Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là số hoán vị của $5$ phần tử, bằng $5!$.

Mỗi chữ số có $4$ cách chọn nên lập được $4^3=64$ số tự nhiên có $3$ chữ số.

Chọn B.
Từ 1 đến 9 có 4 số chẵn là $\{2,4,6,8\}$.
Số cách rút 2 thẻ đều mang số chẵn từ 4 thẻ chẵn là $C_4^2$.

Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số $1,2,3,4$ là số hoán vị của 4 phần tử: $P_4=4!=24$ số.
Chọn B.

Chọn A.
Số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là $14\times 29=406$ cách.

Số cách sắp xếp 5 học sinh vào hàng dọc là số hoán vị của 5 phần tử: $P_5=5!=120$.
Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng quy tắc bù: Số cách chọn có cả nam và nữ bằng tổng số cách chọn 3 bạn trừ đi số cách chọn toàn nam hoặc toàn nữ.
Cách giải: Chọn 3 bạn bất kì từ 12 bạn: $C_{12}^3=220$ cách. Chọn 3 bạn toàn nam: $C_7^3=35$ cách. Chọn 3 bạn toàn nữ: $C_5^3=10$ cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn là $220-35-10=175$ cách.
Chọn B.

Chọn D.
Số tập con gồm 5 phần tử của tập hợp có 8 phần tử là số tổ hợp chập 5 của 8:
$$C_8^5=56.$$

Số cách xếp $10$ học sinh tùy ý là $10!$. Số cách xếp sao cho Mơ và Mộng đứng cạnh nhau là $2!\cdot 9!$. Vậy số cách xếp sao cho hai em không đứng cạnh nhau là $10!-2\cdot 9!=8\cdot 9!$.

Số cách chọn ra $2$ học sinh để bầu vào hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó từ một tổ có $10$ học sinh là số chỉnh hợp chập $2$ của $10$ phần tử, bằng $A_{10}^2$.

Chọn B.
Số cách bốc cùng lúc 4 viên bi trong một hộp có 10 viên bi khác nhau là số tổ hợp chập 4 của 10 phần tử, tức là $C_{10}^4$.

Chọn A.
Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp có 10 phần tử là số tổ hợp chập 2 của 10, tức là $C_{10}^2$.

Mỗi bộ $3$ điểm bất kỳ thuộc $P$ tạo thành một tam giác, nên số tam giác lập được là $C_7^3$.

Chọn D.
Số cách chọn $3$ học sinh bất kỳ từ $7$ học sinh (không phân biệt thứ tự) là $C_7^3$.

Chọn D.
Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lập từ 5 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 5:
$$A_5^3=\frac{5!}{2!}=60.$$

Chọn D.
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều $100$ đỉnh $A_1{A}_2\dots A_{100}$.
Tam giác tù $ABC$ có góc tù tại đỉnh $A$ khi và chỉ khi hai đỉnh $B,C$ nằm trên cùng một nửa đường tròn xác định bởi đường kính đi qua $A$ (hoặc xét theo trục đối xứng).
Xét một đỉnh $A$ bất kỳ: có $100$ cách chọn đỉnh góc tù $A$.
Qua $A$ và tâm $O$, vẽ đường thẳng chia đường tròn thành hai nửa, mỗi nửa chứa $49$ đỉnh (không kể đỉnh đối diện $A$).
Số cách chọn 2 đỉnh $B,C$ thuộc cùng một nửa đường tròn là $2\cdot C_{49}^2=2\cdot 1176=2352$.
Mỗi tam giác tù chỉ có duy nhất một góc tù, nhưng nếu tính cho 100 đỉnh thì mỗi tam giác xuất hiện đúng 1 lần (với đỉnh góc tù tương ứng chia nửa):
Số tam giác tù là: $100\cdot C_{49}^2=100\cdot 1176=117600$.

Mỗi cách chọn 9 học sinh từ 14 học sinh là một tổ hợp chập 9 của 14 phần tử, nên có $C_{14}^9$ cách chọn.
Chọn C.

Chọn A.
Một lục giác có 6 đỉnh phân biệt. Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử. Do đó có $A_6^2$ vectơ.

Số cách chọn ra 5 học sinh từ một nhóm gồm 12 học sinh là một tổ hợp chập 5 của 12 phần tử, tức là $C_{12}^5$.
Chọn A.

Chọn C.
Số cách chọn một chiếc áo là $3$ cách.
Số cách chọn một chiếc quần là $2$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một bộ quần áo là $3\times 2=6$ cách.