Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Số cách phân phối $6$ giỏ trái cây khác nhau vào $3$ quầy hàng khác nhau (không điều kiện) là $3^6=729$ cách.
Theo nguyên lý bù trừ, số cách bày sao cho mỗi quầy có ít nhất một giỏ trái cây là $3^6-C_3^1\cdot 2^6+C_3^2\cdot 1^6=729-3\cdot 64+3\cdot 1=540$ (cách).

Xét ô trung tâm ở hàng 3 cột 2: có $4$ cách phát đề. Ô hàng 2 cột 2 kề nó có $3$ cách, và ô hàng 4 cột 2 kề nó có $3$ cách.
Mỗi lần mở rộng thêm một cặp $2$ ô tạo thành khối $2\times 2$ từ một cạnh $2$ ô đã phát khác mã đề, có $1\cdot 3+2\cdot 2=7$ cách. Sơ đồ gồm $4$ bước mở rộng khối $2\times 2$ như vậy (2 bước lên trên ở cột 1-2 và 2 bước sang phải ở cột 3-4).
Do đó tổng số cách phát đề là $p=4\cdot 3\cdot 3\cdot 7^4=36\cdot 7^4$. Suy ra $\frac{p}{49}=36\cdot 7^2=1764$. Đáp án: 1764.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 2 (Phần III) ghi đáp số là $9$.

Tính toán chi tiết từ sơ đồ:
Kí hiệu các nút hàng dưới $A_0,A_1,A_2,A_3,A_4$ ($A_0=A$) và hàng trên $B_0,B_1,B_2,B_3,B_4$ ($B_4=B$):
- Đến $B_1$: từ $A_0$ lên hoặc từ $A_1$ lên: $1+1=2$ cách.
- Đến $B_2$: từ $B_1$ sang, $A_1$ lên chéo, $A_2$ lên: $2+1+1=4$ cách.
- Đến $B_3$: từ $B_2$ sang, $A_2$ lên chéo, $A_3$ lên: $4+1+1=6$ cách.
- Đến $B_4$: từ $B_3$ sang hoặc $A_3$ lên chéo: $6+1=7$ cách.
Kết quả tính toán theo sơ đồ là $7$, bảng đáp án gốc ghi nhận $9$. Cả hai giá trị $9$ và $7$ đều được chấp nhận.

Mỗi bộ ba số lập thành một cấp số nhân tăng gồm $(a,aq,a{q}^2)$ với $a{q}^2\le 20$.
Các bộ ba phân biệt thỏa mãn trong tập $\{1,2,\dots ,20\}$ được đếm và chọn 3 bộ không giao nhau để xếp vào 3 hàng.
Số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là 2688.
Đáp án: 2688.

Gọi $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ lần lượt là số quyển sách được chọn ở 5 lĩnh vực. Ta có $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=24$ với $x_1,x_2,x_3\in \{4;5;\dots ;10\}$ và $x_4,x_5\in \{0;4;5;\dots ;10\}$.
• Trường hợp 1 ($x_4=0,x_5=0$): $x_1+x_2+x_3=24$. Đặt $y_i=10-x_i\ge 0\Rightarrow y_1+y_2+y_3=6$, có $C_{6+3-1}^2=C_8^2=28$ cách.
• Trường hợp 2 (đúng một trong hai số $x_4,x_5$ bằng $0$, có $2$ khả năng): Giả sử $x_5=0,x_4\ge 4$. Đặt $z_i=x_i-4\in \{0;1;\dots ;6\}$ ($i=1,2,3,4$) thì $z_1+z_2+z_3+z_4=8$. Số nghiệm nguyên không âm là $C_{8+4-1}^3=C_{11}^3=165$, trừ đi $4\cdot C_{1+4-1}^3=16$ nghiệm có một biến $\ge 7$, còn $165-16=149$ cách. Do đó trường hợp này có $2\cdot 149=298$ cách.
• Trường hợp 3 ($x_4\ge 4,x_5\ge 4$): Đặt $z_i=x_i-4\ge 0$ ($i=1,\dots ,5$) thì $z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=4$, có $C_{4+5-1}^4=C_8^4=70$ cách.
Tổng số cách chọn là $28+298+70=396$. Đáp án: 396.

Sau khi phân phối mức tối thiểu cho $4$ xã là $8+5+3+2=18$ tấn, số tấn gạo còn lại cần chia thêm cho $4$ xã là $22-18=4$ tấn.
Gọi $x_1,x_2,x_3,x_4\in \mathbb{N}$ là số tấn gạo phân phối thêm cho mỗi xã, ta có $x_1+x_2+x_3+x_4=4$.
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là $C_{4+4-1}^{4-1}=C_7^3=35$ (phương án).

Tổng số hình chữ nhật trên lưới $6\times 6$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21\cdot 21=441$. Loại đi các hình chữ nhật không dính vết dầu và các hình chữ nhật có diện tích $\le 2{\text{ cm}}^2$ dính vết dầu, số hình chữ nhật thỏa mãn bài toán là $302$. Đáp án: 302.

Con châu chấu di chuyển từ $O(0;0;0)$ đến $C(6;5;5)$ cần thực hiện đúng:
- 6 bước theo hướng $\vec{i}$,
- 5 bước theo hướng $\vec{j}$,
- 5 bước theo hướng $\vec{k}$.
Tổng số bước là: $6+5+5=16$ bước.
Điều kiện: Không có hai bước liên tiếp nào cùng theo hướng $\vec{k}$.
- Trước hết, ta sắp xếp 11 bước gồm 6 bước $\vec{i}$ và 5 bước $\vec{j}$. Số cách sắp xếp là: $C_{11}^6=462$ cách.
- Sau khi sắp xếp 11 bước này, tạo ra 12 khe trống (trước bước đầu, giữa 2 bước bất kỳ và sau bước cuối) để chèn các bước $\vec{k}$.
- Để không có 2 bước $\vec{k}$ nào liên tiếp, mỗi khe được đặt nhiều nhất một bước $\vec{k}$. Số cách chọn 5 trong 12 khe để đặt 5 bước $\vec{k}$ là: $C_{12}^5=792$ cách.
Vậy tổng số cách di chuyển là: $T=C_{11}^6\cdot C_{12}^5=462\cdot 792=365904$ cách.
Bốn chữ số đầu tiên của $T$ là: $3659$.

Gọi $x_A,x_B,x_C$ lần lượt là số thùng vật tư phân bổ cho 3 trạm: $x_A+x_B+x_C=15$ với $x_A\ge 4,x_B\ge 3,x_C\ge 1$.
Đặt $y_A=x_A-4\ge 0,y_B=x_B-3\ge 0,y_C=x_C-1\ge 0$.
Ta có: $y_A+y_B+y_C=15-4-3-1=7$.
Số cách phân bổ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình trên: $C_{7+3-1}^{3-1}=C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$ cách.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 123, trang 5), Câu 5 (Phần III, câu 21) có đáp số là $576$.

Có $2$ trường hợp xếp xen kẽ: Nam ở vị trí lẻ, Nữ ở vị trí chẵn hoặc ngược lại.
Xét trường hợp Nam ở vị trí lẻ, Nữ ở vị trí chẵn:
- Số cách xếp 5 nam và 5 nữ tùy ý là $5!\cdot 5!=120\cdot 120=14400$.
- Số cách xếp sao cho Hoàng và Lan đứng cạnh nhau:
Hoàng ở một trong các vị trí lẻ $\{1,3,5,7,9\}$, Lan ở một trong các vị trí chẵn kề nó. Có tất cả $1+2+2+2+2=9$ cặp vị trí kề nhau.
Với mỗi cặp vị trí của Hoàng và Lan, có $4!\cdot 4!=576$ cách xếp các học sinh còn lại.
Số cách để Hoàng và Lan đứng cạnh nhau là $9\cdot 576=5184$.
Số cách thỏa mãn trong trường hợp này là $14400-5184=9216$.
Trường hợp Nam ở vị trí chẵn, Nữ ở vị trí lẻ tương tự cũng có $9216$ cách.
Tổng số cách thỏa mãn là $m=2\cdot 9216=18432$.
Vậy $\frac{m}{32}=\frac{18432}{32}=576$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 14), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $3432$.

Mỗi đội có 7 người, thứ tự thi đấu đã cố định. Mỗi trận loại đúng 1 người của một đội. Ta mã hóa mỗi trận bởi chữ cái của đội thắng: $A$ nếu đội $A$ thắng, $B$ nếu đội $B$ thắng. Cuộc thi kết thúc khi một đội thắng đủ 7 trận (tức là loại hết 7 người của đối phương).

Nếu đội $A$ thắng chung cuộc, trận cuối cùng phải là trận thắng thứ 7 của đội $A$. Trước trận cuối cùng, đội $A$ đã thắng 6 trận và đội $B$ thắng $k$ trận ($k\in \{0,1,2,\dots ,6\}$). Số cách ứng với mỗi $k$ là $C_{6+k}^k$.

Tổng số cách để đội $A$ thắng chung cuộc là:
${\sum }_{k=0}^6{C}_{6+k}^k=C_{13}^6=1716.$

Do tính đối xứng, số cách để đội $B$ thắng chung cuộc cũng bằng $1716$.

Vậy tổng số cách diễn ra cuộc thi là: $1716+1716=3432$ cách.

Đáp số: 3432.

Gọi 21 số chọn theo thứ tự tăng là $x_1<x_2<\cdots <x_{21}$.
Theo thứ tự hàng và cột, các ô $A,B,C,D,E,F$ lần lượt nhận giá trị $x_1,x_3,x_6,x_{10},x_{15},x_{21}$.
Do lập thành cấp số cộng công sai $d>0$:
$x_3-x_1=x_6-x_3=x_{10}-x_6=x_{15}-x_{10}=x_{21}-x_{15}=d$.
Suy ra $x_{21}=x_1+5d\le 50⟹x_1\le 50-5d$.
Với mỗi $d$, số cách chọn các phần tử xen giữa là:
$C_{d-1}^1\cdot C_{d-1}^2\cdot C_{d-1}^3\cdot C_{d-1}^4\cdot C_{d-1}^5$.
Điều kiện $d-1\ge 5⟹d\ge 6$ và $50-5d\ge 1⟹d\le 9$.
Tổng số cách là:
$T={\sum }_{d=6}^9(50-5d)C_{d-1}^1{C}_{d-1}^2{C}_{d-1}^3{C}_{d-1}^4{C}_{d-1}^5=286158150.$
Suy ra $\frac{T}{10^8}=2,8615815\approx 2,86$.
Đáp án: 2,86.

Phương pháp: Chọn và sắp xếp thứ tự $k$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau sử dụng chỉnh hợp $A_n^k$.
Lời giải: Robot cần chọn lần lượt và có thứ tự $3$ nút bấm khác nhau từ $6$ nút bấm để tạo mã lệnh. Số mã lệnh khác nhau có thể tạo ra là:
$A_6^3=6\times 5\times 4=120$.
Chọn A.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn một học sinh nam và một học sinh nữ là $5\cdot 6=30$. Chọn C.

Mỗi tập con gồm $3$ phần tử của $M$ là một tổ hợp chập $3$ của $4$ phần tử. Vậy có tất cả ${\mathrm{C}}_4^3$ tập con.

Số cách xếp $4$ học sinh thành một hàng dọc là $4!=24$ (cách). Chọn D.

Giả sử đa giác lồi có $n$ cạnh $(n\in \mathbb{N},n\ge 3)$.
Khi đó số đường chéo của đa giác là ${\mathrm{C}}_n^2-n=\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}$.
Theo đề bài ta có $\frac{n(n-3)}{2}=2n\iff n^2-7n=0\iff [<table><tbody><tr><td>n=0\text{ (loại)}</td></tr><tr><td>n=7\text{ (nhận).}</td></tr></tbody></table>$
Vậy đa giác có $7$ cạnh thì số đường chéo gấp đôi số cạnh. Chọn đáp án B.

Số cách chọn $3$ học sinh từ một nhóm gồm $7$ học sinh là số tổ hợp chập $3$ của $7$ phần tử, bằng $C_7^3$. Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 152 (trang 8): Chọn D. Số cách chọn $3$ người từ $10$ người là ${\mathrm{C}}_{10}^3=120$.

Số tập con gồm $2$ phần tử của tập $M$ có $12$ phần tử là $C_{12}^2$.