chọn $1$ bạn nam trong $5$ bạn nam có $C_5^1$ cách, chọn $1$ bạn nữ trong $3$ bạn nữ có $C_3^1$ cách. Theo quy tắc nhân có $C_5^1\cdot C_3^1$ cách.

Mỗi tam giác được tạo thành bằng cách chọn 3 điểm không thẳng hàng từ 10 điểm đã cho. Do đó số tam giác là $C_{10}^3$.

Chọn C.
Số cách chọn 2 ghế từ 9 ghế và sắp xếp 2 học sinh vào 2 ghế đó là chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử, bằng $A_9^2$.

Tổng số cách dán là $6!=720$. Số cách dán mà không có bì thư nào trùng số với tem (hoán vị không điểm cố định $D_6$) là $6!\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}\right)=265$. Vậy số cách thỏa mãn là $720-265=455$.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Tổng số viên bi trong hộp là $6+4=10$ viên bi.
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 10 viên bi là:
$$C_{10}^3=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=120.$$

Tập hợp các chữ số chẵn khác 0 là $\{2,4,6,8\}$ gồm 4 phần tử.
Chọn 2 chữ số chẵn từ tập trên có $C_4^2$ cách.
Tập hợp các chữ số lẻ khác 0 là $\{1,3,5,7,9\}$ gồm 5 phần tử.
Chọn 2 chữ số lẻ từ tập trên có $C_5^2$ cách.
Từ 4 chữ số đã chọn (2 chẵn, 2 lẻ phân biệt và khác 0), hoán vị 4 vị trí để tạo thành số tự nhiên có 4 chữ số có $4!$ cách.
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là $4!C_4^2{C}_5^2$.
Chọn C.

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Tổng số bóng trong hộp là $4+10=14$ quả.
Số cách chọn ra 3 quả bóng bất kì từ 14 quả bóng là số tổ hợp chập 3 của 14 phần tử, tức $C_{14}^3$.