Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: trên $[-1;0]$, đồ thị nằm trên trục hoành nên ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)dx=S_K=1$, do đó $f(0)-f(-1)=1\Rightarrow f(0)=10+1=11$. Trên $[0;2]$, đồ thị nằm dưới trục hoành nên ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=-S_H=-5$, do đó $f(2)-f(0)=-5\Rightarrow f(2)=11-5=6$. Vậy $f(0)+3f(2)=11+3\cdot 6=29$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (29).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với đỉnh parabol tại $(0;6)$, chân cổng cắt trục hoành tại $x=\pm 2$. Parabol có dạng $y=6-a{x}^2$; thay $x=2,y=0$: $a=6/4=1,5$. Vậy $y=6-\frac{3}{2}{x}^2$. Diện tích cổng chào: $S={\int }_{-2}^2\left(6-\frac{3}{2}{x}^2\right)dx={\left[6x-\frac{1}{2}{x}^3\right]}_{-2}^2=(12-4)-(-12+4)=16m^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 16.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+4x+1}{x+4}=x+\frac{1}{x+4}$ (chia đa thức: $x^2+4x+1=x(x+4)+1$).

a) Thể tích: $V=\pi {\int }_1^2{\left(x+\frac{1}{x+4}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(x^2+\frac{2x}{x+4}+\frac{1}{(x+4{)}^2}\right)dx$. Tính từng phần: ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{7}{3}$; ${\int }_1^2\frac{2x}{x+4}dx={\int }_1^2\left(2-\frac{8}{x+4}\right)dx=2-8\ln \frac{6}{5}$; ${\int }_1^2\frac{dx}{(x+4{)}^2}={\left[-\frac{1}{x+4}\right]}_1^2=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$. Tổng: $\frac{7}{3}+2+\frac{1}{30}-8\ln \frac{6}{5}=\frac{131}{30}-8\ln \frac{6}{5}\approx 4,3667-1,4586\approx 2,9081$. Vậy $V\approx \pi \cdot 2,9081\approx 9,136\approx 9,1$. Đúng.

b) ${\int }_1^{2}f(x)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln |x+4|\right]}_1^2=\left(2+\ln 6\right)-\left(\frac{1}{2}+\ln 5\right)=\frac{3}{2}+\ln \frac{6}{5}$. Đúng.

c) Vì $f(x)=x+\frac{1}{x+4}$ nên một nguyên hàm là $\frac{x^2}{2}+\ln |x+4|$. Đúng.

d) Trên $[2;3]$, $f(x)>0$ nên diện tích $S={\int }_2^{3}f(x)dx=\left(\frac{9}{2}+\ln 7\right)-\left(2+\ln 6\right)=\frac{5}{2}+\ln \frac{7}{6}\approx 2,654\ne \ln 3+\ln 2\approx 1,792$. Sai.

Khớp với bảng đáp án mã đề 1201, dòng 14: D D D S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^2{\left(x+\frac{1}{x+4}\right)}^{2}dx=\pi \left(\frac{131}{30}-8\ln \frac{6}{5}\right)\approx 9,136\approx 9,1$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x+4}\right)dx=\frac{3}{2}+\ln \frac{6}{5}$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+\frac{1}{x+4}$ nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln |x+4|$ là một nguyên hàm. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_2^{3}f(x)dx=\frac{5}{2}+\ln \frac{7}{6}\approx 2,654\ne \ln 3+\ln 2\approx 1,792$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên [-1;0] f'(x)≥0 với diện tích (K)=5/12; trên [0;2] f'(x)≤0 với diện tích (H)=8/3. Ta có f(0)=f(-1)+∫_{-1}^{0}f'(x)dx=19/12+5/12=2. Tiếp theo f(2)=f(0)+∫_{0}^{2}f'(x)dx=2−8/3=−2/3. Vậy f(0)−3f(2)=2−3·(−2/3)=2+2=4, khớp với đáp án nguồn (mã 1201, câu 19 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đáy cửa hầm rộng 8 m, chiều cao 8 m. Đặt hệ trục Oxy với gốc tại trung điểm đáy, parabol có đỉnh (0; 8) và cắt trục hoành tại x = ±4, nên y = ax² + 8; thay (4; 0): 16a + 8 = 0 ⇒ a = -1/2, tức y = 8 - x²/2. Diện tích: S = ∫_{-4}^{4} (8 - x²/2) dx = [8x - x³/6]_{-4}^{4} = (32 - 64/6) - (-32 + 64/6) = 64 - 128/6 = 128/3 ≈ 42,7 m². Kết quả khớp với đáp án nguồn 42,7 (mã đề 1201, câu 20).

(AI giải đề cho tôi)
$2^x=4$ khi $x=2$. Trên $[0;2]$: $|2^x-4|=4-2^x$, tích phân bằng $8-\frac{4-1}{\ln 2}=8-\frac{3}{\ln 2}$. Trên $[2;5]$: $|2^x-4|=2^x-4$, tích phân bằng $\frac{32-4}{\ln 2}-12=\frac{28}{\ln 2}-12$. Tổng: ${\int }_0^5|2^x-4|dx=-4+\frac{25}{\ln 2}$. Vậy $a=-4$, $b=25$, $c=1$, $P=16+625+1=642$, khớp đáp án nguồn.

Gọi $S_1$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=a,x=0$ thì $S_1={\int }_a^0\left|f(x)\right|dx=-{\int }_a^{0}f(x)dx=-\left(\frac{-22}{13}\right)=\frac{22}{13};\left(f(x)\le 0,\forall x\in [a;0]\right)$

Gọi $S_2$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=0,x=b$ thì $S_2={\int }_0^b\left|f(x)\right|dx={\int }_0^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{0}f(x)dx=-\left(\frac{-24}{13}\right)=\frac{24}{13};\left(f(x)\ge 0,\forall x\in [0;b]\right)$ (đối cân)

Kết luận: $S=S_1+S_2=\frac{22}{13}+\frac{24}{13}=\frac{46}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tại x=2 (nơi 2^x=4): I = ∫₀²(4−2^x)dx + ∫₂³(2^x−4)dx. Phần một: [4x − 2^x/ln2]₀² = 8 − 4/ln2 + 1/ln2 = 8 − 3/ln2. Phần hai: [2^x/ln2 − 4x]₂³ = 8/ln2 − 12 − 4/ln2 + 8 = 4/ln2 − 4. Cộng lại I = 4 + 1/ln2, vậy a=4, b=1, c=1, P = 16+1+1 = 18, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O(0;0)$, $A(10;0)$, $C(0;10)$, $B(10;10)$. Vì khoảng cách từ $M$ đến $OA$ và $OC$ đều bằng 4 nên $M(4;4)$.

Parabol $(P_1)$ đi qua $O,A,M$ có dạng $y=a{x}^2+bx$ (đi qua $O$). Qua $A$: $100a+10b=0\Rightarrow b=-10a$. Qua $M$: $16a+4b=4\Rightarrow 16a-40a=4\Rightarrow a=-\frac{1}{6}$, $b=\frac{5}{3}$. Vậy $y_1=\frac{10x-x^2}{6}$.

Parabol $(P_2)$ đi qua $O,C,M$ có dạng $x=\frac{10y-y^2}{6}$ (hoàn toàn tương tự theo $y$).

Phần không tô đậm là phần chứa $O$, giới hạn bởi cạnh $OC$, cạnh $OA$ và đường gấp khúc gồm $(P_2)$ từ $C$ đến $M$ và $(P_1)$ từ $M$ đến $A$. Do $(P_2)$ chỉ có nhánh qua $M$ với $x=x_2(y)$ khi $y\ge 4$ và $(P_1)$ có $y=y_1(x)$ khi $x\ge 4$, phần không tô đậm gồm:
- hình vuông nhỏ $[0;4]\times [0;4]$ (phần chứa $O$ bên dưới trái điểm $M$): diện tích $16$;
- vùng dưới $(P_1)$ từ $x=4$ đến $x=10$: ${\int }_4^{10}\frac{10x-x^2}{6}dx={\left[\frac{5x^2}{6}-\frac{x^3}{18}\right]}_4^{10}=\left(\frac{500}{6}-\frac{1000}{18}\right)-\left(\frac{80}{6}-\frac{64}{18}\right)=18$;
- vùng bên trái $(P_2)$ từ $y=4$ đến $y=10$: do đối xứng cũng bằng $18$.

Diện tích không tô đậm: $16+18+18=52$.

Diện tích phần tô đậm: $100-52=48$ (diện tích đơn vị).

So sánh với đáp án nguồn (48): khớp.

Gọi $S_1$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=a,x=0$ (0,5) thì $S_1=\underset{a}{\overset{0}{\int }}|f(x)|dx=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=-\left(\frac{-22}{13}\right)=\frac{22}{13}$; $(f(x)\le 0,\forall x\in [a;0])$

Gọi $S_2$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=0,x=b$ (0,25) thì $S_2=\underset{0}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx=\underset{0}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=-\left(\frac{-25}{13}\right)=\frac{25}{13}$; $(f(x)\ge 0,\forall x\in [0;b])$ (đổi cận) (0,25)

Kết luận: $S=S_1+S_2=\frac{22}{13}+\frac{25}{13}=\frac{47}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước đến chiều cao $x$ là $V(x)=\pi {\int }_0^x(10+\sqrt{t}{)}^{2}dt=\pi \left(100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}\right)$. Thể tích cả chậu: $V(16)=\pi \left(1600+\frac{40}{3}\cdot 64+128\right)=\frac{7744\pi }{3}$. Cần $100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}=\frac{3872}{3}\approx 1290,667$. Giải bằng phương pháp số (hàm tăng ngặt trên $[0;16]$): thử $x=8,94$ cho vế trái $\approx 1290,39$; $x=8,95$ cho $\approx 1291,23$; nghiệm $x\approx 8,942$, làm tròn đến hàng phần trăm là $x\approx 8,94$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn (8,94).

(AI giải đề cho tôi)
a) $S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx=\frac{(0,7{)}^2-1}{\ln 0,7}=\frac{-0,51}{-0,356675}\approx 1,4298\approx 1,43$ → Đúng.
b) Trên $[1;2]$, $f(x)\ge g(x)$ nên $V=\pi {\int }_1^2\left[(x+1{)}^2-(0,7{)}^{2x}\right]dx=\pi {\left[\frac{(x+1{)}^3}{3}-\frac{0,49^x}{\ln 0,49}\right]}_1^2=\pi \left(\frac{27-8}{3}-(0,2401-0,49)/\ln 0,49\right)\approx \pi (6,3333-0,3504)\approx 18,8$ → Đúng.
c) $V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{1}{3}=\frac{\pi }{3}\ne 9\pi$ → Sai.
d) $S={\int }_1^4\left[(x+1)-(0,7{)}^x\right]dx={\left[\frac{x^2}{2}+x-\frac{0,7^x}{\ln 0,7}\right]}_1^4=(12-0,67318)-(1,5-1,96271)\approx 9,21\ne 9,12$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 404, Câu 1): ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx=\frac{0,49-1}{\ln 0,7}\approx 1,43$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V=\pi {\int }_1^2[(x+1{)}^2-0,49^x]dx\approx \pi (6,3333-0,3504)\approx 18,8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\frac{\pi }{3}\ne 9\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S={\int }_1^4[(x+1)-0,7^x]dx\approx 9,21\ne 9,12$.

Đáp án: 3200.
Lời giải chi tiết: Diện tích của phần sân chơi bằng diện tích của hình chữ nhật trừ đi diện tích của hai phần trồng hoa.
Diện tích của hình chữ nhật là: $60\cdot 80=4800m^2$.
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng diện tích của một parabol.
Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.



Phương trình parabol bên dưới có dạng: $y=a{x}^2+b$ (vì đỉnh parabol thuộc trục tung).
Ta có $\{\begin{array}{l}y(0)=20\\ y(30)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=20\\ a.30^2+20=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{45}\\ b=20\end{array}$.
Phương trình Parabol dưới là $y=-\frac{1}{45}{x}^2+20$
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng: $\underset{-30}{\overset{30}{\int }}\left(-\frac{1}{45}{x}^2+20\right)dx=800({\mathrm{m}}^2)$
Diện tích của phần sân chơi là: $4800-2.800=3200({\mathrm{m}}^2)$.

Đáp án: 1280.
Lời giải chi tiết: Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục như hình vẽ. Ta thấy Parabol đi qua các điểm $A(-4;8)$, $B(4;8)$, $C(0;0)$ nên có phương trình $y=\frac{1}{2}{x}^2$. Diện tích phần mặt cắt tính như sau:


$$S=S_{hv}-\underset{-4}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{2}{x}^{2}dx=64-\frac{64}{3}=\frac{128}{3}\left({\mathrm{dm}}^2\right)$$
Do đó thể tích của bồn bằng $V=\underset{0}{\overset{30}{\int }}Sdx=\underset{0}{\overset{30}{\int }}\frac{128}{3}dx=1280\left({\mathrm{dm}}^3\right)$.

Đáp án: 27.
Lời giải chi tiết: Ta có $$\underset{-\frac{\pi }{3}}{\overset{\pi }{\int }}\left(\sqrt{2}\sin x-9\cos x\right)dx=\left(-\sqrt{2}\cos x-9\sin x\right){|}_{-\frac{\pi }{3}}^{\pi }=\frac{3\sqrt{2}-9\sqrt{3}}{2}$$ Suy ra $a=3;b=9\Rightarrow P=27$.

Đáp án: 13.
Lời giải chi tiết: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:
$$S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4\right|dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$$
$$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+4\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-4\right)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+4x\right){|}_{-2}^2+\left(\frac{x^3}{3}-4x\right){|}_2^3$$
$$=13(\text{dvdt}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(x)=1$ trên $[0;3]$ và $f$ là đoạn thẳng từ $(3;1)$ đến $(4;3)$. Do đó ${\int }_0^{4}f(x)dx=3\cdot 1+\frac{1+3}{2}\cdot 1=5$. Ngoài ra ${\int }_0^4\sqrt{16-x^2}dx$ là diện tích phần tư đường tròn bán kính 4 nên bằng $\frac{16\pi }{4}=4\pi$. Vậy ${\int }_0^4(\sqrt{16-x^2}+2f(x))dx=4\pi +10=m\pi +n$ với $m=4,n=10$, suy ra $m+n=14$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: 14).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(x)=2$ trên $[0;3]$, và $f(x)$ là đoạn thẳng từ $(3;2)$ đến $(5;4)$, tức $f(x)=x-1$ trên $[3;5]$.
${\int }_0^{5}f(x)dx=2\cdot 3+\frac{(2+4)}{2}\cdot 2=6+6=12$.
${\int }_0^5\sqrt{25-x^2}dx=\frac{25\pi }{4}$ (diện tích phần tư đường tròn bán kính 5).
Vậy ${\int }_0^5(\sqrt{25-x^2}+3f(x))dx=\frac{25\pi }{4}+36$, nên $a=25,b=4,c=36$, $a+b+c=65$. Khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x+3$, nguyên hàm $F(x)=x^2+3x+C$.
a) Đúng. Chọn $F(x)=x^2+3x-2$ (thỏa $F(1)=2$). Thể tích $V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^3(x^4+6x^3+5x^2-12x+4)dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}+\frac{3x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-6x^2+4x\right]}_1^3=\pi \left(\frac{2576}{15}\right)=\frac{2576\pi }{15}$.
b) Sai. Nếu $F(1)=2$ thì $1+3+C=2\Rightarrow C=-2$, nên $F(x)=x^2+3x-2$, không phải $x^2+3x+2$.
c) Sai. $f(x)=0\iff x=-\frac{3}{2}$. Diện tích $S={\int }_{-2}^{-1.5}-(2x+3)dx+{\int }_{-1.5}^1(2x+3)dx=\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{13}{2}=6,5\ne 6$.
d) Đúng. ${\int }_0^2(2x+3)dx=[x^2+3x{]}_0^2=10$; ${\int }_5^2(2x+3)dx=[x^2+3x{]}_5^2=10-40=-30$; ${\int }_{-1}^0(2x+3)dx=0-(1-3)=2$. Tổng $=10-(-30)+2=42$. Khớp đáp án nguồn (đề 0002: 3a Đ, 3b S, 3c S, 3d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $F(x)=x^2+3x-2$, $V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\frac{2576\pi }{15}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=2\Rightarrow C=-2$, nên $F(x)=x^2+3x-2\ne x^2+3x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $=\frac{13}{2}=6,5\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$10-(-30)+2=42$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với A(0,0), B(80,0), trục Ox dọc theo mép trên AB, chiều dương Oy hướng xuống. Chiều sâu (dài) gầu là 120 cm.

Đường cong AC là cung parabol có đỉnh tại $x=30$, độ sâu lớn nhất 22,5 cm (theo kích thước 30, 10, 22,5 trên hình) và đi qua A(0,0). Phương trình dạng $y=a(x-30{)}^2+22,5$; thay A(0,0): $900a+22,5=0\Rightarrow a=-\frac{1}{40}$, tức $y=22,5-\frac{(x-30{)}^2}{40}$.

Kiểm tra tại C(40, y): $y=22,5-\frac{100}{40}=20$, đúng với kích thước 20 cm ở cạnh B (C cách B theo phương thẳng đứng 20 cm).

Diện tích phần cong (giữa đoạn AB và cung AC, với x từ 0 đến 40):
$$S_1={\int }_0^{40}\left(22,5-\frac{(x-30{)}^2}{40}\right)dx=22,5\cdot 40-{\left[\frac{(x-30{)}^3}{120}\right]}_0^{40}=900-\frac{10000-(-27000)}{120}=900-\frac{37000}{120}=\frac{2000}{3}{\text{cm}}^2.$$

Diện tích phần tam giác dưới đoạn BC (đáy 40 cm, chiều cao 20 cm): $S_2=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 20=400{\text{cm}}^2$.

Tổng diện tích mặt cắt ngang: $S=\frac{2000}{3}+400=\frac{3200}{3}{\text{cm}}^2$.

Thể tích gầu (chiều dài 120 cm): $V=\frac{3200}{3}\cdot 120=128000{\text{cm}}^3=128\text{lıˊt}$.

Kết quả khớp với đáp án 128 ở trang đáp án.