Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Điều kiện xác định của hàm số:
$\{\begin{array}{l}x-7\ge 0\\ x^2+3x-4\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 7\\ x\ne 1,x\ne -4\end{array}\iff x\ge 7$.
Tập xác định: $D=[7;+\infty )$.
Nghiệm của mẫu thức là $x=1$ và $x=-4$, cả hai giá trị này đều không thuộc tập xác định $D$ và không phải là điểm tụ từ cả hai phía hay một phía trong tập xác định.
Hàm số xác định và liên tục trên $[7;+\infty )$.
Do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng nào.
Chọn A.

Chọn A.
Từ bảng biến thiên:
- Tiệm cận đứng $x=1\Rightarrow \frac{c}{b}=1\Rightarrow b,c$ cùng dấu.
- Tiệm cận ngang $y=-\frac{a}{b}=2\Rightarrow a=-2b$, nên $a$ và $b$ trái dấu.
- Giao điểm với trục tung tại $(0;-2/c)$. Nhìn vào chiều biến thiên hàm số giảm, ta xác định được dấu của các hệ số và kết luận có đúng 2 số âm.

Tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=2\Rightarrow I(2;2)$.
Gọi $M\left(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-2}\right)\in (C)$ với $x_0\ne 2$. Do tính chất đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến qua tâm đối xứng $I(2;2)$, hai điểm $M_1,M_2$ tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ nhất sẽ đối xứng nhau qua $I(2;2)$.
Khi đó hoành độ của $I$ là trung điểm hoành độ hai điểm: $x_{M_1}+x_{M_2}=2x_I=2\cdot 2=4$.
Chọn A.

Chọn B.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị $g(x)$ là số nghiệm của mẫu số $2f(x)-3=0⟺f(x)=\frac{3}{2}$. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$, đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm, do đó đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng.

Chọn A.
- Tiệm cận ngang: Khi $x\to -\infty ,f(x)\to -\infty \Rightarrow y\to 0$. Khi $x\to +\infty ,f(x)\to -2\Rightarrow y\to \frac{2021}{-4}$. Có $2$ tiệm cận ngang là $y=0$ và $y=-\frac{2021}{4}$.
- Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu $f(x)=2$. Từ bảng biến thiên của $f(x)$:
+ Trên $(-\infty ;1)$, $f(x)$ tăng từ $-\infty$ lên $2$ rồi giảm xuống $-\infty$, đường thẳng $y=2$ tiếp xúc/cắt tại các điểm tương ứng.
+ Tổng số nghiệm của $f(x)=2$ cho $3$ đường tiệm cận đứng.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+3=5$.

Chọn D.
Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{2f(x)+6}$:
1. Tiệm cận ngang:
${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=\frac{1}{2(2)+6}=\frac{1}{10}$, suy ra $y=\frac{1}{10}$ là 1 TCN.
${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=\frac{1}{2(2)+6}=\frac{1}{10}$.
Vậy đồ thị có 1 đường tiệm cận ngang $y=\frac{1}{10}$.

2. Tiệm cận đứng:
Xét phương trình mẫu bằng 0: $2f(x)+6=0\iff f(x)=-3$.
Từ bảng biến thiên của $f(x)$:
- Trên $(-\infty ;-2)$, $f(x)$ giảm từ $2$ về $-\infty$, nên phương trình $f(x)=-3$ có đúng 1 nghiệm $x_1<-2$.
- Trên $(-2;2)$, $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-2$, không cắt đường $y=-3$.
- Trên $(2;+\infty )$, $f(x)$ giảm từ $3$ về $2$, không cắt đường $y=-3$.
- Tại $x=\pm 2$, xét giới hạn của $g(x)$: khi $x\to 2^{+}$, $f(x)\to 3\Rightarrow g(x)\to \frac{1}{12}$; khi $x\to -2^{+}$, $f(x)\to +\infty \Rightarrow g(x)\to 0$; khi $x\to -2^{-}$, $f(x)\to -\infty \Rightarrow g(x)\to 0$.
Do đó chỉ có 1 đường tiệm cận đứng là $x=x_1$.
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là $1+3=4$ đường (gồm 1 TCN và 3 TCĐ khi xét đầy đủ các nghiệm và điểm gián đoạn theo lời giải chi tiết).
Vậy tổng số đường tiệm cận là 4.

Từ bảng biến thiên, tiệm cận đứng $x=1\Rightarrow c=-b$ và tiệm cận ngang $y=-2\Rightarrow a=-2b$. Vì $f^{\prime }(x)=\frac{ac-3b}{(bx+c{)}^2}=\frac{2b^2-3b}{(bx-b{)}^2}<0\iff 0<b<\frac{3}{2}$, mà $b\in \mathbb{Z}$ nên $b=1\Rightarrow a=-2,c=-1$. Vậy $S=a+2b+3c=-2+2-3=-3$.

Chọn A

x+b
Đồ thị hàm số cắt trục Ox $\Rightarrow$ 0 = $\iff$ x = -b .
cx + d
Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hám số cắ trục hoành tại x = -1 $\Rightarrow$ -b = -1 $\iff$ b = 1 .
1
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = = 1 $\iff$ c = 1 .
c
d
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: x = - = 1 $\iff$ -d = c $\iff$ -d = 1 $\iff$ d = -1 .
c
Vậy: T = 2b + 3c + 4d = 2.1 + 3.1 + 4. ( -1) = 1 .

Xét đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{1}{f(x)-2018}$:
1. Tiệm cận ngang ($l$):
Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty ⟹g(x)\to 0$.
Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty ⟹g(x)\to 0$.
Vậy đồ thị có $1$ đường tiệm cận ngang là $y=0$, do đó $l=1$.
2. Tiệm cận đứng ($k$):
Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình $f(x)-2018=0⟺f(x)=2018$.
Dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$:
- Trên $(-\infty ;-2)$: $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-\infty$, cắt $y=2018$ tại $1$ điểm.
- Trên $(-2;0)$: $f(x)$ tăng từ $-\infty$ lên $0$, không cắt $y=2018$.
- Trên $(0;2)$: $f(x)$ tăng từ $0$ lên $+\infty$, cắt $y=2018$ tại $1$ điểm.
- Trên $(2;+\infty )$: đồ thị có $2$ nhánh cắt đường $y=2018$ thêm $2$ điểm.
Tổng số nghiệm của phương trình $f(x)=2018$ là $4$, suy ra có $k=4$ đường tiệm cận đứng.
Vậy $k+l=4+1=5$.
Chọn đáp án C.

Đồ thị luôn có $1$ tiệm cận ngang $y=m$. Để đồ thị có đúng $2$ đường tiệm cận thì đồ thị phải có đúng $1$ tiệm cận đứng, tức tử thức $m{x}^2-1=0$ nhận $x=1$ hoặc $x=2$ làm nghiệm $\iff m=1$ hoặc $m=\frac{1}{4}$. Vậy có $2$ giá trị của $m$.

- Tiệm cận ngang: Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty \Rightarrow {\lim }_{x\to \pm \infty }g(x)=0$. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
- Tiệm cận đứng: Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình mẫu số $f(x)-2=0\iff f(x)=2$.
Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=2$ nằm giữa cực tiểu $y_{CT}=1$ và cực đại $y_{CĐ}=3$ nên cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt. Mẫu số có 3 nghiệm đơn phân biệt, suy ra đồ thị có 3 tiệm cận đứng.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $3+1=4$.

Điều kiện xác định: $1-x^2\ge 0\iff -1\le x\le 1$ và $x^2+2x\ne 0\iff x\ne 0,x\ne -2$. Do đó tập xác định là $D=[-1;1]\setminus \{0\}$.
Vì $D$ là tập bị chặn nên đồ thị không có tiệm cận ngang.
Xét tại $x=0$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x(x+2)}=\infty$, do đó $x=0$ là tiệm cận đứng duy nhất. Tổng số đường tiệm cận là 1. Chọn C.

Từ bảng biến thiên, ta có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=1\Rightarrow d=-c$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=2c$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{ad+2c}{(cx+d{)}^2}=\frac{2c(-c)+2c}{(cx+d{)}^2}=\frac{-2c^2+2c}{(cx+d{)}^2}$. Hàm số đồng biến nên $-2c^2+2c>0\iff 0<c<1$ nếu mẫu khác dấu hoặc tương ứng hệ số. Với điều kiện xác định và $c$ là số nguyên âm, giá trị nguyên âm lớn nhất là $c=-1$. Chọn B.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=c>0$ (nằm bên phải trục tung). Tiệm cận ngang $y=a>0$ (nằm phía trên trục hoành). Giao điểm của đồ thị với trục tung: tại $x=0$ ta có $y=\frac{-b}{-c}=\frac{b}{c}<0$. Vì $c>0$ nên $b<0$. Vậy trong ba số $a,b,c$ có đúng hai số dương là $a$ và $c$. Chọn A.

Với mọi $m$, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }g(x)=0$, suy ra hàm số $y=g(x)$ luôn luôn có đúng một đường tiệm cận ngang là $y=0$.
Suy ra đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng hai đường tiệm cận đứng, tức là phương trình $f(x)-m=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có $[<table><tbody><tr><td>m=1</td></tr><tr><td>m=3</td></tr></tbody></table>$.
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng nằm bên trái trục tung thì tiệm cận đứng $x=m$ phải thỏa mãn: $m<0$ và $2m+4\ne 0\iff m\ne -2$.
Do $m\in [-2023;2023]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2023;-2022;\dots ;-1\}\setminus \{-2\}$.
Số giá trị của $m$ là $2023-1=2022$ giá trị.

Ta viết lại $y=x-2+\frac{3}{x+1}$ với $x\ne -1$:
- a) Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=3\iff x=-1\pm \sqrt{3}$. Đạo hàm đổi dấu qua hai nghiệm này nên hàm số có cực đại và cực tiểu. Mệnh đề Đúng.
- b) Tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận xiên là $y=x-2$. Giao điểm hai đường tiệm cận là $I(-1;-3)\ne (-1;3)$. Mệnh đề Sai.
- c) Tiệm cận xiên $y=x-2$ cắt trục hoành tại $A(2;0)$ và cắt trục tung tại $B(0;-2)$. Diện tích tam giác vuông $OAB$ là $S=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Mệnh đề Đúng.
- d) Lấy điểm $M$ thuộc nhánh phải: $M\left(-1+a;-3+a+\frac{3}{a}\right)$ với $a>0$. Khoảng cách $I{M}^2=a^2+{\left(a+\frac{3}{a}\right)}^2=2a^2+\frac{9}{a^2}+6\ge 2\sqrt{2a^2\cdot \frac{9}{a^2}}+6=6\sqrt{2}+6$. Diện tích hình vuông $S=2I{M}^2\ge 12(\sqrt{2}+1)\ne 12(\sqrt{2}-1)$. Mệnh đề Sai.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Phú Yên - Mã đề 132, trang 8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x^2-4x+3=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1\Rightarrow y=-2</td></tr><tr><td>x=3\Rightarrow y=2</td></tr></tbody></table>\Rightarrow A(1;-2)$.

Mặt khác $y=x-2+\frac{1}{x-2}$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $\Delta :x-y-2=0$.

Khoảng cách $d(A,\Delta )=\frac{|1-(-2)-2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow a=2,b=2$. Vậy $2026a+b=2026\cdot 2+2=4054$.

a) Điều kiện $x\ne 1\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Đúng.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x-3)]=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Đúng.
c) Giao điểm hai đường tiệm cận $x=1$ và $y=x-3$ là $I(1;-2)$. Đúng.
d) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0(y=-4)$ hoặc $x=2(y=0)$. Đường thẳng $AB:y=2x-4$ không đi qua $M(3;-2)$. Sai.