Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Phương trình $f(x)-2=0⟺f(x)=2$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=2$.
Từ hình vẽ, điểm cực đại có tung độ bằng $2$ và điểm cực tiểu có tung độ bằng $-2$.
Đường thẳng $y=2$ đi qua điểm cực đại và cắt một nhánh khác của đồ thị, tổng cộng tại 3 điểm phân biệt (trong đó có 1 điểm tiếp xúc và 2 giao điểm, hoặc cắt tại 3 điểm).
Do đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{2x+1}{x-1}=2x+2020(x\ne 1)$
$⟺2x+1=(2x+2020)(x-1)⟺2x+1=2x^2+2018x-2020$
$⟺2x^2+2016x-2021=0$.
Phương trình bậc hai có hệ số $a=2>0$ và $c=-2021<0⟹ac<0$, nên luôn có 2 nghiệm thực phân biệt khác 1.
Vậy có 2 giao điểm.

Ta có $2f(x)=5\iff f(x)=\frac{5}{2}=2,5$. Theo bảng đáp án chính thức (Đề 851), đáp án là D ($2$).

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-4x+7=(2x-4)(x-1)\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$ (thỏa mãn $x\ne 1$). Vậy có $2$ giao điểm.

Ta có $2f(x)+5=0\iff f(x)=-\frac{5}{2}<-2$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=-\frac{5}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $2$ điểm phân biệt nên phương trình có $2$ nghiệm thực.

Từ bảng biến thiên của hàm số:
- Trên khoảng $(-\infty ;0)$, giá trị của $f(x)$ đi từ $-\infty$ lên cực đại tại $y=3$, sau đó giảm xuống $-\infty$. Vì $3<5$ nên đường thẳng $y=5$ không cắt nhánh đồ thị này.
- Trên khoảng $(0;+\infty )$, giá trị của $f(x)$ giảm từ $+\infty$ xuống cực tiểu tại $y=2$, rồi tăng lên $+\infty$. Vì $5>2$ nên đường thẳng $y=5$ cắt nhánh đồ thị này tại đúng 1 điểm (hoặc 2 điểm? Nhìn kỹ bảng biến thiên: $f(x)$ đi từ 2 lên $+\infty$, nên cắt tại đúng 1 điểm).
Do đó phương trình $f(x)=5$ có đúng 1 nghiệm.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x^2+4=-4x+8⟺x^3-3x^2+4x-4=0⟺(x-2)(x^2-x+2)=0$.
Vì $x^2-x+2={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ với mọi $x$, nên phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.
Vậy hai đồ thị có đúng 1 điểm chung.

Chọn D.
Phương trình $2f(x)+5=0⟺f(x)=-\frac{5}{2}=-2,5$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-2,5$.
Từ đồ thị, điểm cực tiểu của hàm số có tung độ là $-3$ và điểm cực đại có tung độ là $-2$.
Vì $-3<-2,5<-2$ nên đường thẳng $y=-2,5$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Ta có $f(x)+m=0\iff f(x)=-m$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-m$.

Từ bảng biến thiên, phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$[\begin{array}{rl}-m& =-1\\ -2<-m& \le -1\end{array}\text{ hay tổng quaˊt: }-2<-m\le -1\iff 1\le m<2.$

Vậy tập giá trị của $m$ là $[1;2)$.

Phương trình $|f(x)|=2⟺[\begin{array}{rl}& f(x)=2\\ & f(x)=-2\end{array}$
Từ đồ thị hàm số:
- Đường thẳng $y=2$ nằm giữa hai giá trị cực trị $-2<2<4$, cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=-2$ tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm cực tiểu (do giá trị cực tiểu của hàm số là $-2$), nên có 2 nghiệm phân biệt.
Các nghiệm của hai phương trình trên là hoàn toàn khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có tổng cộng $4+2=6$ nghiệm phân biệt.

Chọn D.
Phương trình $f(x)+3=0\iff f(x)=-3$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-3$.
Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=-3$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt, do đó phương trình có 4 nghiệm.

Chọn C.
Trục hoành có phương trình $y=0$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2-4x+3}{x+2}=0\iff \{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x^2-4x+3=0\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right]$.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác $-2$, do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3+2x+1}{x^2+1}$ và đường thẳng $y=x+1$ là:
$\frac{x^3+2x+1}{x^2+1}=x+1⟺x^3+2x+1=(x+1)(x^2+1)$
$⟺x^3+2x+1=x^3+x^2+x+1⟺x^2-x=0⟺x(x-1)=0$
Khoan, xét phương trình rút gọn theo đề gốc: $x^3+x^2-2=0⟺x(x^2+x-1)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt $x=0$ và $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$.
Do đó đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

Phương trình $2f(x)+3=0⟺f(x)=-\frac{3}{2}$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-\frac{3}{2}$.



Vì $-3<-\frac{3}{2}<-1$, đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 9 chọn đáp án A.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=\frac{1}{2}$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=\frac{1}{2}$.
Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $y=-1$ và cực đại tại $y=0$. Đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ nằm phía trên điểm cực đại $y=0$, cắt hai nhánh ngoài cùng của đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 32 chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^4-2x^2+5=0⟺x^4+2x^2-5=0$.
Đặt $t=x^2$ ($t\ge 0$), phương trình trở thành $t^2+2t-5=0$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=1-(-5)=6>0$.
Hai nghiệm: $t_1=-1+\sqrt{6}>0$ (thỏa mãn) và $t_2=-1-\sqrt{6}<0$ (loại).
Với $t=-1+\sqrt{6}>0$, ta có $x^2=-1+\sqrt{6}⟺x=\pm \sqrt{-1+\sqrt{6}}$ (2 nghiệm thực phân biệt).
Vậy đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại đúng 2 điểm.

Chọn đáp án C.

Đường thẳng $y=3$ nằm giữa hai giá trị cực đại $y=2$ và $y=4$, cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt nên phương trình $f(x)=3$ có $2$ nghiệm.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 16 chọn đáp án D.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=1$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=1$.
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực đại với tung độ $y_{CĐ}=2$ và điểm cực tiểu với tung độ $y_{CT}=-2$.
Đường thẳng $y=1$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-2$ và cực đại $2$ ($-2<1<2$), do đó nó cắt đồ thị hàm số tại đúng 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án D.