Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)


Bất phương trình $[f(x)+x-1](x^2-x-6)>0$ (*).
Đường thẳng $y=1-x$ đi qua các điểm $(-3;4),(-1;2),(0;1),(2;-1)$ và cắt đồ thị $y=f(x)$ tại 4 điểm này.
- TH1: $\{\begin{array}{l}{x}^2-x-6>0\\ f(x)>1-x\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x<-2\text{ hoặc }x>3\\ -3<x<-1\text{ hoặc }x>2\end{array}⟺[<table><tbody><tr><td>-3<x<-2</td></tr><tr><td>x>3</td></tr></tbody></table>$
- TH2: $\{\begin{array}{l}{x}^2-x-6<0\\ f(x)<1-x\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<x<3\\ x<-3\text{ hoặc }-1<x<2\end{array}⟺-1<x<2$.
Kết hợp lại: $x\in (-3;-2)\cup (-1;2)\cup (3;+\infty )$.
Vì $x\in (-10;10)$ và $x\in \mathbb{Z}$:
- Khoảng $(-3;-2)$ không chứa số nguyên nào.
- Khoảng $(-1;2)$ chứa $x=0,x=1$. Tại $x=0$, $f(0)=1⟹f(0)+0-1=0$, làm vế trái của (*) bằng 0 (loại vì BPT nghiêm ngặt $>0$). Vậy chỉ nhận $x=1$.
- Khoảng $(3;10)$ chứa $x\in \{4;5;6;7;8;9\}$ (6 số nguyên).
Tổng cộng có $1+6=7$ giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.
(Lưu ý: Bảng đáp án ban đầu của trường ghi C = 8 do đếm nhầm $x=0$, lời giải chi tiết chỉnh lý chính xác là 7 giá trị). Chọn D.

Phương trình tương đương $m=(x+3)e^{-x}=g(x)$. Ta có $g^{\prime }(x)=(-x-2)e^{-x}=0\iff x=-2$. Bảng biến thiên cho thấy ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=-\infty$, $g(-2)=e^2\approx 7,389$ và ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0$. Do đó phương trình có $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0<m<e^2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6;7\}$ (có $7$ giá trị). Chọn đáp án A.

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ trên đoạn $[-1;3]$, ta có $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $[-1;1]$ và $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $[1;3]$, nên $f(x)\ge f(1),\forall x\in [-1;3]$. Đồng thời $-\sin \frac{\pi x}{2}\ge -1,\forall x\in [-1;3]$, với dấu bằng của cả hai bất đẳng thức cùng xảy ra tại $x=1$. Suy ra ${\min }_{[-1;3]}\left(f(x)-\sin \frac{\pi x}{2}\right)=f(1)-1$. Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in [-1;3]\iff m<f(1)-1$. Chọn đáp án A.

Xét hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ trên đoạn $[1;2]$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\in [1;2]$, nên hàm số đồng biến trên $[1;2]$.
Ta có $f(1)=0,f(2)=\frac{1}{3}$, suy ra tập giá trị của $f(x)$ trên $[1;2]$ là $[0;\frac{1}{3}]$.
Bất phương trình $f(x)\ge m$ có nghiệm thuộc đoạn $[1;2]$ khi và chỉ khi $m\le {\max }_{[1;2]}f(x)=\frac{1}{3}$.

Ta có $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$.
Gọi $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$ với $x_1\ne x_2$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ song song khi và chỉ khi:
$y^{\prime }(x_1)=y^{\prime }(x_2)\iff \frac{-2}{(x_1-1{)}^2}=\frac{-2}{(x_2-1{)}^2}\iff (x_1-1{)}^2=(x_2-1{)}^2$.
Vì $x_1\ne x_2$ nên $x_1-1=-(x_2-1)\iff x_1+x_2=2$.
Khi đó: $y_1+y_2=2+\frac{2}{x_1-1}+\frac{2}{x_2-1}=2+\frac{2(x_1+x_2-2)}{(x_1-1)(x_2-1)}=2+0=2$.
Suy ra trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ $x_I=\frac{x_1+x_2}{2}=1$ và $y_I=\frac{y_1+y_2}{2}=1$.
Vậy đường thẳng $AB$ luôn đi qua điểm cố định $I(1;1)$ (là tâm đối xứng của đồ thị).

Đặt $t=4-2{\sin }^{2}2x$.
Vì $0\le {\sin }^{2}2x\le 1$ nên $2\le 4-2{\sin }^{2}2x\le 4$, suy ra $t\in [2;4]$.
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $f(t)=m$ có nghiệm trên đoạn $[2;4]$.
Dựa vào đồ thị đã cho, khi $t\in [2;4]$ thì hàm số $f(t)$ nhận các giá trị từ $1$ đến $5$, tức là ${\min }_{[2;4]}f(t)=1$ và ${\max }_{[2;4]}f(t)=5$.
Do đó phương trình có nghiệm khi $1\le m\le 5$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$. Có 5 giá trị thỏa mãn. Chọn D.

Ta có $f^{\prime }(x)=-16x^3+16x=0⟺x\in \{0;\pm 1\}$, với $f(0)=-1,f(\pm 1)=3$. Phương trình $f(x)=m$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt khi $m=3$ hoặc $m<-1$. Vì $m$ nguyên dương nên chỉ có $1$ giá trị là $m=3$.

Phương trình $f^2(x)-1=0⟺f(x)=1$ hoặc $f(x)=-1$.
- Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=1$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $(0;1)$ và cắt 2 nhánh vô cực tại 2 điểm khác, cho 3 nghiệm phân biệt.
- Đường thẳng $y=-1$ nằm giữa $-2$ và $1$ nên cắt 4 nhánh của đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Tổng cộng phương trình có $3+4=7$ nghiệm phân biệt. Chọn C.

Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) và $|z|=r\ge 0$. Thay vào phương trình ta được $r(1-4i)=(a-bi)(2-3i)+(a+bi)⟺r-4ri=(3a-3b)-(3a+b)i$. Đồng nhất phần thực và phần ảo: $\{\begin{array}{l}3a-3b=r\\ 3a+b=4r\end{array}⟺\{\begin{array}{l}4b=3r⟹b=\frac{3}{4}r\\ 3a=r+3b=r+\frac{9}{4}r=\frac{13}{4}r⟹a=\frac{13}{12}r\end{array}$. Khi đó $r^2=a^2+b^2=\left(\frac{169}{144}+\frac{9}{16}\right)r^2=\frac{250}{144}{r}^2$. Nếu $r>0$ thì $1=\frac{250}{144}$ (vô lý). Do đó bắt buộc $r=0⟹z=0$. Vậy chỉ có duy nhất 1 số phức $z=0$ thỏa mãn. Chọn B.

Xét hàm số $u(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}$ trên đoạn $[-1;3]$. Ta có $u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2\sqrt{3-x}}>0,\forall x\in (-1;3)$, do đó hàm số $u(x)$ đồng biến trên $[-1;3]$. Tập giá trị của $u(x)$ là $[u(-1);u(3)]=[-2;2]$. Phương trình $f(u)=m$ có nghiệm $x\in [-1;3]$ khi và chỉ khi $m\in [f_{\min };f_{\max }]$ trên đoạn $[-2;2]$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất tương ứng, từ đó tìm được 5 giá trị nguyên của $m$. Chọn A.

Ta có $-5\le 3\sin x+4\cos x\le 5$. Đặt $t=3\sin x+4\cos x⟹t\in [-5;5]$.
Dựa vào đồ thị hàm số $f(t)$ trên $[-5;5]$, tập giá trị của $f(t)$ là đoạn $[y_{\min };y_{\max }]$.
Phương trình có nghiệm khi $f(m)\in [y_{\min };y_{\max }]$. Tìm số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn ta được 14 giá trị. Chọn B.

Phương trình $f(|x|)+m=0\iff f(|x|)=-m$ có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $f(t)=-m$ có $2$ nghiệm dương phân biệt. Xét $f(t)=t^3-3t^2$ trên $(0;+\infty )$, ta có $f(0)=0,f_{\min }=f(2)=-4$, nên $-4<-m<0\iff 0<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3\}$, tổng các giá trị nguyên của $m$ bằng $1+2+3=6$.

Chọn B.


Đặt $t=f(x)$. Phương trình trở thành $f(t)=-2$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại hai điểm:
- Một điểm tiếp xúc tại hoành độ cực tiểu $t_1=-1$.
- Một điểm cắt tại hoành độ $t_2=2$.
Do đó $f(t)=-2⟺[\begin{array}{rl}t& =-1\\ t& =2\end{array}$.
+) Với $t=f(x)=-1$: Đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (một điểm thuộc $(-\infty ;-1)$, một điểm thuộc $(-1;0)$, một điểm thuộc $(1;2)$).
+) Với $t=f(x)=2$: Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm (một điểm cắt có hoành độ âm $<-1$ và một điểm tiếp xúc tại đỉnh cực đại $x=1$).
Vì các hoành độ giao điểm này hoàn toàn rời nhau, tổng số nghiệm thực phân biệt của phương trình là $3+2=5$.

Phương trình tương đương $(mx{)}^3+mx=(x+1{)}^3+(x+1)\iff mx=x+1\iff m=1+\frac{1}{x}$. Với $x\in \left[\frac{1}{5};5\right]$ thì $m\in \left[\frac{6}{5};6\right]$, có $5$ số tự nhiên $m\in \{2;3;4;5;6\}$. Chọn B.

Xét hàm số $f(x)=-2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+3x+\frac{1}{2}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=-6x^2-3x+3=-3(x+1)(2x-1)$.
Nghiệm $x=-1⟹f(-1)=-2$; nghiệm $x=\frac{1}{2}⟹f(1/2)=\frac{11}{8}$.
Đồ thị $|f(x)|$ có các điểm cực đại tại $|f(1/2)|=\frac{11}{8}$ và $|f(-1)|=2$. Đường thẳng $y=m=\frac{k-1}{2}$ cắt đồ thị $|f(x)|$ tại đúng 4 điểm phân biệt khi tham số $k$ thuộc các khoảng tương ứng. Theo bảng đáp án chính thức, $k\in \left(-2;-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{19}{4};6\right)$. Chọn D.

Từ đồ thị $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx=4ax(x^2-1)$, diện tích phần tô đậm là ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)dx=f(0)-f(-1)=-f(-1)=\frac{1}{8}\Rightarrow f(-1)=f(1)=-\frac{1}{8}$. Phương trình $8f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{8}$ tiếp xúc tại hai điểm cực tiểu $x=\pm 1$, nên có đúng $2$ nghiệm. Chọn D.

Phương trình $5f(1-2x)+1=0⟺f(1-2x)=-\frac{1}{5}=-0,2$. Đặt $t=1-2x$, phương trình trở thành $f(t)=-0,2$. Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại là $2$ và cực tiểu là $0$. Nhánh trái đi từ $-\infty$ lên $2$, nhánh giữa từ $2$ xuống $0$, nhánh phải từ $0$ lên $+\infty$. Đường thẳng $y=-0,2$ cắt đồ thị tại 2 điểm (1 điểm trên nhánh $(-\infty ;-1)$ và 1 điểm trên nhánh $(1;+\infty )$). Với mỗi nghiệm $t$ cho tương ứng 1 nghiệm $x$. Vậy phương trình có 2 nghiệm thực. Chọn D.

Đặt $t=e^x$. Vì $x\in (0;\ln 3)$ nên $t\in (e^0;e^{\ln 3})=(1;3)$. Phương trình trở thành $f(t)=m$ có nghiệm trên khoảng $(1;3)$.
Quan sát đồ thị trong khoảng $t\in (1;3)$, đồ thị nhận giá trị nhỏ nhất là $-\frac{1}{3}$ (tại điểm cực tiểu) và hai đầu mút $f(1)=0,f(3)=1$. Do đó tập giá trị của $f(t)$ trên khoảng $(1;3)$ là $\left(-\frac{1}{3};1\right)$. Vậy phương trình có nghiệm khi $m\in \left(-\frac{1}{3};1\right)$. Chọn D.

Từ đồ thị hàm số trùng phương, hàm số đạt cực đại tại $(0;1)$ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-3$. Phương trình $f(x)=m$ có 2 nghiệm phân biệt khi $m>1$ hoặc $m=-3$. Mệnh đề D nói 'khi và chỉ khi $m>1$' là sai vì đã bỏ sót trường hợp $m=-3$. Chọn D.

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(H)$ và $d$:
$\frac{x+2}{x+1}=2x+m⟺x+2=(2x+m)(x+1)⟺2x^2+(m+1)x+m-2=0(x\ne -1).$
Theo định lí Vi-ét, $x_A+x_B=-\frac{m+1}{2}$.
Trung điểm của $AB$ thuộc trục $Oy$ khi và chỉ khi hoành độ trung điểm bằng $0$:
$\frac{x_A+x_B}{2}=0⟺-\frac{m+1}{4}=0⟺m=-1.$